Theorie und Anwendung der Elementartheiler

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THEOEIE UND ANWENDUNG

DER

ELEMENTARTHEILER

VON

Dk. p. muth.

LEIPZIG,

VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1899.

MATH/STAT
L13RARY

ALLE RECHTE,
EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

Vorwort.

Das Erscheinen dieses schon vor geraumer Zeit angekündigten
Buches wurde leider durch Krankheit des Verfassers erheblich ver-
zögert. Dass sich innerhalb dieser Zeit manche Anschauungen des-
selben geändert haben, wird man begreiflich finden; indessen wurde
doch das in der Voranzeige entworfene Programm mit ganz geringen
Modifikationen ausgeführt.

Was die Gesammtanlage des Buches anbelangt, so musste nach
meiner Ansicht in einem Specialwerke über Elementartheiler den
algebraischen und den arithmetischen Methoden möglichst gleichmässig
Rechnung getragen werden; zeigen sich einerseits die letzteren als
weittragender und so für die Weiterentwickelung unserer Theorie
bedeutungsvoller, so sind andererseits die ersteren in hohem Maasse
geeignet, zu einem tiefen Eindringen in das innere Wesen der hier
obwaltenden Verhältnisse zu führen, und daher zugleich auch didaktisch
von grossem Werthe.

Ohne auf Einzelheiten der Darstellung einzugehen, bemerke ich
nur, dass wohl kein Zweifel darüber herrschen konnte, auf welche
Weise bei der Entwickelung der sogenannten Weierstrass'schen
Theorie vorzugehen war, nachdem Weierstrass selbst gelegentlich der
Herausgabe seiner gesammelten Werke darauf hingewiesen hatte, dass
die in seiner grundlegenden Arbeit vorhandene Lücke am Zweck-
massigsten durch die Untersuchungen des Herrn Frobenius in den
Sitzungsberichten der Berliner Akademie von 1896 ausgefüllt werde.
Die Schwierigkeit der Krön eck er 'sehen Arbeiten über singulare
Schaaren ist bekannt; hier war Vieles strenger zu begründen und
manche Lücke auszufüllen.

Eine Scheidung des Buches in einen theoretischen und einen die
Anwendungen umfassenden Theil äusserlich herbeizuführen, wurde
nicht versucht und wäre der ganzen Anlage desselben nach überhaupt
auch kaum durchführbar gewesen. Dazu kommt, dass je nach dem
Standpunkte, den man einnimmt, zuweilen der gleiche Gegenstand
einmal als Theorie, einmal als Anwendung aufgefasst werden kann.

So zahlreiche Verwendung die in diesem Buche gegebenen Sätze
über Elementartheiler ganzzahliger Systeme auch in der Zahlentheorie
finden, so war es doch unmöglich, hier einen Gegenstand herauszugreifen,
der ein in sich abgeschlossenes Ganze gebildet und zugleich ein
prägnantes Beispiel für die Bedeutung derselben für diese Disciplin
geboten hätte; doch darf in dieser Hinsicht wohl ausser auf die in der

IV Vorwort.

Einleitung erwähnte Literatur auf Herrn Bachmann 's Zahlentheorie
(4. Theil, I. Abtheilung, Leipzig 1898) hingewiesen werden.

Aehnliche Schwierigkeiten, wie die eben aufgeführten, machten
sich im Gebiete der linearen Differentialgleichungen bemerklich. Indessen
war es hier möglich, eine kleinere, von Weierstrass selbst herrührende
Anwendung zu geben, die für viele Arbeiten über Systeme von linearen
Differentialgleichungen vorbildlich geworden ist.

Dagegen standen wohl abgegrenzte geometrische Anwendungen
in grosser Menge zur Verfügung. Will man sich aber bei diesen nicht
in endlosem Wiederholen von Einzelheiten erschöpfen, sondern eine
umfassende und wirklich wissenschaftliche Darstellung bieten, so muss
man, dem Vorgange von Herrn Segre folgend, fast durchweg die
Betrachtungen im w-dimensionalen Räume vornehmen. Auch bei der
im Buche durchgeführten Klassifikation der Collineationen musste sich
der Verfasser zu diesem Vorgehen entschliessen; doch glaubt derselbe
dadurch dem Anfänger keine besonderen Schwierigkeiten bereitet zu
haben. Derselbe wird nach einander w=l, 2 und 3 setzen und so zu den
gewohnten Vorstellungen kommen; ausserdem kann derselbe an die
für die Fälle n = 1, 2 und 3 überall angegebenen Normalformen direkt
anknüpfen. Wie man sieht, nimmt die exakte Ausführung einer
einzigen geometrischen Anwendung schon einen bedeutenden Raum in
Anspruch, weshalb ich mich auf dieselbe beschränken musste. Doch
kommt es wohl auch nicht auf die Zahl solcher Anwendungen an,
sondern darauf, an einem geeigneten Beispiele das sonst überall ver-
wandte Princip klar darzulegen. —

Von Anfang an hatte sich mein Unternehmen des besonderen
Interesses einer Reihe hervorragender Kenner der Elementartheiler zu
erfreuen; namentlich waren es die Herren Professoren Frobenius,
Gundelfinger und Hensel, die, mit dem Gegenstande innigst ver-
traut und die Schwierigkeit seiner Bearbeitung wohl erkennend, stets
bereit waren, mir ihre Unterstützung zu Theil werden zu lassen. Ihnen
auch an dieser Stelle meinen herzlichsten Dank zu sagen, ist mir eine
angenehme Pflicht. Herrn Professor F. Meyer, der die Zusendung
der Correcturbogen gütigst gestattete, verdanke ich eine Reihe werth-
voller Literaturnachweise.

Schliesslich muss ich noch erwähnen, dass die Verlagsbuchhandlung
meinen Wünschen betreffs der Ausstattung des Buches stets auf's
Bereitwilligste entgegenkam.

Osthofen (Rheinhessen), 29. Mai 1899.

P. Muth.

Inhaltsverzeiehniss.

Seite

Einleitung VII

§ 1. Definition und allgemeine Eigenschaften der Elementartheiler . 1

§ 2. Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen 20

§ 3. Systeme mit ganzzahligen Elementen 43

§ 4. Systeme, deren Elemente ganze Funktionen einer Veränderlichen

sind 58

§ 5. Systeme, deren Elemente binäre Formen gleichen Grades sind . 63

§ 6. Reduktion einer ordinären Schaar von bilinearen Formen nach

Weierstrass 69

§ 7. Formenschaaren, deren Determinanten vorgeschriebene Elementar-
theiler besitzen 85

§ 8. Reduktion einer singulären Schaar von bilinearen Formen nach

Kronecker 93

§ 9. Symmetrische und alternirende Formen 118

§ 10. Congruente Formen 142

§ 11. Aehnliche und duale Formen 152

§12. Lineare Transformatione q der bilinearen Formen in sich selbst 160

§ 13. Orthogonale und cyklische Formen 172

§14. Definite Formen 179

§ 15. Lineare Elementartheiler 187

§ 16. Integration eines Systems linearer Differentialgleichungen mit

konstanten Koefficienten 195

VI Inhaltsverzeichniss.

Seite

§ 17. Klassifikation der. Collineationen in einem Räume beliebig

hoher Dimension 198

§ 18. Systeme aus ganzen oder gebrochenen Grössen eines Körpers . 224

Anhang 231

Index 233

Einleitung.

feowohl in der Analysis, als auch vornehmlich in der analytischen
Geometrie tritt uns häufig das algebraische Problem entgegen, zwei
quadratische Formen (p und ty von je n Variabelen durch eine lineare
Substitution gleichzeitig in eine einfacJie oder IcanoniscJie* (Normal-) Form
überzuführen. Man denke z. B. nur an das analytisch -geometrische
Problem des Falles n = 3 oder n = 4, wenn es sich darum handelt,
zwei Kegelschnitte derselben Ebene oder zwei Flächen zweiter Ordnung
auf ihre gegenseitige Lage zu untersuchen. Bekanntlich ist bei der
Lösung des Problems das Verhalten der Determinante der durch <p
und if> bestimmten Schaar Xx(p + ^ty quadratischer Formen von aus-
schlaggebender Bedeutung. Im allgemeinen Falle, wo diese Deter-
minante nicht identisch verschwindet und in n (nicht nur um eine
Konstante) verschiedene Linearfaktoren zerlegt werden kann**, bietet
dasselbe keine nennenswerthen Schwierigkeiten, und seine Lösung ist
schon lange bekannt; man kann alsdann beide Formen gleichzeitig als
Aggregate von Quadraten n unabhängiger linearer Formen darstellen.***
Ganz anders aber liegt die Sache, wenn die Determinante der Schaar,
— die wir zunächst stets als nicht identisch verschwindend voraussetzen — ,
nicht in lauter verschiedene lineare Faktoren zerfällt. Alsdann haben
wir eine Reihe verschiedener Fälle zu unterscheiden, und zwar kommt
es darauf an, ob und wie oft ein mehrfacher Theiler jener Determinante
gleichzeitig in allen Subdeterminanten (n — l)ten, (n — 2)ten u. s. w. Grades

* Vergl. über den Begriff „kanonische Form" die treffenden Bemerkungen
Kronecker's: Ueber Schaaren von quadr. Formen, Berl. Monatsb. 1874, S. 72
(Ges.W. Bd.I, S. 367).

** Dass dieses wirklich der allgemeine Fall ist, bedarf des Nachweises.
Vergl. Weierstrass, Ueber ein die homogenen Funktionen betr. Theorem, Berl.
Monatsb. 1858, S. 208 (Ges. W. Bd. I, S. 233).

*** Hier sind wohl Cauchy, Sur Fequation, ä l'aide de laquelle on determ.
les inegal, seculaires des mouvem. des planetes, Exercis. de math. (29) IV, S. 140 ff.
und Jakobi, De binis quibusl. function. homog. sec ordin. etc., Crelle's Journ.
(34) Bd. 12, S. lff., in erster Linie zu nennen. (Die eingeklammerten Zahlen be-
deuten hier und im Flgdn. die beiden letzten Ziffern des Erscheinungsjahres des
betr. Bandes.)

VIII Einleitung.

derselben auftritt. In den einfachsten Fällen n = 2, n = 3 sind die
sich hier bietenden Möglichkeiten vielfach untersucht*, und auch für
den Fall n = 4, der sich schon complicirter gestaltet, hat z. B.
Sylvester** dreizehn verschiedene Fälle aufgezählt. Die Untersuch-
ungen desselben erwiesen sich aber nicht als ausreichend, wenn die
Formen <p und ijj von beliebig vielen Variabelen abhängig sind, und
vor Allem fehlte es noch an der Beantwortung der Frage, ob die Auf-
zählung der verschiedenen bei gegebenem n möglichen Fälle eine voll-
ständige sei.

Da gelang es K. Weierstrass, nachdem er schon 1858 in einem
speciellen Falle der Lösung des allgemeinen Problems nahe gekommen
war***, 1868 in seiner berühmten, für die Theorie der Elementartheiler
grundlegenden Arbeit: „Ueber Schaaren bilinearer und quadratischer
Formen" t nicht nur für zwei quadratische, sondern auch für zwei
bilineare Formen <p, xf> beliebig vieler Variabelen das Problem der gleich-
zeitigen Transformation zweier Formen auf eine kanonische Form bei
beliebigem Verhalten der Determinante der durch die baden Formen be-
stimmten Schaar zu lösen und eine Methode anzugeben, die bei ge-
gebenem n sich darbietenden Fälle erschöpfend aufzuzählen.

Weierstrass erreicht dieses dadurch, dass er die Determinante
I *i9> + h^ I der Schaar Xtq> + X24> in besonderer, durch das Auftreten
der einzelnen Linearfaktoren von \Xxcp + X2^\ in den Subdeterminanten
(w _ i)ten^ (n _ 2)*en . . . Grades dieser Determinante bedingten Weise
in Faktoren zerlegt (1); er nennt jeden solchen Faktor einen Elementar-
theiler der Determinante der Schaar und zeigt zunächst, dass diese
Elementartheiler (im Allgemeinen irrationale) Invarianten der Schaar
sind. Dabei muss indessen hervorgehoben werden, dass die Elementar-
theiler begrifflich schon in der oben citirten Arbeit Sylvester 's bei
den Fällen n — 3, 4 auftraten, und dass Sylvester auch die In-
variantennatur derselben erkannt hatte, tt

Weierstrass führt nun die Formenschaar durch lineare Sub-
stitution in eine solche reducirte Formenschaar über, deren Bau im

* Man vergl. irgend ein grösseres Lehrbuch der analyt. Geom.
** Sylvester, Enum. of the cont. of lines and surf, of the sec. ord. u.s.w.,
Phil. Magaz. (51), 4. Serie vol. 1, S. 119. Rechnet man den Fall mit, wo cp und tp
nur um eine Konstante verschieden sind, so hat man 14 Fälle zu unterscheiden.
Vergl. 66 (die stark gedruckten Zahlen bedeuten die Artikelnummern dieses Buches).
*** Weierstrass, 1. c. S. 207 ff. (S. 233ff.)
f Weierstrass, Berl. Monatsb. 1868, S. 310 ff. (Ges. W. Bd. II, S. 19ff.)
ff Vergl. F. Meyer, Bericht über den gegenwärtigen Stand der Invarianten-
theorie, Jahresb. der deutsch. Math.-Verein. von 1890 — 91 (92) Bd. I, S. 87. (Siehe
auch Noether, J. J. Sylvester, Math. Ann. (98) Bd. 60, S. 133ft'.)

Einleitung. IX

Wesentlichen von den Elementartheilern der Determinante | Xl <p + ^2 ^ !
abhängt. Daher kann man, wenn die Elementartheiler von | X1 cp -f- A2 ty \
bekannt sind, diese reducirte Schaar von verhältnissmässig einfacher
Gestalt sofort angeben, d. h. man kann eine kanonische Form des Paares
cp, ip sofort hinschreiben.

Weiter aber: Stimmen für zwei Schaaren die Elementartheiler
ihrer Determinanten überein, so sind sie zur selben reducirten Schaar
äquivalent, mithin auch unter sich. Die Uebereinstimmung der
Elementartheiler ihrer Determinanten ist daher nicht blos die not-
wendige, sondern auch die hinreichende Bedingung für die Aequivalenz
zweier Formenschaaren. Auf diese Weise hat Weierstrass sein be-
kanntes Tlieorem über die Aequivalenz zweier Formenschaaren bewiesen
(s. § 6 und § 9 dieses Buches).

Endlich aber zeigte Weierstrass, anknüpfend an seine reducirte
Schaar, dass man Formenschaaren bilden kann, deren Determinanten
vorgeschriebene Elementartheiler besitzen. Dadurch gerade sind wir in
Stand gesetzt, die kanonischen Formen der von einer gegebenen An-
zahl von Variabelen abhängigen Formenpaare systematisch und voll-
ständig anzugeben (§ 7 und § 9), und so erwächst aus der Weier-
strass'schen Theorie ein klassifikatorisches Princip ersten Banges, das
besonders in der Geometrie die ausgiebigste Verwerthung gestattet.

Es ist daher nicht zu verwundern, wenn die Mathematiker sich
desselben sofort bemächtigten, und zwar war es wohl zuerst F. Klein,
der dasselbe (1868) in seiner Inauguraldissertation zur Klassifikation der
Linien complexe 2ten Grades verwandte.* Dieser geometrischen An-
wendung der Wei erstras s 'sehen Theorie folgten zahlreiche andere, wie
man aus der S. 223 zusammengestellten Literatur ersehen kann.

Eine schöne Anwendung seiner Theorie im Gebiete der linearen
Differentialgleichungen gab Weierstrass selbst** (§ 16), an welche
Arbeit sich eine Reihe anderer, von Hörn, Sauvage u. s. w., an-
schliesst.*** Besonders wichtige Verwendung finden die Elementar-
theiler im zuletzt betrachteten Gebiete auch in der Theorie der
Fundamentalgleichung, ein Gegenstand, den Heffter in seinem Buche
über lineare Differentialgleichungen eingehend behandelt hat.t

* F. Klein, Ueber die Transformation der allgemeinen Gleichung
2ten Grades zwischen Liniencoord. auf eine kanonische Form, Inaug.-Diss., Berlin
1868 [abgedr. in Math. Ann. (84) Bd. 23].

** Weierstrass, Ges. Werke Bd. II, S. 75 ff.
*** Vergl. die S. 198 citirte Literatur,
f L. Heffter, Einleit. in die Theorie der lin. Differentialgl. mit einer
unabh. Variab., Leipzig 1894, Kap. IX ff. Daselbst findet man auch die auf diesen
Gegenstand bez. Literatur. Siehe auch S. 198 d. B.

X Einleitung.

Bemerkenswerth ist schliesslich, dass die Weierstrass'schen
Elementartheiler durch Maurer eine interessante Verwendung in der
Gruppentheorie gefunden haben *

Neben diese Bestrebungen, die Weierstrass'sche Theorie nach
den verschiedensten Richtungen hin zu verwerthen, stellen sich die-
jenigen, welche eine durchaus strenge Begründung der Theorie selbst
zum Ziele haben. Die Weierstrass'schen Entwickelungen zeigten
nämlich eine Lücke, deren Ausfüllung nicht gerade ganz einfach war,
sodass sich um diesen Punkt eine ziemlich reiche Literatur gruppirt.
Jene Entwickelungen werden nämlich erst dann correct, wenn der
Nachweis erbracht werden kann, dass jede reguläre Subdeterminante
eines Systems ganzer Grössen (3) mindestens eine reguläre Deter-
minante als Subdeterminante enthält. Dann erst kann eine gewisse
von Weierstrass vorgenommene, die Jakobi'sche Transformation
der Schaar vorbereitende Umformung der zu reducirenden Schaar stets
mit Sicherheit ausgeführt werden. Da dieser Beweis zunächst nicht
erbringlich war, so schlug Stickelberger** (1874) ein indirektes
Verfahren ein, um darzuthun, dass jede Schaar wirklich in die
Weierstrass'sche reducirte Schaar transformirt werden kann. Indem
ferner Darboux***(1874) und Gundelfingert(1876), welch' letzterem
das Verdienst gebührt, die Weierstrass'sche Theorie zuerst weiteren
Kreisen zugänglich gemacht zu haben, jene vorläufige Umformung der
Schaar und die Jakobi'sche Transformation gleichsam verschmolzen,
gelangten sie zwar zu einer neuen, theilweise kürzeren Darstellung
unserer Theorie, die, wie Stickelbergertt (1879) in einer schönen
Arbeit nachwies, so gegeben werden kann, dass sie an Strenge nichts
zu wünschen übrig lässt, aber auch diese Methode blieb eine indirekte,
indem zuerst an der reducirten Schaar die Bedeutung der Elementar-
theiler für die Reducirte nachgewiesen werden konnte, während
Weierstrass die Elementartheiler von vornherein in die Rechnung
einführt.

»Maurer, Münchener Berichte v. 1888, S. 103 ff.; derselbe, Crelle's
Journ. (90) Bd. 107, S. 89 ff.

** Stickelberger, De probl. quod. ad duar. form, bilin. vel quad. transform.
pertinente, Diss. inaug., Berol. 1874.

*** Darboux, Mem. sur la th^or. algeb. des formes quadr. Liouville's Journ.
Jahrg. 1874, Serie II, Bd. XIX, S. 347 ff.

f Gundelfinger in Hesse, Vorles. über analyt. Geometrie des Raumes,
3. Aufl., Leipzig 1876, Suppl. IV.

ff Stickelberger, Ueber Schaaren von bil. u. quad. Formen, Crelle's
Journ. (79) Bd. 86, S. 20 ff.

Einleitung. XI

Kronecker suchte die bewusste Lücke dadurch auszufüllen, dass
er die Schaar einer allgemeinen linearen Transformation mit un-
bestimmten Koefficienten unterwarf*, ohne jedoch darthun zu können,
dass dieses Verfahren auch bei Schaaren quadratischer Formen zu-
lässig ist.

Da machte Frobenius** (1880) darauf aufmerksam, dass die be-
regte Schwierigkeit in der Wei er strass' sehen Arbeit direkt gehoben
werden könnte; Smith*** hatte nämlich den hierzu nöthigen Hilfs-
satz über reguläre Determinanten für ganzzahlige Systeme bereits 1861
bewiesen, und nun gab Frobenius a. a. 0. einen neuen Beweis des-
selben, der mit einigen Modifikationen auch dann giltig bleibt, wenn
man Systeme betrachtet, deren Elemente ganze Funktionen eines
Parameters sind. Gerade darum handelt es sich aber für uns. Der
Beweis des Hilfssatzes beruht auf arithmetischen Methoden und konnte
später (1894), nachdem die Kronecker'sche Reduktion f eines Systems
ganzzahliger Elemente bekannt geworden war, noch von Henseltf
bedeutend vereinfacht werden. Aber auch algebraisch ist derselbe
beweisbar, wie Frobeniusftt (1894) gezeigt hat, und zwar interessanter
Weise mittelst einer Determinantenidentität, die gerade Kroneckera
schon 1870 gefunden hatte (5).

Gestützt auf den Satz über reguläre Determinanten kann man
nun die gewünschte vorläufige Umformung einer Schaar im Falle
beliebiger bilinearer Formen durch eine blosse Vertauschung der
Variabelen, im Falle der Symmetrie aber, wie Frobeniusb ge-
zeigt hat, mittelst einer Reihe höchst einfacher congruenter Trans-
formationen erreichen. Dadurch ist eine, allen Anforderungen an Strenge
Genüge leistende direlde Begründung der Weierstrass'scfow Theorie nicht

* Kronecker, Berl. Monatsb. 1874, S. 215 (Ges. W. Bd. I, S. 391—392).
Vergl. auch Frobenius, Ueber die Elementertheiler der Determinanten, Sitzb.
d. Berl. Akad. 1894 , S. 32.

** Frobenius, Theorie der lin. Form, mit ganz. Koeff., Crelle's Journ. (80)
Bd. 88, S. 116.

*** Smith, On syst, of lin. indet. equations and congr., Phil. Transact. von
1861 (62), S. 318; On the arithm. invar. etc., Proc. of the L. math. soc. 1873,
vol. IV, S. 237.

f Kronecker, Reduktion der Systeme mit n2 ganzzahligen Elementen,
Crelle's Journ. (91) Bd. 107, S. 135—136.

ff Hensel, Ueber reguläre Determin. u. s. w., Crelle's Journ. (94) Bd. 114,
S. 25 ff.

ftf Frobenius, Ueber die Elementartheiler der Det., Sitzb. der Berliner Akad.
1894, S. 33 ff.

a Kronecker, Crelle's Journ. (70) Bd. 72, S. 153.
b Frobenius, 1. c. § 2.

XII Einleitung.

nur bei Schaaren bilinearer, sondern auch bei Schaaren quadratischer
Formen möglich (§ 6 und § 9).

Wir haben seither immer den Fall singulärer Formenschaaren
ausgeschlossen; für solche Schaaren kann man aber die analogen
Fragen, wie vorhin bei ordinären Schaaren, aufwerfen. Mit ihrer Be-
antwortung hat sich Kronecker* von 1868 an während einer Reihe
von Jahren beschäftigt, konnte jedoch erst 1890 und 1891 zu einem
abschliessenden Resultate gelangen.** Von besonderer Wichtigkeit,
aber auch von besonderer Schwierigkeit ist auch hier der Fall der
Symmetrie.

Die Untersuchungen von Weierstrass*** und Kroneckert über
symmetrische Formenschaaren führten nun zu dem merkwürdigen
Ergebnisse, dass zwei äquivalente Schaaren Xxy + X2ip und 2t0 + AjM*
von symmetrischen Formen stets auch congruent sind, in dem Sinne,
dass eine in die andere durch congruente, von Ax | A2 unabhängige
Substitutionen übergeführt werden kann, deren Determinanten nicht
Null sind, oder kürzer gesagt, dass die hinreichenden Bedingungen für
die Aequivalenz zweier symmetrischen Formenschaaren zugleich diejenigen
für die Congruenz derselben sind. Das Gleiche gilt, wenn cp und O
symmetrische, i\> und Y alternirende Formen tf, und auch dann, wenn
die Grundformen beider Schaaren alternirend sindftf (§ 9).

Den inneren Grund dieser Erscheinung vollständig aufzudecken
gelang Frobenius (1896) in einer die ganze Theorie der congruenten
Transformationen bilinearer Formen neu gestaltenden Arbeit* Dieselbe

* Vergl. die Arbeiten desselben über Formenschaaren in den Berl. Monatsb.
von 1868 u. 1874 (Ges. Werke Bd. I), insbesondere: Ueber Schaaren v. quadr. Form.,
Berl. Monatsb. 1874, S. 59 ff. (Ges. W. Bd. 1, S. 349 ff.) Vergl. auch Darboux,
1. c. S. 383 ff.

** Kronecker, Algebr. Reduktion der Schaaren quadr. Formen, Sitzb. der
Berl. Akad. 1890, S. 1225 ff.; derselbe, Algebr. Red. der Schaaren quadr. Formen,
ebendaselbst 1890, S. 1375 u. 1891, S. 9 ff. und S. 33 ff.
*** Weierstrass, am S. VIII, Anm. 4 citirten Orte.

f Kronecker, in den eben citirten Arbeiten über quad. Formen,
ff Kronecker, Ueber die congr. Transf. der bil. Formen, Berl. Monatsb. 1874,
S. 441-442 (Ges. Werke Bd.I, S. 477).

fff Frobenius, Theorie der lin. Form, mit ganz. Koeff., Cr eile's Journ. (79)
Bd. 86, § 7 u. § 13. Beweis hier nur für ordinäre Schaaren. Siehe das Flgd.

a Frobenius, Ueber die congr. Transf. der bil. Formen, Sitzungsb. der Berl.
Akad. 1896, S. 7 ff. Als besonders wichtige Arbeiten über die congruenten Trans-
formationen der bilinearen Formen seien hier diejenigen von Voss, Abhandl. der
kgl. Bayerisch. Akad. d. Wiss. Bd. 17, S. 255 ff.; Münch. Berichte 1889 erwähnt.
Ferner möge hier noch bemerkt werden, dass Voss gewisse Sätze von Frobenius,

Einleitung. XIII

gestattet u. A. die Hauptresultate der Kr o necke r'schen Untersuchungen
über singulare Schaaren quadratischer Formen, sowie über congruente
Formen* abzuleiten, ohne die mühsamen Kronecker'schen Ent-
wicklungen vornehmen zu müssen (§ 10).

Wir haben eben eine Reihe von Untersuchungen über besondere
Formenschaaren erwähnt, wozu auch diejenigen über die Congruenz
der Formen zu rechnen sind, da hier Schaaren mit conjugirten Grund-
formen in Betracht gezogen werden müssen (§ 10). Ohne auf die
zahlreichen weiteren Untersuchungen über specielle Formenschaaren,
welche auf Grund der Arbeiten von Kronecker und Weierstrass
geführt werden können, und deren Anwendung hier näher einzugehen
(§ 12 — 15, S. 223 Anm.), heben wir nur als besonders wichtig die-
jenigen über solche Schaaren hervor, deren Determinanten nur lineare
Elementartheiler besitzen; hier kann die Schaar auf dieselbe Form gebracht
werden, wie eine allgemeine Schaar (S. 93 u. 124), was Weierstrass
für eine Schaar quadratischer Formen mit mindestens einer definiten,
ordinären Grundform schon 1858 in der Eingangs erwähnten Arbeit**
nachgewiesen hatte (§ 14). Im Falle die Determinante einer Schaar
bilinearer oder quadratischer Formen überhaupt lineare Elementartheiler
besitzt, kann man mittelst einer auf Cauchy*** zurückzuführenden
Methode von der Schaar diejenigen elementaren Schaaren abspalten, welche
den linearen Elementartheilern ihrer Determinante entsprechen. Dieses
hat Stickelbergerf in einer höchst interessanten, den übrigen algebra-
ischen Untersuchungen über Elementartheiler gegenüber eine gewisser-
maassen isolirte Stellung einnehmenden Arbeit (1877) nachgewiesen (§ 15).

Die Untersuchungen von Kronecker und Weierstrass über
die Aequivalenz von Formenschaaren sind in neuerer Zeit durch
S. Kantor ff verallgemeinert worden. Während die Untersuchungen
jener sich auf solche Formen beziehen, deren Koefficienten lineare
Formen zweier Variabelen vorstellen, erstrecken sich diejenigen von

Siacci, Stickelberger u. Stieltjes über Elementartheiler aus einer ein-
zigen Determinantenidentität herleitete. Hierüber, sowie über den Zusammen-
hang der Voss'schen Arbeiten mit den betr. Arbeiten von Frobenius siehe
F.Meyer, a. S. VIII citirten Orte, S. 115 ff.
* Kronecker, I.e. S. 397 ff. (S. 423 ff.)
** Weierstrass, Berl. Monatsb. 1858, S. 207ff. (Ges. W. Bd. I. S. 233 ff.)
*** Cauchy, Exerc. de math. (29) IV, S. 140ff.
f Stickelberger, Ueber reelle orthog. Substitution , Progr. der eidgen. polyt.
Schule für das Schuljahr 1877/78 (erstes Halbjahr), Zürich 1877, § 7.

ff S.Kantor, Theorie der Aequivalenz von linearen cc;-- Schaaren bilinearer
Formen, Sitzb. der math.-phys. Klasse der k. B. Akad. der Wissensch. zu München
von 1897(98), S. 367 ff.

XIV Einleitung.

S. Kantor auf Formen, deren Koefficienten lineare Formen beliebig
vieler Variabelen sind. Dabei entsprechen den Weierstrass'schen
Elementartheilern gewisse invariante Zahlen, die S. Kantor als
Elementar zahlen bezeichnet.

Der Begriff „Element artheiler" lässt sich mit Leichtigkeit auf
solche Systeme von beliebig hohem Range* ausdehnen, deren Elemente
ganze Zahlen oder ganze Funktionen einer oder mehrerer Variabelen
beliebig hohen Grades oder ganze Grössen eines Körpers von Zahlen
oder algebraischen Funktionen sind** (S. 19).

Schon 1861 hatte Smith*** bei ganzzahligen Systemen Zahlen
(Invarianten) in Betracht gezogen, die später von Frobeniust als
pte Elementartheiler des betreffenden Systems bezeichnet wurden. In-
dem man dieselben in Faktoren zerlegt, die Potenzen verschiedener Prim-
zahlen sind, erhält man die sämmtlichen Elementartheiler des Systems.
Ausser Smith selbst war es namentlich Frobenius, der mit diesem
wichtigen zahlentheoretischen Begriffe operirtetf und ihn auf Systeme
der eben beschriebenen Art ausdehnte. ttt Eine fundamentale Eigen-
schaft der gten Elementartheiler ist die, dass für jedes System der gte
Elementartheiler durch den (p — l)ten theilbar ist, (wo q nicht grösser
als der Rang des Systems ist), wie dies im speciellen Falle aus den
Weierstrass'schen Untersuchungen hervorging.* Von grösster Be-
deutung aber wurden diese Elementartheiler für die Theorie der Com-
position von Systemen aus ganzen Elementen. Denn es ergab sich,

* Irrihümlicher Weise wird die Einführung des Begriffes und Namens „Rang"
allgemein Kronecker zugeschrieben; Frobenius vielmehr hat, nachdem er u. A.
schon in seiner Abhandlung „Ueber das Pf äff sehe Problem", Cr eile's Journ.
von 1877, Bd. 82, S. 230 ff., den umfassendsten Gebrauch von diesem Begriffe ge-
macht hatte, demselben später den Namen „Rang" beigelegt (Cr eile's Journ.
1879, Bd. 86, S. 1 u. S. 148). Kronecker, der die grosse Bedeutung dieses Be-
griffes sofort erkannt hatte, fand auch die Benennung höchst zweckmässig ge-
wählt und adoptirte dieselbe (Sitzb. der Berl. Akad. 1884, S. 1078).

** Bei unserer Darstellung von Kronecke r's Untersuchungen über singulare
Schaaren (§8 u. § 10) müsste die Erweiterung des Begriffes „Elementartheiler"
oben an früherer Stelle erwähnt werden. Kronecker vermied es, in den be-
treffenden Arbeiten von Elementartheilern zu sprechen, was in der Abhandlung
in den Sitzungsb. der Berl. Akad. 1890, S. 1225 ff. so auffallend geschieht, dass
man auf eine gewisse Absichtlichkeit schliessen möchte.

*** Smith, Phil. Transact. 1861(62), S. 293.
f Frobenius, Crelle's Journ. (79) Bd. 86, S. 148.

ff Frobenius, Crelle's Journ. (79) Bd. 86, S. 140 ff.; ebendaselbst (80)
Bd. 88, S.96ff.

ftf Frobenius, 1. c. und Sitzungsb. der Berl. Akad. 1890, S. 31ff.
a Vergl. die S. 7 zu Satz I citirte Literatur.

Einleitung. XV*

dass der gte Elementartheiler eines Systems, das durch Composition
zweier oder mehrerer Systeme gleicher Art entsteht, ein ganzes Vielfaches
des Qten Elementartheilers jedes dieser Systeme ist; dieser Hauptsatz
wurde zuerst von Frobenius allgemein bewiesen.*

Naturgemäss wird man die Frage auf werfen, ob das zuletzt aus-
gesprochene Theorem auch umkehrbar ist. In der That ist für Systeme
aus ganzen Zahlen oder ganzen Funktionen einer Variabelen die Um-
kehrbarkeit desselben einfach nachweisbar**, dagegen ist bis jetzt noch
nicht gezeigt worden, dass jenes Theorem sich auch in den übrigen
Fällen umkehren lässt. (Yergl. S. 231.)

Nehmen wir speciell an, zwei quadratische Systeme % und 23,
deren Elemente lineare ganze Funktionen einer Variabelen X seien,
hätten die Beschaffenheit, dass ihre pten Elementartheiler überein-
stimmten. Dann kann nach dem eben Gesagten jedes aus dem andern
durch Composition mit Systemen ^3, Q erzeugt werden, deren Deter-
minanten, wie sich weiterhin ergiebt, nicht Null und nicht von X ab-
hängig sind, und zwar werden ^ und £l auf rationalem Wege ge-
funden. Da nun, wie Frobenius (1879) weiter zeigen konnte, im
Falle die Determinanten der Systeme % und 23 nicht identisch Null
sind, die Systeme $ß und jQ rational so bestimmt werden können, dass
nicht nur ihre Determinanten, sondern ihre Elemente selbst von X
unabhängig sind***, so war hierdurch zum ersten Mal der Wei erstras s-
sche Fundamentalsatz über die Aequivalenz von Schaaren bilinearer
Formen auf durchweg rationalem Wege bewiesen, f

Die arithmetischen, auf der Kr o necker 'sehen Reduktion basirenden
Methoden wurden namentlich von Henseltf weitergebildet; derselbe
zieht auch Systeme in Betracht, deren Elemente ganze oder gebrochene
Grössen eines Körpers von algebraischen Zahlen oder Funktionen
sind, wobei der Begriff „Elementartheiler" abermalige Erweiter-
ung erfahren muss.ttt Die Hauptsätze über Elementartheiler bleiben

* Vergl. die S. 16 zu Satz II citirte Literatur.
** Vergl.z.B. Frobenius, Crelle's Journ. (80) Bd. 88, S. 114.
*** Vorausgesetzt, dass der Koefficient der höchsten Potenz von l in der
Determinante von 5t bez. 33 nicht Null ist. Der Satz gilt dann aber auch sofort
ohne diese Beschränkung (39).

t Frobenius, Crelle's Journ. (79) Bd. 86, 1. c. § 13. Vergl. auch Landsberg,
Ueber Fundamentalsyst. und bil. Formen, Crelle's Journ. (96) Bd. 116, S. 331ff.

tt Hensel, Crelle's Journ. (94) Bd. 114, S. 25ff.; derselbe, Ueber die Ele-
mentarth. componirter Systeme, I.e. S. 109 ff.

ttf Hensel, Ueber einen Fundamentalsatz aus der Theorie der algebr. Funkt,
einer Variabelen, Crelle's Journ. (96) Bd. 115, S. 254 ff.

XVI Einleitung.

auch für solche Systeme bestehen (§ 18). Von besonderem Interesse
sind hier solche Systeme, bei denen die Elemente jeder Zeile conjugirte
algebraische Grössen des betreffenden Körpers von algebraischen
Funktionen einer Variabelen sind. Man kann dann die pten Elementar-
theiler rational bestimmen und mit ihrer Hilfe die Verzweigung der
Rie mann 'sehen Fläche, welche zu der den Körper constituirenden
algebraischen Gleichung gehört, unmittelbar angeben.* Damit sind wir
zu den neuesten furiktionentlieoretischen Anwendungen der Elementar-
theiler gelangt.

* Hensel, Ueber die Ordnungen der Verzweigungsp. einer Riemann'schen
Fläche, Sitzb. der Berl. Akad. 1895, S. 933 ff.; derselbe, Ueber die Verzweigungsp.
der 3- und 4-blätterigen Riemann'schen Flächen, ebendaselbst S. 1103ff. —
Eine Reihe weiterer auf diesen Gegenstand bezüglicher Arbeiten von Fischer,
Hensel u. Landsberg findet man in Crelle's Journ. (97) Bd. 117 u. 118.

§ 1. Definition und allgemeine Eigenschaften
der Elementartheiler.

1. Sind zwei bilineare Formen

A = ^V* Xi yk, B =^!&«'* xi Vk (»> * — 1, 2, • . . »)

von je 2n Veränderlichen xlf z2> • • • x* unc* Vi> %>•'-•?» vorgelegt,
bedeuten ferner Xt \ \ homogene binäre, von den Xi und y{ unabhängige
Veränderliche, so wird die Gesammtheit der durch den Ausdruck

dargestellten Formen als eine Schaar (ein Büschel) von bilinearen
Formen bezeichnet; A und B heissen die Grundformen der Schaar,
die Determinante

heisst die Determinante der Schaar.

Die Determinante der Schaar ^A + A2B werde mit D bezeichnet;
D ist eine homogene ganze Funktion nten Grades der Veränderlichen lx | A2.
Falls D nicht identisch Null ist, kann es daher in ein Produkt
von n Faktoren zerlegt werden, deren jeder in Ax | k2 homogen und
linear ist. Analoges gilt für jede Subdeterminante des Systems von D*

Nun sei D nicht identisch Null, und

ein Linearfaktor von D, ferner bedeute lQ den Exponenten der höchsten
Potenz, zu welcher erhoben p in allen Subdeterminanten pten Grades
von D enthalten ist; in D ist p zur Potenz lH enthalten.

Der Definition gemäss tritt der Faktor plo in allen Subdeter-
minanten gten Grades auf, und zwar in mindestens einer derselben
genau zur ^ten Potenz. Im grössten gemeinschaftlichen Theiler aller
Subdeterminanten pten Grades von D tritt also p zur Potenz lQ auf.
Die Zahlen lQ sind positive, ganze Zahlen bez. Null.

* Eine Subdeterminante des Systems einer Determinante B wird im Folgenden
auch kurz als eine Subdeterminante von D bezeichnet werden.

Muth, Elementartheiler. 1

2 §1,2.

2. Für die soeben eingeführten Zahlen lQ besteht die Ungleichung

(1) Zo+l>^,

wenn lQ > 0 ist. Entwickelt man nämlich eine Subdeterminante
(q + l)ten Grades von D nach den Elementen einer Reihe (Zeile oder
Spalte), so enthält jedes Glied des Aggregates eine Subdeterminante pten
Grades als Faktor; also ist die Subdeterminante (g -f l)ten Grades
mindestens durch die lQte Potenz von p theilbar. Aber auch ihre
partiellen Ableitungen nach Ax und A2 sind durch pl<j theilbar. Denn
jede derselben stellt ein Aggregat von Produkten vor, deren jedes aus
einer der Grössen aik bez. bik und einer Subdeterminante pten Grades
von D besteht; also ist in der That Z?+1 > lQ, Für lQ = 0 ist selbst-
verständlich ??+i>^.

Ist L = 0, so ist wegen (1) auch

Iq — 1 = Iq — 2 = • ' ' = tx = 0.

Ist daher lQ+i > 0, lQ = 0, so ist

(2) 0 = lt = l2 = • • • = lQ < lQ + i < lQ+2 < ••• < In-

Zufolge dieser Eigenschaft der Zahlen lQ ist der grösste gemein-
sclmftliclie TJieüer aller Subdeterminanten (q + l)ten Grades durch den-
jenigen aller Subdeterminanten Qten Grades tlieilbar.

Nunmehr definiren wir n Zahlen ei9 e2} . . . en durch die n Gleich-
ungen

(3) en = ln — l,i—i, en—i = ln—i — In— 2, • • • ^i mm *i-

Diese n Zahlen sind nach (2) positive ganze Zahlen bez. Null. Aus (3)

io]& ln=ei + e2 + -' + en]

also ist

(alt + bX^n = (ult + KH^-i + &*,)* . . . {alx -f bXj'n.

Jeder einzelne der Faktoren, in welche soeben (a^-f &A2)'» zer-
legt wurde, heisst ein Elementartheiler* der Determinante der
Schaar bilinearer Formen, wenn sein Exponent von Null verschieden
ist. — Wir denken uns die analoge Zerlegung für jeden in D auf-
tretenden linearen Theiler ausgeführt; alsdann wird, abgesehen von
einem von ^ | A2 unabhängigen Faktor, die Determinante D das Pro-
dukt ihrer sämmtlichen Elementartheiler. Sind, in irgend einer Reihen-
folge geschrieben,

{aiX1 -f bik2)*i (i — 1, 2, . . . m; m < n)
die sämmtlichen Elementartheiler von D, so ist
et + «i + h H Ycm = n.

* Weierstrass, Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften in Berlin
(gekürzt BM), 1868, S. 321. (Ges. Werke Bd. II, S. 21.)

Definition und allgemeine Eigenschaften der Elementartheiler.

Die Bedeutung gerade dieser Zerlegung von B für die Theorie
der bilinearen Formen kann erst an späterer Stelle zu Tage treten.
Zunächst wollen wir hier ein Beispiel für die Zerlegung einer Beter-
minante in Elementartheiler geben. Es sei z.B.

A — aixlyt+ at x2y2 + aYx%yz + a2x±y^
B = b1x1yl + bx x2y2 + bxx3y5 + h x^
aL: a2 = b1: b2.

und nicht
Dann ist

B

a^ + b^
0
0

0

0

0
0
0

0

aLXi + b1X2 0

0 0

= (at Xl + bL h7(a2 K + h *s)-

Für den Linearfaktor aiX1-\-bl^2 von B wird

Z4= 3, fc3=2, l2 = 1, ^i = 0,
also

c4 = 1 , 63 = 1 , e2 — l) ßi==^'5

zum Lineartheiler ax Äx + bt 12 gehören also die Elementartheiler

Dagegen gehört zu a2 X± + b2 A2 nur der Elementartheiler

«2^1+ M*-
Daher ist in Elementartheiler zerlegt:

B - (Oi Ax + 6t A2) (^ At + ^ A2) (% Ax + &! *2) K Ai + &2 ^)-
In unserem Beispiele haben alle Elementartheiler von B den Ex-
ponenten 1.

3. Wir wollen, zu allgemeineren Betrachtungen zurückkehrend,
den Fall näher untersuchen, wo die Elementartheiler von B, die zu
einem bestimmten linearen Theiler von B gehören, alle den Exponenten
Eins haben.

Damit der Z-fach in B auftretende lineare Faktor p bei der Zer-
legung von B in Elementartheiler stets den Exponenten 1 erhält,
muss p in allen Subdeterminanten

(n — l)ten Grades von B zur Potenz 1—1,
(n — 2)t0n Grades von B zur Potenz l — 2,

(n — l + l)ten Grades von B zur Potenz 1
auftreten (2). Dagegen haben wegen (1) die Subdeterminanten (n — ?)ten
Grades nicht alle den Faktor p.

l*

4 §1, 3-4.

Ist umgekehrt für einen Linearfaktor p von D

In — 1 + 1= 1,

so muss wegen (1) Z„_j=0 und

h— i + 2=2, Zn_;+8= 3, ... ^_i= l — 1
sein, damit Zn=Z wird. Dann ist aber nach (3)

Also: 6n = en~x - ' ' ' = 6/l-i+1 = L

Domo ew Z-/acÄ iw D auftretender Linearfaktor bei der Zerlegung
von D in Elementarfheiler nur Exponenten 1 erhält, ist nothwendig und
hinreichend, dass er im grössten gemeinschaftlichen Theiler aller Sub-
determinanten (n -1 + l)ten Grades linear enthalten sei.

Die oben definirten Zahlen eQ haben die fundamentale Eigenschaß,
to en > en-± ^ e„_2 ;> . . . > e2 ^

ist. Der Beweis hierfür wird im Folgenden erbracht werden, wobei
sich zugleich ein neuer Beweis für die Ungleichung (1) ergeben wird.
Die Zahlen lQ haben also die Eigenschaft, dass nicht nur die ersten
Differenzen ^- J, - J?_, (?- 1, 2, . . . W; 1,-0)^

sondern auch die zweiten Differenzen

eQ—eq-1{g = 1, 2, . . . n; e0= 0)
niemals negativ sind.

Indem wir im Vorhergehenden (Artikel 1 — 3) durchweg
a>i k=aki, bik= bk ,-, xt = yt
setzen, erhalten wir an Stelle von Betrachtungen über bilineare Formen
von 2wVariabelen xlyx2, . . . xn und ylt yt} . . . yn solche über quadratische
Formen von wVariabelen x1? x2, . . . xn. Man hat überall für „bilineare
Form" zu setzen „quadratische Form"] im Uebrigen bleibt dann das
Gesagte vollständig bestehen. Der Ausdruck X1A-{- A2B heisst also
eine Schaar von quadratischen Formen, u. s. w.

4. Im Vorhergehenden haben wir den Begriff „Elementartheiler"

für solche Determinanten eingeführt, deren Elemente lineare Formen

zweier Veränderlichen Xx | A2 waren. Dieser Begriff lässt sich aber folgender-

massen noch beträchtlich erweitern:

Es bedeute

1**1 (*',& = 1,2, . . . n)

die Determinante eines Systems von n2 Elementen*

* Die folgenden Betrachtungen gelten auch für nicht quadratische Systeme,
denn solche können durch Zufügen von Reihen mit lauter Elementen Null in
quadratische verwandelt werden. Diese Nullreihen sind aber ohne Einfluss auf
obige Entwickelungen.

Definition und allgemeine Eigenschaften der Elementartheiler.

diese Elemente seien jetzt entweder ganze Zahlen — die Null mit
eingeschlossen — oder ganze Funktionen einer oder mehrerer Variabelen.
Ferner bedeute p im ersten Falle eine Primzahl, im zweiten eine
lineare bez. irreduktibele Funktion, Unter q verstehen wir eine ganze,
positive Zahl, die nicht grösser ist, als der Rang* r des Systems
der aik. Endlich bedeute lQ den Exponenten der höchsten Potenz, zu
welcher erhoben p in allen Subdeterminanten pten Grades des Systems
der am auftritt. Da jedenfalls

(4) l,>lg-! (e-l,2,...r;?0-0)

ist [vergl. den Beweis von Ungleichung (1)], so ist jede der Zahlen

(5) eQ=\)-lQ-1 (# — l,2,:..r)

positiv und ganz, bez. Null. Dann heisst nach Weierstrass und
Frobenius** jede der Grössen

für welche e,> nicht Null ist, ein Elementartheiler des Systems der
Elemente aik, oder auch, wenn r = n ist, der Determinante |a,-*|;
p heisst die Basis, eQ der Exponent des Elementartheilers peg vom
eQien Grade. Ein Elementartheiler ersten Grades heisst auch ein linearer
Elementartheiler.***

Wir werden im Folgenden allgemein den grössten gemeinschaft-
lichen Theiler aller Subdeterminanten aten Grades unseres Systems

* Sind nicht alle Subdeterminanten rten Grades unseres Systems Null bez.
identisch Null, aber alle Subdeterminanten (r-j-l)ten Grades, so heisst r der Rang
des Systems der aik oder auch, wenn das System ein quadratisches ist, der
Determinante \ait\. Ist |aft|=|=0 (nicht gleich Null) bez. =|s 0 (nicht identisch
Null), so setzt man r = w; sind alle Elemente ait Null bez. identisch Null (=0),
nimmt man r = 0. (Frobenius, Crelle's Journ. [79] Bd. 86, S. 1 und S. 148.)

** Weierstrass, I.e. und Frobenius, Sitzungsb. der Akad. derWissensch. in
Berlin (kurz citirt: SB), 1894, S. 33.

*** Kronecker nannte (BM1874, S.226 [Ges. Werke, S. 405]) einen.Elementar-
theiler ersten Grades einen einfachen Elementartheiler, und demgemäss hat
man für e?>l von mehrfachen Elementartheilern gesprochen. Wir ziehen
obige bequemere Bezeichnung mit Frobenius (Crelle's Journ. [79] Bd. 86, S. 162) vor,
die das Wort „einfach" zur anderweitigen Verwendung frei lässt. [Vergl. 6c).]

6 §1,4-5.

der aik — auch Determinanten oten Grades des Systems genannt —
mit Da bezeichnen und, falls o > r ist,

Da=0

gesetzt denken. Für r = n ist natürlich Dn= \ an |.

Der Definition gemäss steckt p in DQ zur Potenz ^, speciell in Dr
zur Potenz lr. Da nach (5)

ei + e2 H + er = Zr

ist, so erkennt man, dass Dr das Produkt sämmtlicher Elementartheiler
unseres Systems ist (vergl. Art. 2).

Da p in DQ zur Potenz lQ auftritt , nach (4) aber lQ ^> lQ _ i ist, so
ist sicher JDQ durch D?__i theilbar. Daher sind die Ausdrücke

(6) •E- = •^f^, Ä-i-^j» — J^-A

ganze Zahlen bez. ganze Funktionen. Man setzt noch

und nennt i? t? t?

bez. den ersten, zweiten, . . . nten Elementartheiler* des Systems der

aik, oder auch, wenn r = n ist, der Determinante \aik\.

Der gu Elementartheiler (ET) enthält p zur Potenz eQ. Zerlegt
man also Eu E2...Er bez. in Faktoren, die (von Null verschiedene)
Potenzen verschiedener Primtheiler sindy so erhält man sämmtliche ET
des Systems.

5. Sowie nun DQ durch DQ-lf so ist auch EQ durch EQ-i theil-
bar. Denn wir werden jetzt das Fundamentaltheorem beweisen, dass

e0 >e?_i
ist. Zuvor wir den Beweis beginnen, muss noch ein neuer Begriff ein-
geführt werden:

Nach der Definition giebt es mindestens eine Determinante Qten
Grades unseres Systems, die genau durch die lQie Potenz von p theil-
bar ist. Jede Determinante pten Grades des Systems, welche den Prim-
theiler p genau zur Potenz lQ, also zur selben Potenz, wie der grösste
gemeinschaftliche Theiler aller Determinanten pten Grades desselben
enthält, heisst nach Frobenius** eine in Bezug auf p reguläre Sub-
determinante gten Grades des Systems. Unter den Subdeterminanten
eines gewissen Grades giebt es mindestens eine in Bezug auf einen

* Vergl. S. 13, Anm.**
** Frobenius, I.e. S. 32.

Definition und allgemeine Eigenschaften der Elementartheiler. 7

bestimmten Primtheiler reguläre. Wenn im Folgenden kurz von einer
regulären Determinante gesprochen wird, so ist stets eine in Bezug
auf p reguläre gemeint. Bei r = n ist die Determinante | o,* | für
jedes p regulär.

Wir werden nun die drei folgenden Sätze beweisen, die unter
sich in engem Zusammenhange stehen:

1) Jede reguläre Determinante gten Grades des Systems der aik (q > 1)
enthalt mindestens eine reguläre Determinante (9 — l)ten Grades des
Systems als Subdeterminante*

2) Jede reguläre Determinante (q — l)ten Grades des Systems der
ct>ik (q > 1) ist in einer regulären Determinante Qten Grades als Sub-
determinante enthalten**

I. Es ist stets

CO *e>V-* 0 = 2> V..r),

oder

lQ - 2^-i + ^_2> 0 (q - 2, 3, ... r; Z0= 0);

in Worten:

Der 9te Elementartheiler eines Systems ist stets
durch den (q — l)ten theilbar.***

Dass Satz I für q = 2 gilt, ist evident; denn jedes Element aa
enthält p zur Potenz llf also tritt p in jeder Determinante zweiten
Grades mindestens zur Potenz 2\ auf; daher ist

l2 2^ Al\i I2 — '1 ^ '1

und somit

Wir nehmen nun an, es sei für ein bestimmtes q bewiesen, dass
in jedem Systeme von Elementen aik der oben beschriebenen Art

(8) e1<e2^e3. . . <C^_i

sei, und zeigen, dass dann für dieses p nicht nur eQ—1<e(>, also der
Satz I giltig ist, sondern dass auch für dieses und für jedes kleinere q die
beiden ersten Sätze 1) und 2) gelten. Da wir nun oben sahen, dass in

* Smith, Phil. Trans. 1861(62), vol. 151, S.318; Proc. of the Lond. math. soc.
1873, vol.4, S.237. Stickelberger, Crelle's Journal (79) Bd. 86 , S.38 — 39.
Frobenius, ebendaselbst (80) Bd. 88 , S. 116. Hensel, daselbst (95) Bd. 114,
S. 52ff. Frobenius, SB 1894, S. 33.

** Hensel und Frobenius am zuletzt genannten Ort.

*** Vergl. ausser der unter * citirten Literatur: Weierstrass, B M 1868,
S. 331, Anm. (Ges. Werke Bd. II, S. 36). Die obigen Entwickelungen geben wir
nach Frobenius, SB 1894, S. 33 flg.

8 S1'5-

jedem Systeme 6, < e2 ist, so sind damit alle drei Sätze mit einem
Schlage bewiesen.

Greifen wir, um jetzt zum Beweise überzugehen, eine Deter-
minante pten Grades (p > 2) unseres Systems der aik

M — | a#" I 0* - ^n ^2> • • • Pf» v = vn vv • • • vq)

heraus, die nicht (identisch) Null ist. Der Primtheiler p soll im
grössten gemeinschaftlichen Theiler aller Subdeterminanten aten Grades
von M zur Potenz Va enthalten sein, in M selbst also zur Potenz C
In M giebt es mindestens eine Subdeterminante (q — 2)tea Grades,
welche genau durch die Z^_2te Potenz von p theilbar ist; eine solche
werde mit T bezeichnet. Alsdann ist nach einem bekannten Satze
über Systeme von Subdeterminanten

(9) MT=PS-QR,

wo P, $, R, S Subdeterminanten (q — l)ten Grades von M sind. Die
linke Seite vorstehender Gleichung ist genau durch die

(^ + Z^_2)te Potenz

von p theilbar, die rechte mindestens durch die 2^_ite; daher ist

oder

lg — 1 — lo—2^\i Iq — 1-

Da ferner die Ungleichung (8) nach Voraussetzung für jedes System,
also auch für das von M, gilt, so ist

(10) l[-l^l[-l[<- ..^_i-i{-s^-*J-i,
wo V0 = 0 zu setzen ist. Da, wie schon bekannt,

ist, so gilt der auf (10) sich stützende Beweis unserer Sätze auch

für q = 2.

Nunmehr wollen wir irgend eine Subdeterminante unseres Systems

der aik v

L = \axx\ (% = x1? x2, . . . xQ— 1] & = ^11 hi - • • *t-v

vom Grade q-1 mit der Determinante M in Beziehung setzen.
Aus L geht dadurch eine Determinante pten Grades

hervor, dass man die Zeile und Spalte, in welcher das Element a^
von M steht, zu L hinzunimmt. Gehört das Element a„v einer Reihe
von L an, so ist Z^v=0 zu setzen.

Definition und allgemeine Eigenschaften der Elementartheiler.

Dann gilt nach Kronecker* die Identität

• fV> v = vi> • • • v9).

La,

JflV

0 (ti = p,

Entwickelt man die linke Seite derselben nach Potenzen von L, so

kommt:

(11) 2* M - i?-1 Jtfi + Z>-2lf2 + • • • + MQ,

wobei .M* (a = 1,2, ... q) homogene Funktionen ot6n Grades der
Grössen L^ bedeuten, deren Koefficienten Subdeterminanten (q — ö)i6n
Grades von M sind.

* Kronecker, Crelle's Journal(70) Bd. 72, S. 153; Frobenius, SB 1894,
S. 34. Letzterer zeigt daselbst, dass der Kr.'sche Satz eine Folgerung des nach-
stehenden Satzes von Sylvester (Phil. Mag. 1851, S. 279; Frobenius, Crelle's
Journal (79) Bd. 86, S. 54; SB 1894, S. 242) ist: Greift man aus einem Systeme von
Elementen aik eine Determinante

p==\ay.x\ (*«*i i ... *?, *«*!,... a?)

vom Qten Grade und eine Determinante

S = I «/** I (ji^th* - - • /**i * — »n • • • O
vom gien Grade heraus und bildet die s2 Determinanten

M \f*-fhi P*i '«ni VJ

(q -f l)^re Grades, so ist identisch

{ v = n , . . . v9 )

;— i

& ■»

V 2 **y

Ml 1 ».

^ Ml I »I

Für den zweiten Faktor rechts wollen wir kurz

^

schreiben; ferner sei speciell g = Q-\-l. Dann wird, wenn wir weiter voraussetzen,
dass P und S keine Reihe des gegebenen Systems gemeinsam haben, für

<V = o 0

f4

■ft

P zu P

Pa , und somit unsere vorstehende Identität zu

jir

^vl=^P

y.v
0

Der zweite Faktor rechts ist aber Null, weil in dieser Determinante
(2 q -j- l)ten Grades alle Elemente Null sind , welche die letzten q -f 1 Zeilen mit
den letzten q -f- 1 Spalten gemeinsam haben. Also ist

und das ist die KronecJcer'sche Identität. Haben P und S Reihen gemein, so ist
durch wiederholtes Hinschreiben von Reihen ein System zu schaffen, wo dies
nicht mehr der Fall ist. Dadurch ergiebt sich sofort die oben angegebene dies-
bezügliche Vorschrift.

10 §1,5.

Der Prirutheiler p sei in L zur Potenz l und im grössten gemein-
schaftlichen Theiler aller Determinanten L^v zur Potenz V enthalten.
Also enthält L^~°Ma den Faktor p mindestens zur Potenz

(Q-ö)l + Va + VQ-a =To (tf = 1, 2, . . . ?);

L$ M enthält p genau zur Potenz
Nun ist

ta-\-l — *o=={y — l) — (lo—o — Iq—o — IJj

wegen (10) aber

v9-c - vQ-c-i<;vQ-i;,-i (6 - o, iM . . q - 1),

mithin

(12) t^-t^'-O-^-^-i) (tf-Ofl,...p-l).

Wir behaupten nun, dass

(13) v-i^H-U-t

ist. Denn wäre

l — 1>Iq — Iq — i,
so wäre nach (12)

*o-\-l — ra > 0,

also

ra+i> ta (<j = 07 1, . . . p — 1)
oder

re> t?_i> . . . > rx >r0.

Nun enthält aber die linke Seite von (11) den Primtheiler # genau
zur Potenz r0, also kann ihn nicht jedes Glied der rechten Seite zu
einer höheren Potenz enthalten. Also gilt die Beziehung (13), die
man auch schreiben kann
(14) JJ+l^-i+Ps

bedeutet nun Af den grössten gemeinschaftlichen Theiler aller Super-
determinanten* von X, so ist sicher

und somit wegen (14)

Damit haben wir den wichtigen Satz gewonnen:

3) Bas Produkt zweier Determinanten Qten und (fi — l)ten Grades SQ
lez. SQ-i eines Systems ist theübar durch aus Produkt aus dem grössten
gemeinschaftlichen Theiler aller Subdeterminanten (*> - l)ten Grades von SQ
und dem grössten gemeinschaftlichen Theiler aller Superdeterminanten
^n Qrades von SQ — i.**

* Ist B eine Subdeterminante von A, so heisst A eine Superdeterminante

von B.

** Der Satz läset sich noch verallgemeinern. Vergl. Frobenius, 1 c. S. 35.

Definition und allgemeine Eigenschaften der Elementartheiler. H

Mit Hilfe dieses Satzes kommen wir rasch ans Ziel. Wir wählen
jetzt für L und M reguläre Determinanten (q — l)ten bez. Qien Grades
unseres Systems. Dann ist

und (14) geht in l~h-U H~hi

l + Iq — 1 ^ Iq + Iq — 1

über; ferner ist

l ^Iq, Iq — I^Iq — 1*

Aus den beiden ersten der drei letzten Ungleichungen folgt

*Q — 1 ^ Iq — 1 y

und somit ist wegen der dritten

Iq — 1 = *Q — 1*

Analog findet man yr 7

Damit sind aber die Sätze 1) und 2) für den betrachteten Werth
von q und für jeden hleineren bewiesen. Nach Satz 1) ist ferner, da M
regulär ist, vi

° 7 ™ — 2= ^ — 2,

und deshalb wegen (10)

Iq — i — »o — s "^ vq Iq — 1
oder

eg-i^eQ.

Damit sind unsere Sätze 1), 2) und I allgemein bewiesen.

6. Die Bedeutung der Sätze 1) und 2) für die Theorie der ET
wird im Folgenden erst zu Tage treten; in Satz I dagegen haben wir
einen ersten Fundamentalsatz über Elementartheiler gewonnen. Wir
werden aus ihnen zunächst einige Folgerungen ziehen:

a) Ist von den Zahlen l1}l2. . .lr die Zahl lQ> 0, aber lQ — i = 0;

so ist nach (4) auch

Iq — 2= ^ — 3= "• = l1= 0;

da nach Voraussetzung -, -,

6 eQ=lQ-lQ-1>0

ist, so sind nach Satz I auch

eQ + u eQ + 2,--er

von Null verschiedene, positive ganze Zahlen. Die Differenzen

Iq + 1 — Iq, Iq + 2 — "f + 1; • • • *r — lr — 1

sind daher grösser als Null; mithin ist unter der gemachten Voraussetzung

(15) 0 = lx - l2 - • • • = lQ_x < lQ < lQ + 1 < .. . < lr,

wie wir dies für einen Specialfall schon in 2 nachgewiesen haben
[vergl. (2)]. Ferner hat man

(16) er>er-1>--^eQ>0,
eQ _ i = eQ _ 2 = • • • = ex = 0.

12 §1,6-

Zur Basis p gehören also hier die ET

fr, p*r-l}...p«Q

des Systems. Enthält der rte E T unseres Systems den Primtheiler p
linear, so ist p ein linearer ET des Systems (4), und sämmtliche zur
Basis p gehörende ET sind nach (16) ebenfalls linear. Dies tritt ein,
wenn p, das in Dr zur Potenz lr auftritt, in Dr — i zur Potenz lr— 1
vorkommt. Also gilt der Satz:

4) Damit die zur Basis p gehörenden ET eines Systems vom
Bange r nur Exponenten 1 haben, ist nothwendig und hinreichend, dass
der in allen Determinanten rten Grades zur Potenz lr auftretende Prim-
theiler p in allen Determinanten (r — l)ten Grades zur Potenz lr—l
auftritt.

Ein anderes Kriterium für das Vorhandensein lauter linearer ET
von gegebener Basis lernten wir für einen Specialfall in 3 kennen;
dasselbe gilt auch hier und lässt sich leicht für ein System vom
Range r verallgemeinern.

b) Jeder Primtheiler p, der in DQ zur Potenz ^(> 0) enthalten
ist, tritt wegen (15) auch in EQ auf und zwar zu einer Potenz, die
kleiner oder gleich lQ und nicht Null ist. Jeder Theüer von DQ ist
sonach ein TJieiler von EQ, und umgekehrt.

c) Wie wir wissen, ist Dr das Produkt sämmtlicher ET unseres
Systems; da nun für einen Primtheiler p

Zr_! = er-i + er-2 H he,

ist, so findet man mit Rücksicht auf (16) Dr-i aus den ETn

P"r, P"*—1, • • • <Le'r> <£*-h • • •
des Systems, indem man die ET höchsten Grades p% gf'r . . . , die zur
Basis p, q. . . gehören, weglässt und das Produkt der übrigen ET
bildet; analog findet man Dr_2 u.s.w. Sind also der Bang und die
ET eines Systems bekannt, so kann man auf diese Weise die grösstcn
gemeinschaftlichen Theüer DQ berechnen. Man kann aber auch auf
Grund von (16) den ersten, zweiten, . . . rten Elementarthäler sofort hin-
schreiben:

Die höchsten Potenzen von p, q, . . . sind die Faktoren von Er, die
zweithöchsten diejenigen von Er-i> u.s.w. So besitzt in unserem
Beispiele S. 3 die Determinante D den ET (Mi + M2) dreimal,
ausserdem den ET (a2k1-\-b2X2)-: daher ist

Definition und allgemeine Eigenschaften der Elementartheiler. 13

Nennen wir peg einen einfachen Elementartheiler*, E0 (ß = 1,
2,...w) einen zusammengesetzten Elementartheiler des Systems
der aik, so ist durch die Betrachtungen in 4 die Berechnung der ein-
fachen ET aus den zusammengesetzten, durch vorstehende hingegen
die der zusammengesetzten ET aus den einfachen gegeben. Wird von
einem „ET" schlechthin gesprochen, so ist stets ein „einfacher" gemeint.

Stimmen für zwei Systeme der Rang und die einfachen ET
überein, so stimmen auch die zusammengesetzten ET beider Systeme
überein, ebenso die grössten gemeinschaftlichen Theiler ihrer Sub-
determinanten gleich hohen Grades. Auch das Umgekehrte ist richtig.

d) Nun eine Folgerung aus 1)! Ist R eine reguläre Determinante
Qten Grades des Systems, so enthält sie nach Satz 1) eine reguläre
Determinante (q — l)ten Grades als Subdeterminante, letztere hat wieder
nach 1) eine reguläre Determinante (o — 2)ten Grades als Subdeter-
minante, u. s. w.; p tritt also im grössten gemeinschaftlichen Theiler
aller Subdeterminanten oten Grades von R genau zur Potenz la auf
(<7 = 1, 2, . . . p); die zur Basis p gehörigen ET einer in Bezug auf die
Basis p regulären Determinante des Systems der aik sind zugleich ET
des gegebenen Systems.

e) Zum Schlüsse eine zweite Folgerung aus 1). Jede Determinante S
vom pten Grade aus den aik ist durch den grössten gemeinschaftlichen
Theiler TQ—t aller Subdeterminanten (p — l)ten Grades von SQ theil-
bar (4). Ist S9 regulär, so enthält es den Faktor p genau zur Potenz le>
Tp_i enthält ihn wegen Satz 1) genau zur Potenz lQ—\y und somit
tritt p im Quotienten g0

zur Potenz

Iq— lQ-i= eQ

auf. Dies besagt, da in EQ der Faktor p zur Potenz eQ auftritt (4):
5) Der gte Elementartheiler eines Systems von Elementen alk ist der
grösste gemeinschaftliche Theiler der Quotienten, welche man erhält, indem
man jede Determinante Qten Grades des Systems durch den grössten
gemeinschaftlichen Theiler ihrer Subdeterminanten (q — l)ten Grades dividirt.
Dieser Satz lässt den Qten Elementartheiler eines Systems selbst als
einen grössten gemeinschaftlichen Theiler erscheinen, während er früher
als Quotient zweier solcher Theiler definirt wurde. Smith definirte
zuerst den Qt6n ET auf vorstehende Weise als grössten gemeinschaft-
lichen Theiler.**

* Nach Frobenius. Letzterer braucht die Bezeichnung „zusammen-
gesetzter ET" in anderem Sinne. Vergl. Cr eile's Journ. (79) Bd. 86, S. 162.

** Smith, Phil. Trans. 1861 (62), vol. 151, S. 318. Die Benennung „gter ET"
führte Frobenius (Crelle's Journ. (79) Bd. 86, S. 148) ein.

14 §1,7.

7. Vertauscht man im Systeme der dik parallele Reihen, so bleibt
die Gesammtheit der Determinanten ö*611 Grades (tf = 1, 2, . . . »), welche
man aus ihm entnehmen kann, abgesehen vom Vorzeichen, ungeändert;
daher bleiben der Rang r, die Zahlen lQ, eQ und die Ausdrücke DQ, Eq
dieselben.

Dies vorausgeschickt nehmen wir nun einmal an, dass in unserem

sIsteme aih-akif

dass also das System ein symmetrisches sei. Ueber ein solches System
wollen wir nun mit Hilfe von Satz 2) in 5 einen für spätere Ent-
wicklungen höchst wichtigen Satz ableiten .* Zunächst führen wir für
solche Systeme einen neuen Begriff ein:

Eine Subdeterminante eines symmetrischen Systems, deren Diagonal-
elemente der Diagonale des Systems angehören, wird eine Haupt-
unterdeterminante genannt-, dieselbe ist ebenfalls symmetrisch.

Angenommen nun unter den Hauptelementen sei kein reguläres;
dann sei aik ein reguläres Element. Die Hauptunter determinante
zweiten Grades a. . ^ _ m ;i

enthält dann p genau zur Potenz 2lt] also ist

l2£2l^
wir wissen aber, dass die Ungleichung

h ^ 2\
besteht (5). Daher muss l =21

sein, und die Determinante a(i akk — aik2 ist sonach regulär.

Um jetzt zu allgemeineren Betrachtungen überzugehen, nehmen
wir an, dass die Hauptunterdeterminante

vom 0— l)ten Grade regulär sei, dagegen keine der Hauptunterdeter-
minanten pten Grades

w0 i>Q-i ist. Dann giebt es nach 2) eine reguläre Subdeter-
minante Qien Grades

Aik=^?±ana22 . . .aQ-i,Q-iaikl

welche AQ-i enthält. Setzen wir dann für Q + l<r
AQ+1 = ^?±a11a22 • • .aQ-1,Q-iaiiakki

so ist nach der Determinanten theorie, da in AQ+i

* Vergl. zum Folgenden: Frobenius, SB 1894, S. 36 flg.

Definition und allgemeine Eigenschaften der Elementartheiler. 15

adj. an = Akk =^ ± ana22 . . . o^-i, Q—i akk,

adj. akk — J.tl-,

adj. au = — Äa-
ist,

(17) ^_i^+i= JLf< JLH— J.fjfc2.

Nun hat Aik den Faktor p genau zur Potenz Z?, An und ^4**
haben ihn zu höherer Potenz; steckt daher p in -4?+i zur Potenz ZJ+i,
so ist, weil -4.?_i regulär ist, wegen (17)

(18) lQ—i+ Iq+i = 2^,

und somit .,

Da aber andererseits p in Dp+i zur Potenz Zp+i und in der ein-
zelnen Subdeterminante ^L?+i zur Potenz l'Q+i auftritt, so ist sicher

lg + 1 <1 Iq + i'i

aus den beiden letzten Ungleichungen folgt aber

(19) ^+i — Vq+i>

d. h. AQ+1 ist regulär. Ferner ergiebt sich aus (18) und (19)

ee+i = eQ.
Bezeichnen wir jetzt allgemein die Determinante

unseres Systems mit Aaa (4"%), so können wir auf Grund
der eben angestellten Betrachtungen unser gegebenes System durch
passende Anordnung der Zeilen und entsprechende der Spalten, ohne
also die Symmetrie aufzuheben, in ein anderes so umformen, dass die
Reihe der Hauptunterdeterminanten

A\y A^y . . . Ar
folgende Eigenschaften hat:

6) Ist AQ nicht regulär, so sind nicht nur AQ^.± und AQ+1 regulär,
sondern auch

■Bq = £ dt ^11^22 ' ' ' aQ — 1, Q — lCl>Q,Q + l>

aber nicht

ferner ist stets Ar regulär.

16 §1,7-8.

Falls Ar—x nicht regulär ist, so ist das zuletzt Behauptete nach
dem Vorhergehenden, als richtig Erwiesenen, giltig. Ist aber Ar-i
regulär, und wird oben g — r, also

Alk ==^.i ^11^22 • * • ar — 1, r — l<*i*

u. s. w. gesetzt, so ist nach (17), da hier Ar+t = 0 zu nehmen ist,

AiiAkk=Aik2;
wären nun die Hauptunterdeterminanten, welche Ar—\ enthalten, alle
nicht regulär, so gäbe es wegen Satz 2) eine reguläre Determinante
Aikj die rechte Seite vorstehender Gleichung enthielte p genau zur
Potenz 2lr) die linke zu einer höheren Potenz. Es muss daher eine
reguläre Hauptunterdeterminante rten Grades geben, welche Ar— i ent-
hält, u. s. w.

Zugleich hat sich folgender Satz über ET ergeben:

G'xebt es in Bezug auf einen Primtheüer p eine reguläre Haupt-
unterdeterminante (g — l)ien Grades, dagegen Iceine reguläre Haupt-
unterdeterminante gtea Grades, welche die erster e enthält, so ist für g + l<,r

ep+i — eQ.

8. Ziehen wir neben unserem Systeme von n2 Elementen aik ein
zweites von n2 Elementen bik, die mit den aik gleichartig sind, in Be-
tracht, so erhalten wir aus beiden durch Composition ein drittes
System von n2 Elementen

cik= anblk + aahk+ üishk+ h ainbn1t (»", * — 1, 2 . . .*)

derselben Art. Es entsteht nun die für unsere Theorie fundamentale
Aufgabe, die zusammengesetzten ET dieser drei Systeme mit einander
in Beziehung zu setzen. Diese wird durch folgendes Theorem gelöst:

IL Der at0 Elementartheiler eines Systems, das aus zwei
(oder mehreren) Systemen gleicher Art componirt ist,
ist ein ganzes Vielfaches des öt6n Elementartheilers
jedes dieser Systeme*

Um dasselbe zu beweisen, bezeichnen wir allgemein den grössten
gemeinschaftlichen Theiler aller Subdeterminanten gtea Grades des
Systems der bik mit 2? , das der cik mit C9; der Primtheüer p sei in
BQ zur Potenz ßQ, in CQ zur Potenz yQ enthalten. Es sei ferner

L — \bMi | (x = xly. . . *f— 15 A = X17 . . . l9 -i)
eine reguläre Determinante (g — l)ten Grades aus den bik und

* Smith, Phil. Trans. 1861 (62), vol. 151, S. 320; Proc. of the L. math. soc. 1873,
vol. IV, S.244. Frobenius, Crelle's Journ. (80) Bd. 88, S. 114 u. SB 1894, S. 40
u.S. 42. Hensel, Crelle's Journ. (95) Bd. 114, S. 110. Obiges nach Frobenius
a. letztgenannten 0.

Definition und allgemeine Eigenschaften der Elementartheiler. yj

M = I cnA O - ^i? • • • H> v "" v^ - ■ • vq)
eine reguläre Determinante Qten Grades aus den c/* * Wegen Satz 1)

enthält dann der grösste gemeinschaftliche Theiler aller Subdeter-

minanten (q — l)ten Grades von M den Faktor p genau zur Potenz y»— 1.

Nun betrachte man das System

fr*l|*l ^I|ip_1 ^l,*! ^1»V0

und denke sich dieses System im Artikel 5 zum Systeme der a,-t ge-
wählt, nehme für die Determinanten Z/ und illf daselbst die oben an-
gegebenen Determinanten L und M und wende die Formel (13) an.
Man erhält, da jetzt

zu setzen ist, _, .

"— ft-i ^ n- - ^-i-

Eine Determinante L^v hat die Gestalt

%_l.*i • • • 0*?_1,*?_1 &x?_lt»

(f* = ft1; ...ft?, v = v1;... v?),

fy*»*l c/*l^_ 1 Cl"1*

ist also eine homogene lineare ganze Funktion von n Determinanten
pten Grades des Systems ^ . . . iix _^ ^v

wie sich wegen (20) durch Zerlegung von LILIV sofort ergiebt. Also
enthält L^v den Faktor^? mindestens zur Potenz ßQ> es ist

und somit
w. z. b. w.

* Ist rc(r6) der Rang des Systems der cik(bu), so ist rc<r6, da jede
Determinante a*«* Grades aus den cik eine lineare Form der Determinanten
tften Grades aus den ba ist (Baltzer, Determinanten, Leipzig 1881, fünfte Aufl.,
§ 6; vergl. auch 10). Ist daher e<rc, so ist auch ?<r6.

Muth, Elementartteiler. 2

18

§1, 9.

9. Lässt sich der eben gewonnene Fundamentalsatz umkehren? Ehe
wir auf diese wichtige Frage eingehen, müssen wir uns näher mit der
Composition von Systemen befassen. Dies wird im nächsten Paragraphen
geschehen; hier soll zuvor noch eine für spätere Anwendung wichtige
Eigenschaft der Subdeterminanten unseres Systems der aik (4 — 7) dar-
gelegt werden; die früheren Bezeichnungen behalten wir bei. Seien nun

-r» i i r\ i i / * = *i » *2 > • • • Kn '

OH«»

axx

B

Uul

S = I auv

9,1

vier Determinanten pten Grades aus den an\ die Indices vx . . . vQ können
zum Theile mit den Indices X1 . . . XQ übereinstimmen, ebenso die In-
dices ߣ . . . [i o mit den Indices xt . . . Xq. Ist dieses der Fall, so
verschaffen wir uns durch wiederholtes Hinschreiben von Reihen ein
neues System, in welchem dasselbe nicht mehr der Fall ist. Für das
neue System sind die Grössen Dq, lQ u. s.w. dieselben, wie vorher, da
alle neu hinzukommenden Determinanten Qten Grades (identisch) Null
sind. Nun ist nach dem Satze von Sylvester in 5, S. 9, Anmerkung:

(20) |P^|=Pe-

0*

Pq> v =

= «A

• • vq)>

wo

-tfiv — I Q>at

axx^>iv

| ((? = *!, . . . XQ, [l] z = Xl9 . . . XQ, v)

ist, und das System der Determinante rechts aus denen von P, Q, R, S
in bekannter Weise gebildet ist. Setzt man nun in den Determinanten
von (20) für a^, Null, so erhält man wie S. 9, Anmerkung,

a , 0

(21) IPa^-P^l-Pv-'QR.

Jetzt entwickele man die linke Seite von (21) nach Potenzen
von P; es wird bei geeigneter Umstellung

(22) P*S - P?-1 QB - {PS - QB) P*~l

wo 8s(g — 1, 2, . . . q) eine Summe von Produkten aus Determinanten
(p _ s)ten Grades aus dem Systeme von S und Determinanten gten
Grades aus den P^v vorstellt. Jede von den letzteren Determinanten
ist aber wiederum nach obigem Satze von Sylvester gleich einer
Determinante (p + g)ten Grades des gegebenen Systems der aik mul-
tiplizirt mit P;~1. Also enthält

Definition und allgemeine Eigenschaften der Elementartheiler. 19

den Faktor p mindestens zur Potenz

lQ-s + lQ+g + (p - 1)1 - '%, (s = 1, 2, . . . q),
wenn p in P zur Potenz l auftritt. Nun ist aber wegen I in 5

tg+1 - tg=(lQ+g + 1 — lQ+?) — (^_g— ^-5_l) ^ 0,

also ^

Daher tritt p in (22) rechts mindestens zur Potenz

auf. ri ~ lQ-i + ^+i + (? — 1)1

a) DaAer mwss # in po __ n 7?

mindestens zur Potenz lQ-x-\-lQ+1 auftreten. Da stets nach I

^>— 1 + ^>+i ^ 21q
ist, so hat dieses Resultat nur dann Bedeutung, wenn
ist. Iq-i + Iq+i>21q

b) Ist q = r, also gleich dem Bange des Systems, so wird

PS- QR = 0*
weil die Determinanten (r + g)tea Grades jetzt alle Null sind. Diese
Bemerkung kann man benutzen, um den Satz zu beweisen:

c) Der Rang r einer schiefsymmetrischen Determinante \aik\ ist
stets eine gerade Zahl**

Denn wäre r ungerade, so betrachte man eine Determinante

1*- Grades B-M 0* _ ft, . . . ^, A = ^, . . . i,)

aus den aik, die nicht Null ist. Dann wird

nicht Null sein, da ^ ^r ,

ist. Nach obigem Satze b) wäre dann das Produkt der Determinanten

und ^ia"f Cm'-^.-.Jr)

gleich -i?2, also nicht Null, während doch P und £ als schief-
symmetrische Determinanten ungeraden Grades beide Null sind; also
ist r gerade, w. z. b. w.

Zum Schlüsse dieses Paragraphen bemerken wir noch, dass Alles
in Artikel 4-9 Gesagte Wort für Wort .giltig Heilt, wenn wir unter
den aik ganze Grössen eines beliebigen Körpers von algebraischen Zahlen
oder Funktionen, unter p einen wirklichen oder idealen Primtheiler
in dem betrachteten Körper verstehen.

* Frobenius, Crelle's Journ. (77) Bd. 82, S. 240.
** Frobenius, 1. c. S. 242.

20 § 2, io.

§ 2. Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen.*

10. Wir betrachten ein System

0/n\. . . Q/nn

von n2 Elementen a,ik beliebiger, aber unter sich gleicher Art. Die
au brauchen also jetzt nicht mehr ganze Grössen zu sein, es können
irgendwelche Zahlen eines algebraischen Zahlenkörpers — z. B. irgend-
welche rationale Zahlen — oder beliebige Funktionen einer oder
mehrerer Variabelen, u. s. w., sein. Dieses System von n2 Elementen
fassen wir mit Frobenius im Bilde einer bilimaren Form
Ä =^aikXiyk (♦, h — 1, 2, . . . »)

zusammen, deren Koefficientensystem eben jenes System der aik vor-
stellt, deren Determinante also mit der Determinante

| aik | (t, fc — 1,2,...»)
identisch ist. Die Form A heisst eine ordinäre oder eine singulare,
je nachdem ihre Determinante \aik\ nicht Null bez. nicht identisch
Null oder Null bez. identisch Null ist.

a) Multiplikation.
Wir ziehen nunmehr neben der bilinearen Form A eine zweite

bilineare Form ^ ^7», ,. 7 . 0 N

B =2jik xLyk 0, & = 1, 2, . . . w),

die, d.h. deren Koefficientensystem, mit A bez. dem Systeme der aik
gleichartig ist, in Betracht. Aus beiden Formen leiten wir alsdann
eine dritte bilineare Form

gleicher Art ab. Von dieser Form P sagen wir, sie sei aus den

Formen A und B zusammengesetzt, und bezeichnen dieselbe mit

AB, wo A und B in dieser Reihenfolge zu nehmen sind. Wir nennen

die Form P auf Grund der symbolischen Gleichung

(2) P = AB

geradezu das Produkt der Formen A und P, A und B die Faktoren

des Produkts.

* Ueber die Entwickelung dieser Theorie vergl. Encyklopädie der mathem.
Wissenschaften, Leipzig 1899, Bd. I, S. 169, Anmerk. 19. Obige Darstellung
schliesst sich an Frobenius, Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen,
Cr eile 's Journal (78) Bd. 84, S. 1 flg. an.

Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen. 21

Wo also im Folgenden ein Produkt AB von Formen auftritt, ist
dasselbe symbolisch aufzufassen, während die Addition und Subtraktion
von Formen im gewöhnlichen Sinne zu nehmen ist.

Die Bildung des symbolischen Produktes zweier Formen setzt
voraus, dass dieselben von gleichviel Variabelenpaaren abhängen; trifft
diese Voraussetzung nicht von vornherein zu, so kann man dadurch,
dass man zu einer der Formen Glieder mit Koefficienten Null hinzu-
fügt, bewirken, dass beide Formen von gleichvielen Variabelenpaaren
abhängen.

Nach (1) ist nun

(3) P =^aik 3,||. =^bik §£ yk

= ^a>ubikXiyk,
wo t, h9 l — 1, 2, . . . » zu setzen ist. Für

(4) P-^jpaXtyt (t,*-l,2,---*0

wird somit

(5) Pik=^aublk 0 — 1,2,...»).

Bezeichnen wir allgemein die Determinante einer Form
A =^aikXiyk (i, Je — 1, 2, . . . »)

mit | A |, so ist wegen (5)

oder es ist I I ~~ I II I

(6) \AB\-\A\,\B\.

Das System der Determinante | A B | ist aus denjenigen von | A \
und \B\ in ganz bestimmter Weise componirt (zusammengesetzt), wenn
JP = AB aus A und B zusammengesetzt ist.

Jede Subdeterminante pten Grades von | AB | ist ferner wegen (5)
eine homogene lineare ganze Funktion der Subdeterminanten Qten
Grades von | A | und eine ebensolche Funktion der Subdeterminanten
pten Grades von | B \.

11. Für die symbolischen Produkte gilt
1. das distributive Gesetz. Denn ist

C=^cikXiyk (t,fc — 1,2,...»)

eine weitere bilineare Form, so ist nach der Definition

A(BJLfr\ Vai d(B + °) V^-A dB .y^BA dC

und somit

CO A(B + C) = AB + AC.

22 § 2, u.

eine weitere bilineare Form, so folgt aus (7)

(8) (A + B){C + D) = (A + B)C + (A + B)B

= (AC + BC+AD + BD).

Sind a und b konstante Grössen, so ist per definit.

(aA)B = A(aB) = aAB,
wegen (7) also

(aA -\-bB)C = aAC -f bBC;

ferner ist , A . ...

\aA\ = an\A\.

Es gilt ferner für diese Produkte

2. das assöciative Gesetz. Denn (AB)C entsteht nach (1) dadurch,

dass man in B zuerst % ^

Xi = - —

und dann $q

setzt, (AB)C hingegen dadurch, dass man diese Handlungen in um-
gekehrter Folge vornimmt. Nun ist es aber gleichgiltig, in welcher
Reihenfolge man diese Handlungen vornimmt; es ist daher

(AB)C = A(BC).
Durch diese Gleichung ist die Schreibweise ABC für (AB)C = A(BC)
gerechtfertigt. Nach dem eben Gesagten ist

(9) ÄBC=2huiwr^ (*'»*- 1, 2,... »)•

Ferner wird wegen (6)

oder \ABC\-\(AB)C\-\AB\-\C\-\A\.\B\.\C\

(10) \ABO\-\A\-\B\-\0\.

Nach dem am Schlüsse von 10 Gesagten ist jede Subdeterminante
Qten Grades von \ ABC \ eine homogene lineare ganze Funktion der
Subdeterminanten Qten Grades von \A\ bez. von \B\ oder |C|.

Ist P = ABC, so entsteht das Koefficientensystem von P aus den
Systemen von A, B und C dadurch, dass es aus ihnen in ganz be-
stimmter Weise successive zusammengesetzt wird, derart, dass das
System von A zuerst mit dem von B, und das so erhaltene System
wieder mit dem System von C\ oder auch zuerst das System von B
mit dem von C, und das neue System mit dem von A — immer in
ganz bestimmter Weise — zusammengesetzt wird.

Die vorstehenden Betrachtungen lassen sich leicht auf Produkte
von vier und mehr Formen ausdehnen. Man hat

Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen. 23

A(BCD) = (AB) (CD) = (ABC)D = ABCD,

U.S.W.

Ist

S = y^SijtXiyk9 T = 'S^tikxiyk (i, Je - 1, 2, . . . n)
und ^ -H

(11) B = SAT

so geht nach (9) JB dadurch aus ^4 hervor, dass in J.

2£ , , ,

dT

(t-1,2,...*)

gesetzt wird, oder es geht, wie sich Frobenius kurz ausdrückt,* die
Form A durch die linearen Substitutionen S und T in die
Form B über. Das symbolische Produkt B = SAT erscheint also
bei dieser Auffassung als der Ausdruck einer linearen Substitution für
jede der zwei Reihen Veränderlicher, wobei nur in der transformirten
Form B die neuen Veränderlichen wieder mit xt bez. yt bezeichnet
werden. Nach (10) besteht für die Determinanten der Formen A und B
und die Determinanten der linearen Substitutionen S und T, wenn
B = SAT ist, die Gleichung

\B\-\B\.\A\.\T\. .

Wenn in (11) die Form S das Produkt zweier Formen U und V
ist, so heisst die Substitution 8 ebenfalls das Produkt der beiden
Substitutionen U und V oder die aus U und V zusammengesetzte
Substitution. Die Systeme der Substitutionskoefficienten der Sub-
stitutionen UV, U und V stehen in dem Zusammenhange, dass man
das erste aus den beiden letzten durch Composition erhält (10).

Die Substitution UV geht — unsymbolisch gesprochen — aus
den Substitutionen U und V dadurch hervor, dass in

für die x-t

substituirt wird. Denn man erhält -■ — > indem man in V die zuletzt

"Vi

angegebene Substitution (12) vornimmt, d. h. UV bildet, und dann nach
yi differentiirt; diese Handlungen dürfen aber auch in umgekehrter

* Crelle's Journ. (79) Bd. 86, S. 149.

24 §2,n.

Reihenfolge vorgenommen werden, wodurch unsere Behauptung erwiesen
ist. Oder auch: die Substitution UV bewirkt, da

{UV)A- U(VA)

ist, dass in A zuerst für die xt die Substitution V ausgeführt, und
hierauf, wenn in der transformirten Form die neuen Variabelen wieder
mit Xi bezeichnet werden, in letzterer für die x{ die Substitution U
vorgenommen wird. Ist hingegen, um die Substitution für die y{
zu betrachten,

T= UV,

so wird in A zuerst die Substitution Z7, dann in der transformirten
Form die Substitution V für die yt auszuführen sein. — Hier ist also
auf die Stellung der Buchstaben genau zu achten, wenn man von der
symbolischen zur unsymbolischen Ausdrucksweise übergeht.
Es gilt für unsere symbolischen Produkte aber nicht

3. das commutative Gesetz; denn die Formen AB und JBA sind
im Allgemeinen verschieden. Im Falle

AB = BA

ist, heissen die Formen A und B vertauschbar.

Sind B und C mit A vertauschbar, so ist mit Rücksicht auf 2.
oben
(12) A{BC) - (AB)C- (BA)C- B(AC) - B(CÄ) = BGA,

und analog ergiebt sich allgemeiner:

Ist jede Form einer Reilie von Formen mit jeder Form einer zweiten
Beihe von Formen vertauschbar, so ist auch jede aus den Formen der
ersten Beihe zusammengesetzte Form mit jeder aus den Formen der
zweiten Beihe zusammengesetzten Form vertauschbar.

4. Ganze Funktionen einer Form. Jede Form, welche aus mehreren
Formen durch die Operationen der Zusammensetzung, der Multipli-
kation mit Konstanten, der Addition und Subtraktion (in endlicher
Anzahl) gebildet ist, nennen wir mit Frobenius eine ganze Funktion
jener Formen. Aus dem letzten Satze folgert man:

Ist jede Form einer Beihe mit jeder Form einer andern Beihe
vertauschbar, so ist auch jede ganze Funktion der Formen der einen
Beihe mit jeder ganzen Funktion der Formen der zweiten Beihe ver-
tauschbar.

5. Conjugirte Formen. Diejenige Form, die aus A entsteht, wenn
man xt und y{ (i = 1, 2, . . . n) vertauscht, wird die zu A conjugirte
Form genannt und im Folgenden stets mit AI bezeichnet. Man hat

Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen. 25

(A')' = A, (aA)'-aA', (A + B)' = A' + B\

i i

und weiter

(ABC)' = [(AB)C]' = C'(AB)' = C'B'A',
allgemein

(13) (ABCD . . .)' - . . . D' C'B'A1.

Ist A mit J5 vertauschbar, so ist

(AB)' = (BA)' - JB' J.' = ^'.B',
und somit sind auch -4/ und 5' vertauschbar.

Eine Form heisst symmetrisch, wenn sie ihrer conjugirten
Form gleich, sie heisst alternirend, wenn sie ihrer conjugirten Form
entgegengesetzt gleich ist. Das Koefficientensystem einer symmetrischen
Form heisst ebenfalls symmetrisch (7), das einer alternirenden
schiefsymmetrisch.

Die Form AA! ist, da nach (13)

(AAJ = AA'
ist, symmetrisch. Der Koefficient von Xiyi in AA! ist nach (5)

ah + a$2 H b«L;

ist daher A eine Form mit reellen Koefficienten, so ist AA' nur
dann identisch Null, wenn A=0

ist. Allgemeiner: Sind aik und bik in den Formen A und B con-
jugirt complexe Grössen, so ist AB' nur dann identisch Null, wenn
A identisch Null ist; denn der Koefficient von Ztjfi in AB' ist

Ct>ilhl + 0>i%bi% + h 0>inhn<,

und dieses ist nur dann Null, wenn A = 0 ist.

6. Entsteht das System (£ aus zwei Systemen % und 23 durch
Composition, sind die Formen (7, A, B bez. die „Bilder" der Systeme
(£, 8, $8 (10), so besteht entweder eine symbolische Gleichung

C-AZtC'-B'A1),
oder eine symbolische Gleichung

C — AB'(P'—BA')9
oder eine symbolische Gleichung

C-A'B(C'=B'A),
oder eine symbolische Gleichung

C*=A'B'(C'-AB)i
eine Bemerkung, die sich leicht verallgemeinern lässt. Betrachtungen
über die Composition von Systemen lassen sich auf diese Weise in

26 § 2, H-12.

solche über symbolische Produkte von Formen verwandeln. Wir
haben in 11 unter 2. und eben hier den Zusammenhang zwischen der
Zusammensetzung von Formen und Systemen einerseits und der Zu-
sammensetzung von Formen und Substitutionen andererseits dargelegt.
Aus beiden resultirt ein Zusammenhang zwischen der Zusammen-
setzung von Substitutionen und Systemen, den man sich leicht selbst
herstellen wird.

Noch eine wichtige Bemerkung möge hier Platz finden:
Bezeichnet man allgemein das System der Determinante | A | einer
Form A mit 5t, so kann man die Koefficientensysteme der Formen

A + B, A-B, AB, Consta
symbolisch bez. mit

Ä + ®, 8-8, 5tS3, const.5t

bezeichnen. Die (symbolische) Rechnung mit Formen kann dann auch
aufgefasst werden als ein symbolisches Rechnen mit Systemen: 51 + 23
heisst die Summe, 51 — 93 die Differenz, 5193 das Produkt der
Systeme 5t und 93; letzteres ist durch die Gleichungen

cik =-^aublk (1 = 1,2 ...n)

definirt. U.s.w. Ist 2123 — 935t, so heissen die Systeme 5t und 23
vertauschbar; doch gelten nicht alle Benennungen über Formen zu-
gleich für Systeme; z. B. nennt man die Systeme 51 und 51' gewöhn-
lich nicht conjugirt, sondern man bezeichnet 51' als das transponirte
System von 51. Solche Abweichungen werden besonders hervor-
gehoben, im Übrigen können wir uns nach Obigem auf die Rechnung
mit Formen beschränken.

b) Division.
12. Wir setzen

X=^xikx{ijk (»> l - 1, 2, . . . n)

und nehmen an, es sei

,4X = 0;

alsdann sind die n2 Gleichungen [vergl. (5)]

anxlk + ai2x2k + h ainxnk (i, h — 1, 2, . . .n)

durch die xik erfüllbar, wenn wir A als gegeben annehmen; es muss

daher \A\*=0

sein. Ist hingegen |-4|-|-0, so müssen alle xik Null sein, wenn AX=0 ist.
Ist AX(XA) identisch Null, und \A\ ist nicht Null, so ist X
identisch Null.

Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen. 27

Setzen wir in der Determinante von A

adj. aik = aiky
so heisst die Form

A — ]§fati»y« (*, * — 1, 2, • . . n)

die adjungirte Form von A Setzen wir weiter ein für allemal

so ist nach (5) ** + %* + ••' + **-*.

(14) ^A^A^-I^I-jE'.

Ist nun | .4 | = 0, so giebt es keine Form X derart, dass

(15) AX = E oder XA = E
ist; denn existirte eine solche, so wäre

\AX\ = \E\, \A\.\X\ = \, 0-jX| = l.
Ist aber A =|= 0, so genügt nach (14) die Form

X- A

X-JÄ\

den beiden Gleichungen (15), aber keine andere Form Y. Denn aus

AX = E, AY=E

folgt '

A(X-Y) = 0,
und da | A | -|» Ö ist, muss nach dem obigen Satze

sein. x-r_o, x = r

Die durch die Determinante | A | dividirte adjungirte Form A
einer gegebenen Form A soll, wenn | A | =|= 0 ist, die reciproke Form
von A heissen und mit

A-1

bezeichnet werden; sie ist auch durch (15) definirt.

Wir haben
also ist |^-M-MH^H*|-15

(i6) i^»i-|i|-».

Aus
(17) AA-!=E, A~iA = E

fo]& AA-^A-^A;

die Form A ist mit ihrer reciprdken Form vertauschbar.
Die Form X = A genügt den Gleichungen

XA~i=E, A-^X^E,

d. h. die reciprolce Form der reciprdken Form ist die ursprüngliche Form.

28 § 2, 12-13.

Ferner ist wegen (13)

(AA-1)' = (Ar*)'A! = E' = E,
also per definit.

(18) (J!)-i- &.->)',

d. h. die recipröke Form der conjugirten Farm ist gleich der conjugirten
der reciprolcen Form.
Ans AB = E folgt

A = B-\ B-A-\ BA = E, AB = BA.
Für A = E ergiebt sich

E = E-1, EE-1 = E-^E = E.
Ferner ist für jedes A

(19) AE = EA = A.

Sind die Determinanten zweier Formen A und B nicht Null, so
ist mit Rücksicht auf (17) und (19)

(AB)(B~1A-1) - A(BB-1)A~1 = AEA-1 = AA-1 = £;
B~1A~1 genügt also der Gleichung

(AB)X = E
und ist somit die recipröke Form von AB] in Zeichen:

(20) (AB)~1=B~'LA-^1
allgemeiner findet man aus (20)

(21) (ABCD . . .)_1 —• • B^C-^B-^A-K
In Worten:

Ist eine Form mit nicht verschwindender Determinante aus mehreren
Formen zusammengesetzt } so ist ihre Beciprolce aus den reciprolcen Formen
in umgekehrter Beihenfolge zusammengesetzt.

13. Aus der symbolischen Gleichung

B-SAT
folgt, wenn \S\ und \T\ nicht verschwinden, nach 12

BT-1 = SATT-1 = SAE = SA
und hieraus analog A = S—1BT~lm

geht also die Form A durch die Substitutionen S und T, deren Deter-
minanten nicht Null sind, in B über (11), so geht B durch die Sub-
stitutionen S-1 und T-1 in A über; S"1 und T-1 heissen die zu
S bez. T inversen Substitutionen.

Wir nehmen nun 1. an, es sei speciell S = Tf- dann folgt aus

B=T'AT

wegen (18):

Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen. 29

A - (T'^BT-1 - (T-tyBT-1,
oder für ^ _ ^ ^^

-4 = B'BB.

Geht eine Form A in eine Form J5 durch zwei Substitutionen T
und T über, und daher I? in A durch zwei Substitutionen B' und 2?,
so heissen die Formen A und 5 congruent und die Veränderlichen
Xi und yt cogre dient. Man sagt dann auch wohl kurz, dass A in
B durch die Substitution T übergehe.

Nun nehmen wir 2. an, es sei 8 = 27-1; dann folgt aus

B>=T-iAT,

A^TBT-^B-iBB.

Geht eine Form A in eine Form B durch zwei Substitutionen T*1
und Ty so geht auch B durch zwei Substitutionen B"1 und B
in J. über; in diesem Falle heissen die Formen A und B ähnlich,
die Veränderlichen xt und yt contragredient. Die Substitutionen,
welche A in B überführen, heissen im erst aufgeführten Falle con-
gruent (cogredient), im zweiten Falle contragredient. Congruente
Substitutionen sind von der Gestalt (11)

Xi = tnX[ +tit&-\ h tinX'n )

ähnliche dagegen von der Gestalt (11, 12)

ff< — Sif ai + s2iX2 H h sÄ<ai )

wo

tf,* — adj. Sa in ^± sns22 . . . snn — 1 8

Aus B = T'AT folgt nach (13)

B'=*T'AIT.

Geint A durch die congruenten Transformationen T\ T in B, so
geht durch dieselben Transformationen die zu A conjugirte Form in die
zu B conjugirte Form über.

Aus B = T'AT folgt ferner für A! = A

B'=T(A'T=T'AT=B.

Sind die Formen A und B congruent, so folgt aus der Symmetrie der
einen die Symmetrie der anderen.

Aus B = T'AT folgt endlich für A'=-A
B' = T'A' T=-T'AT=-B.

30 §2,13.

Sind die Formen A und B congruent, und eine der Formen ist alter-
nirendy so ist es auch die andere.

Aehnliche Transformationen T_1, T führen stets E in sich selbst
über: denn man hat

Umgekehrt folgt aus der Gleichung

SET=E
ST = E,
S - T~\
Aehnliehe Substitutionen sind also durch die Eigenschaft, E in sich selbst
zu transformiren, vollständig charakterisirt.

Wir machen 3. die Annahmen 1 und 2 gleichzeitig, wir setzen
also

(22) s=r=T-1

voraus. In diesem Falle heisst T eine orthogonale Form, und man
sagt auf Grund der Gleichung

I?= T'AT—T-*AT9

dass A durch die orthogonale Substitution T in B übergehe.

Ist T eine orthogonale Form (Substitution), so ist auch die zu T
reciproke Form (inverse Substitution) eine orthogonale Form (Sub-
stitution). Denn man hat für T-1 = B wegen (22)

T=B~\ B' = (T-*)' = T = B~\ B1=B-K

Ist T'ET=E, so sind die Substitutionen T1 und T nicht nur
congruent, sondern auch ähnlich; also ist T eine orthogonale Sub-
stitution, und umgekehrt.

Sind S und T, U und V congruente (ähnliche) Substitutionen, so
gilt das Gleiche für die Substitutionen US und TV; denn es ist

£=Tf, U=V, U8-VF-(TV)\
bez.

S = T~\ U=V~\ U8-V-*T-*-iTTl-\

Sind T und ü orthogonale Formen, so ist auch TU (ÜT) eine
orthogonale Form. Denn man hat

r— r-x, u'=u-\ (Tuy-PT'-u-iT-i-iTü)-1.

, Besteht endlich 4. eine symbolische Gleichung

B'=T~1AT}
so folgt aus ihr TB'T-*-A

A,= T'-1BTt

Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen. 31

Ist die zu B conjugirte Form zu A ähnlich, so ist auch die zu A
conjugirte Form ähnlich zu B. In diesem Falle nennen wir die
Formen A und B duale Formen; die Variabelen Xi und yi heissen
auch hier contragredient. Sind

A =^aikXiyk, B = ^?bikx\yk

duale Formen, so geht A in B durch Substitutionen von der Gestalt

xi = sn y{ + si2y'2 + h 8int/n

| S | • ffi = öft- 1 x\ + <? , 2 %\ H h <> ; « a4

über; dies geht aus dem unter 1 oben Gesagten und daraus hervor,
dass Bf in B durch Vertauschen der x\ und yi übergeht.

14. Sind A und I? zwei vertauschbare Formen, so hat man,
wenn | B | =|= 0 ist,

AB-1 = (B^B) (AB-1) = B-1{BA)B~1
= B-1(AB)B-1=B-1A,
und somit sind auch A und B~x vertauschbar. Wir setzen dann mit
Frobenius* die Form .

(23) AB-^B^A^j^

und nennen dieselbe den Quotienten der Formen A und B. Das
Zeichen des Quotienten kann nur dann angewandt werden, wenn A
und B vertauschbare Formen sind, da sonst eine Unbestimmtheit ein-
träte. Man hat wegen (6) und (16)

\AB-1\ = \A\-\B-1\ = \A\.\B\-\

\ } B I = ~\B\

Schliesslich wird wegen (13) und (18) mit Rücksicht auf 11, 5
{AB~1),= (B-^'Ä^ (B'^A'^ A'^B')-1

c) Rationale Funktionen einer Form.

15. Die Form, die entsteht, wenn eine Form A w-nial mit sich
selbst zusammengesetzt wird, soll mit An bezeichnet und die
nie Potenz von A genannt werden. Wegen (12) hat man

(26) AnAm = AmAn = Am+n\ .

setzen wir noch 4° = F

so bleibt (26) auch richtig, wenn m oder n einzeln oder gleichzeitig
Null sind, wie aus (19) hervorgeht.

* Cr eile's Journ. (78) Bd. 84, S. 8.

32 §2,15-16.

Vorstehendes bleibt auch für eine Substitution S giltig. Die
Substitution, welche man durch w- maliges Zusammensetzen einer Sub-
stitution S mit sich selbst erhält, heisst die nte Potenz der Sub-
stitution S und wird mit Sn bezeichnet, u. s. w. Diese Bemerkung
wolle man auch beim Folgenden berücksichtigen.

Ist \A |=|s0, so entsteht dadurch, dass man A~x w-mal mit sich
selbst zusammensetzt, eine Form, die wir mit A~ n bezeichnen werden.
Die Formel (26) gilt auch für negative Exponenten; da

AA~^=A~^A = E
ist (12), so gilt aber auch die Formel (26) dann, wenn die Exponenten
m und n entgegengesetzte Zeichen haben.

Für ein beliebiges n ist ferner

En = E.

Ist a eine Konstante, so hat man endlich

(aA)n = anAn.
Nun sei

g(X) = a0 + a, X + a2X2 + ■ ■ • + anXn

eine ganze Funktion von X. Die Form

a^A9 + alÄ1 + aiA*+-..+ anA*

heisst alsdann eine ganze Funktion nien Grades von A und wird
mit g(A) bezeichnet werden.

Da nach (13) fJ.aV= (A')a

ist, so ergiebt sich g(Af) als die conjungirte Form von g(A); in Zeichen

Wegen (26) folgt aus dem Satze in 11, 4, dass jede ganze Funktion
g(A) von A mit jeder ganzen Funktion h{A) von A vertauschbar ist.
Ist die Determinante von h{A) nicht Null, so heisst der Quotient (14)

giA)

h{A)
eine rationale Funktion von A und wird, wenn

gesetzt wird, mit f(A) bezeichnet.

16. Die Determinante \ XE — A\

heisst die charakteristische Determinante (Funktion)* der
Form A (der Substitution A, des Koefficientensystems von A). Sie
ist eine ganze Funktion genau nten Grades von X] man kann daher

* Von Frobenius nach Cauchy, Mem. sur l'integration des dquations
lineaires, Exercises d'analyse et de phys. mat. (40) tome I, p.53 so genannt.

Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen. 33

q>(X) = \IE-A\- (X - *,)(! - lf) . . . (X-Xn)
setzen, wenn it, Xi} . . . Xn die Wurzeln der charakteristischen

GleichunS 9(X)-0

von A bedeuten, jede so oft gerechnet, als ihre Ordnungszahl angiebt.
Ist weiter

g(X) = a0Xm+ alXmimmt+»* + am= afa - X)([i2- X) . . . (>m- X)

eine ganze Funktion mten Grades von A(a0=|=0), so wird

g(A) = a0Am + axA™-i + • ■ • + amA° = afo E -A)... (pmE - A),

nach (6) also unter Berücksichtigung der letzten Gleichung in 11, 1

\9{A)\-<r\thE-A\-\HE-rA\ \(hnE^A\

- a(fi, — ^) . . . (pm— Ax) . . . afa -Xn)... (pm-K)

Ist h(X) ebenfalls eine ganze Funktion von X} so ist nach der
letzten Gleichung

h(A) = h(Xx)h(X2)...h(Xn).
Setzen wir wieder

so wird, wenn | h(A) | =|= 0 ist,

eine rationale Funktion von ^i (15). Nun ist aber nach (24)
und somit

<27> i^)i=fHS=M)...^).

Nun betrachte man die rationale Funktion (15)

h(A) ~l±J~MÄ)-XJjj- f\A)
von A und wende auf dieselbe die Gleichung (27) an. Man erhält:

| XE - f(A) | = [X - fix,)] [X - f(X2)] . . . [X - ftU)];
in Worten:

Sind Xlf X2y . . . Xn die Wurzeln der charakteristischen Gleichung
von A, so sind f(Xx), f(X2), . . . f(Xn) die der charakteristischen Gleichung
einer rationalen Funktion f(A) von A*

* Vergl. ausser Frobenius, 1. c, Borchardt, Crelle's Journ. (46) Bd. 30,
S. 41.

Muth, Elementartlieiler. o

34 §2, 17.

17. Sind mehrere Formen A, B, Cy . . . gegeben, so heissen die-
selben unabhängig, wenn eine Gleichung

aA + bB + cC + ... = 0

erfordert, dass a = b = c = • • • = 0 ist; im gegentheiligen Falle heissen
sie abhängig. Es giebt gerade n2 unabhängige bilineare Formen von
2n Variabelen Xi9 yi. Daher können die Potenzen einer Form nicht
alle unabhängig sein. Angenommen, die Formen

A°, A\... Ap-1
seien unabhängig, aber A* von ihnen abhängig; es sei also etwa

(28) fff(A) - a0A°+ alA1 + a%A* + ... + a?A* = 0,

wo ap =|= 0 ist, aber a0, an . . . ap—i zum Theil oder sämmtlich Null
sein können. Nun setze man die Form t^(A) mit AQ zusammen; es
kommt wegen (7)

(29) a0A* + ^AQ+t + • • • + a,A*+Q - 0 (o - 0, 1, 2, . . .);
betrachte die Reihe

X + l* + V

S = T ■ ' TT + TsT +

die für hinreichend grosse Werthe von X convergirt, und multiplizire
dieselbe mit der ganzen Funktion pten Grades

ip(X) — a0 + »i^ + «2^2 + i~ aPÄ*\

Dann heben sich wegen (29) die negativen Potenzen von X weg, und
S-tjj{X) wird eine bilineare Form, deren Koefficienten ganze Funktionen
(p — l)ten Grades von X sind. Insofern diese Form von X abhängt,
wollen wir sie mit G(X) bezeichnen; es ist also

s _ <W) .

- ist, ir

Der rationale Bruch — ^r- ist irreducibel. Denn wäre

q _ G(X) U{1)

wo ^(A) vom Grade q<p ist, so wäre

Bt(l) ~H(l),
und da hier rechts eine ganze Funktion von X steht, muss dies auch
links der Fall sein. Dazu ist erforderlich und hinreichend, dass der

Koefficient von y links verschwindet; dann genügte aber die Form A

einer Gleichung qien, also niedrigeren als pten Grades, gegen die Voraus-
setzung.

Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen.

35

Die Reihe S summirt man wie folgt; es ist

A1 A*

S(XE-Ä) = A° = E,

und daher
oder (12)
(30)
wo

(-!)»*•(*)-

und

■H

^12 #ln

a22 — X . . . . G&2 n

3/l

2/2

#*i ön2 .

X,

%

(-i)>W

"11

"21

"12

a,

.t„

«i

^22 A . . .

««1

»n!

ö„n

2/»

0

= \A-XE

zu setzen ist.

Wir wollen jetzt ip(X) bestimmen. Nun ist doch

8

FW G(X)

9 Vi VW

wo der zweite Bruch irreducibel ist; der grösste gemeinschaftliche
Theiler von F(X) und tp(X) heisse #(X); dann ist

Damit aber die bilineare Form F(X) durch &(X) theilbar sei, muss
jeder ihrer n2 Koefficienten durch #(A) theilbar sein, da die xif y{ un-
bestimmte Grössen sind; #(A) ist daher der grösste gemeinschaftliche
Theiler aller Subdeterminanten (n — l)ten Grades von <jp(A), und somit ist

*w

der nte Elementartheiler der Determinante | X E — A | (4). Es gilt also
der Satz:

7) Ist ip(X) der nie Elementartheiler der charakteristischen Deter-
minante einer bilinearen Form von 2n Variabelen xit yif so ist

4>(A) = 0
die Gleichung niedrigsten Grades, der die Form A genügt*

* Frobenius, 1 c. S.12; SB 1896, S.601; E.Weyr, Monatsh. für Math, und

Phys.(89)Bd.I, S. 187.

36 §2,17.

Eine Wurzel der Gleichung ^(A) = 0 ist auch eine Wurzel von
der Gleichung <p(A) — 0; es ist aber auch umgekehrt jede Wurzel von
<p(X) = 0 eine Wurzel von tp{X) — 0 (6, c).

Da ferner
ist, so wird *«-*«»«

p(J) — f(4)*(4) — 0.

2k trf also stets , .x _ *

<p(Ä) = 0 *

Sind /*(A) und #(A) zwei ganze Funktionen von X} und ist 7&(A)
ihr grösster gemeinschaftlicher Theiler, so kann man bekanntlich zwei
ganze Funktionen F{X) und G(X) von A so bestimmen, dass

f{l)G{X)-g(X)F{X) = h{\)
ist. Mithin hat man

f(A)G(A)-g(A)F(A)-\{A).

Nun nehme man g(X) = ^(A) und setze voraus, dass

f{Ä)-0
sei. Dann folgt, da ip(A) = 0 ist, aus der vorletzten Gleichung

h(Ä) = 0.
Da aber ty(Ä) = 0 die Gleichung niedrigsten Grades ist, der A genügt,
so muss xp(X) = const. h(X) sein:

Wenn A einer Gleichung f{A) = 0 genügt, so ist f{X) durch ^(A)
theilbar**

Ist f(X) - |ffi und f(A) - 0, so ist

da Ä(^)—1 nicht Null ist (12); nach dem letzten Satze ist also dann
g(X) durch cp(A) theilbar.

Aus dem letzten Satze folgern wir noch:

8) Ist f(Ä) = 0 eine Gleichung, der A genügt, und f(X) = 0 eine
Gleichung ohne mehrfache Wurzeln, so hat die charakteristische Funktion
von A lauter lineare Elementartheiler***

Da nämlich nach jenem Satze f(X) durch ty (A) theilbar ist, so hat auch
^(A) = 0 keine mehrfache Wurzeln; nun ist aber ^(A) der nte ET von
\IE — A\, enthält also die ET höchster Potenz dieser Determinante
als Faktoren (6, c); daher müssen alle ET von \XE — A\ linear sein,
w. z. b. w.

* Die umfangreiche Literatur über diesen Satz findet man zusammengestellt:
Encyklop. der math. Wissenschaften, Leipzig 1899, Bd. I, S. 171, Anm. 23. Obiger
Beweis desselben nach Frobenius, Crelle's Journ. (78) Bd. 84, S. 13.
** Frobenius, 1. c.
*** Frobenius, I.e., S. 26.

Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen. 37

d) Quadratwurzeln aus Formen.*

18. Sei wieder ip(X) eine ganze Funktion pten Grades der Veränder-
lichen X, die für die Werthe a, b, c, . . . von X verschwindet, etwa
ij,(X) = const (X - a)a{X - b)P(X - c)y . • -,

ist; ferner seien ^ Q^ fi(^

ganz beliebige gegebene ganze Funktionen von X. Nun entwickele man
— y nach steigenden Potenzen von X — a: es sei dann

(^_a)«'t' (X-a)0-1 *-«

= A9+Al(X-a)+-'-+Aa-i(l-a)«-i = 4(1)
(i-a)« (X-a)«

das Aggregat der mit negativen Exponenten versehenen Glieder der

Entwickelung. Analoge Bedeutung habe ^-~ für die Entwickelung

G(l) (l — b)p

von — ~ nach Potenzen von X — b u. s. w. Dann wird

eine ganze Funktion (jp — l)ten Grades von X. Die Entwickelung
von #(Ä) nach Potenzen von X — a stimmt in den a ersten Gliedern
mit der Entwickelung von

(X-a)a

nach Potenzen von X — a überein; Analoges gilt für die Entwickelung
von %{X) nach Potenzen von X — b, X — c u. s. w. Nun ist

F(X)_ A{1) nm

wo R(X) das Aggregat der mit positiven Exponenten versehenen Glieder
der Entwickelung von -~ vorstellt; daher stimmt die Entwickelung von

{A. — a)
nach Potenzen von X — a ebenfalls in den a ersten Gliedern mit der-
jenigen von A(X) ^ „ überein; es ist also, da für die Entwickelung
{X-af

von G(X), H(X), . . . nach Potenzen von X — b, X — c, . . . Analoges gilt,

* Vergl. zu diesem Abschnitt: Frobenius, Ueber die cog. Transf. der bil.
Formen, SB 1896, S. 7 flg., § 1.

38 § 2, 18—19.

[ z(«) - n*), %'(*) = F'ia), . . . fr*ty = *■<— ">(•),

(31) [*(&)-<?(*), *'(&)=<?'(&),... z<,*-»(&)=ffW-i>(&),

Angenommen <0-(A) sei eine ganze Funktion (p — l)ten Grades
von A, die auch die durch die Gleichungen (31) ausgedrückte Eigen-
schaft habe; dann ist

l(a) - &(a) = x'(a)-&(a)= X«— ^(a) ~ #(a-1) («) = 0,

u. s. w.; %(A) — #(A) ist also durch (A — a)a, (A — &)<*, . . ., mithin auch
durch tp(X) theilbar; %(X) — #(A) ist aber nur (p — l)ten Grades, daher

Z(i) - *(*) - 0,

zW - *(*)

sein muss. Es giebt also nur eine Funktion, welche die Eigenschaft (31) hat.
19. Man setze jetzt a, b, c, . . . von Null verschieden voraus, wähle
das Vorzeichen von ]/ay (Vb, ]/c,...) beliebig, aber ein für allemal
fest, und entwickele ]/A nach steigenden Potenzen von X — a (X — b,
A — c, . . .) in eine Reihe, die mit ]/a, (|/&, j/c, . . .) anfängt. Das
Aggregat der ersten a (ß9 y, . . .) Glieder dieser Reihe bezeichnen wir
mit F(X)[G(X), H(X), . . .]. Setzen wir Yx~ m(X), so ist also

| a(a) -F(a), n'(a) -J?"(a), . . . »<— *>(a) -JF^-D^),
(32) U(&)-G(&), co\b)=G'(b),...G>i°-»(b)=GV-V(b),

u. s. w. Jetzt bilden wir mit den eben gewählten ganzen Funktionen
F(X), G(X), ... die Funktion %(X) in oben angegebener Weise. Dann
wird wegen (31) und (32)

«W - •<», z'W - «'(&), • • • Xv"1} 9) - "V-"®,
u s.w. Entwickelt man daher %{X) — co(X) nach steigenden Potenzen
von X — a (X — 5, X — C, . . .), so fallen die a (/}, y , . . .) ersten Glieder
weg. Daher ist die ganze Funktion %{X) — o(X) durch (X — a)n [(X — Vf,
(X — c)r, . . .] theilbar, also auch

MX) + *(X)] [*(*) - •(*)] - %W2- ^W2= ^W2- A;
die <raw0e Funktion

ist durch ip{X) theilbar.

Nun sei A eine beliebige bilineare Form mit nicht verschwindender
Determinante \A\; die Gleichung

Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen. 39

\IE-A\ = Q
besitzt dann keine Wurzel l = 0, also auch nicht die Gleichung #(A) — 0,
wenn il>(A) — 0 die Gleichung niedrigsten Grades bedeutet, der die
Form A genügt (17). Wir können also, dieses ip(X) oben zu Grunde
legend, eine ganze Funktion %(l)2— X so bestimmen, dass

wird, wo auch %{X) eine ganze Funktion von X vorstellt. Da aber
tp{Ä) = 0 ist, so wird

x(Af-A = 0,

(33) %(Äf = A.

Eine beliebige der auf diese Weise durch bestimmte Wahl der Vor-
zeichen der Wurzeln ]/a, ]/&, . . . erhaltenen ganzen Funktionen von %(A)
von A nennen wir mit Frobenius eine Quadratwurzel aus der
Form i und setzen symbolisch

(34) t{A)-A\-VI.

20. Wir wollen jetzt einige Eigenschaften der symbolischen Wurzel-
ausdrücke herleiten. Zunächst ist wegen (6)

|zWI-|z(4)|',

also wegen (33)

\t{Ay?=\A\, \i(A)\-±V[T\
oder

(35) \A*\ = ±\A*\.

Die Determinante von "\/A ist also niemals Null.
Die conjugirte Form von

zUy-A

ls*(lD) iW-i,

daher xiÄj^VÄ!

Unter den verschiedenen Ausdrücken für ]/A' ist also sicher einer,
welcher der Gleichung

(36) Vü-iVÄy

genügt, und unter den verschiedenen Ausdrücken von (VA)9 einer, der
gleich ]/Ar ist.

Im gleichen Sinne gilt die Gleichung

(37) V2F*-{V2y~\±A-b.

Es folgt nämlich aus %{A)2=A nach (20)

\z<Ar*?-A-\

40 §2,20-21.

Ferner findet man mit Hilfe von (37), (18) und (36)

(4-§ y- [(yCZ)-*]'- KV^]-1- <V2)-\

kv

i

(38) (A-ty-A
Schliesslich hat man wegen (16), (37), (35)

\A~t\ - | (1/2)-1 1 - \VÄ I-1 = ± | A \-\,
\A-\\-±\A\-\.

e) Differentiation.*
21. Die Koefficienten einer Form

A =^aikXiyk (i, h — 1, 2, . . .n)

seien Funktionen eines Parameters A; dann ist das Differential

ebenfalls eine bilineare Form; ferner ist

irAT>\ sSJdÄ dB %n WA) dB *s?dA d(dB)

oder

(39) d(AB) - (<Li) B + A(dB).
Daher ist

d(A*) = (dA)A + 4(<*4),
d(ABC) - (<*J)JM7 + 4(<ZJB) C + AB(äO),

d(A«) = (rf^.)^-1 + A(dA)Aa-* + ^2(<^Ma~3 + —

-f^l*-1^).

Ferner, wenn wieder E = xlyi-\- V xnyn}

d(A°) = dE = 0,
also wegen (38), wenn | A \ =|= 0 ist,

0 - diAA-1) = Ad^A-1) + (d^L)^-'1,
und schliesslich ^_1} = _ A_, {dA)A-i.

z.B. ist, wenn die aik von A unabhängig sind,

d{XE - ^l)-1 - - (iE- A)-^d{lE - 4)(aJB - A)-1,

(40) <*(*-£ - A)-1 - - (AJS? — J.)-sdA.

Für das symbolische Rechnen mit Systemen (11) sei bemerkt, dass,
wenn % das System von A, unter d% das System von

^{daik)Xiyk
zu verstehen ist.

* Frobenius, Crelle's Journ. (78) Bd. 84, 1. c. §4.

Symbolisches Rechnen mit bilinearen Formen. 41

f ) Zerlegbare Formen.*
22. Kommen die Variabelen xa, Xß ... in der Form A nicht vor,
so kommen sie auch nicht in der Form AB vor, also auch nicht in
ABC, AB CD. Wenn die Veränderlichen yayp... in D fehlen, so fehlen
sie auch in CD, in BCD, in ABCD. Allgemein:

a) In einem symbolischen Produkte fehlen die Veränderlichen xif
welche, im ersten Faktor, und die Veränderlichen yk, welche im letzten
Faktor nicht auftreten.

Eine Formel heisst zerlegbar, wenn sie ein Aggregat von Formen
Alf A2, . . . ist, von denen keine zwei eine Variabele gemein haben,
Ai A2, . . . heissen die Theile der zerlegbaren Form A. Für die
Entwickelungen und Sätze über zerlegbare Formen, die wir nach-
stehend geben, ist es erforderlich, dass jeder Theil einer zerlegbaren
Form, wofern er nicht an und für sich von gleichviel Veränderlichen
Xi und y{ abhängt, durch Hinzufügen von Gliedern mit Koefficienten
Null zu einer Form gemacht wird, für welche dieses zutrifft. — Z.B.
ist die Form

von 2 • 3^Veränderlichen xly x2, xz und yl7 y2, y3 in die Theile
und A^^iVi + ^yi

zerlegbar. Nach der eben getroffenen Bestimmung müssen wir sie als
eine von 2-4 Variabelen abhängige Form auffassen; denn wir haben

A — #i2/i + Wi + Oxty2! + Ox2y2',

A2 — Ox2'y2 + 0x2'y3 + xsy2 + xzyz
zu setzen, so dass bei passender Bezeichnung der Variabelen

A A

(41) A - x1yl + 0xxy2 + xty1 + 0x2y2 + 0x3yz + Qxsy4 + x^y3 + x^
wird. — Die Form E — x1yl -f- x%y% H \-xnyn ist u. A. in die Theile

zerlegbar. A = ^i2/i, A2 = x2y2t---

Ist A in die Theile Al9 A> '"> & m die Theile JB19 B2, . . . so
zerlegbar, dass At dieselben Variabelen enthält, wie Bi(i = 1, 2, . . .),
so heissen A und B in derselben Weise zerlegbar. E ist ebenso
zerlegbar, wie jede andere zerlegbare Form. Sind

Ä-^JA,, B-^B9 fo-1,2,...)

in derselben Weise zerlegbar, dann ist für q =|= a

* Frobenius, I.e. § 5.

42 § 2, 22.

AQBa - 0,

weil in B0 alle Variabelen fehlen, die in AQ auftreten. Daher ist mit
Rücksicht auf (8)

AB^A,BQ fo-l,2,,..)i

und AQBQ enthält nur Veränderliche, die in AQ und BQ auftreten.
Allgemeiner hat man:

b) Sind mehrere Formen in gleicher Weise zerlegbar, so ist ihr
Produkt in derselben Weise zerlegbar.

Ist A = A1-\- A2, so ist

(42) MIHAI-MJ;*

allgemein :

c) Die Determinante einer zerlegbaren Form ist das Produkt der
Determinanten ihrer Theile.

In obigem Beispiele (41) ist nicht nur die Determinante | A \
4ten Grades, sondern es sind auch die beiden Determinante 2ten Grades

MJ, Kl Null.

Jede von Null verschiedene Determinante Qten Grades des Systems
von | A |, deren System nicht den Systemen von | Al | und | A2 | an-
gehört, ist das Produkt einer Determinante (q — tf)ten Grades des
Systems von | Al | und einer Determinante <5ten Grades des Systems
von | A2 1. Ist also rt (rt) der Rang von | Ax | (| A2 1), so giebt es
(mindestens) eine Subdeterminante (rx -f r2)ten Grades von \A\, die
nicht Null ist, aber keine höheren Grades; daher ist der Rang von \A |
gleich rt+rt] allgemein:

d) Der Rang des Koefficientensystems einer zerlegbaren Form ist
gleich der Summe der Bangzahlen der Koefftcientensysteme ihrer Theile.

Ist A zerlegbar, so ist E und daher auch XEt — A in derselben
Weise zerlegbar; also gilt der Satz (Satz c oben):

e) Die charakteristische Funktion einer zerlegbaren Form ist das
Produkt der charakteristisclien Funktionen ihrer Theile.

Ein System % heisst zerlegbar in die Theile 8^, %y •• , wenn
das Bild A des Systems % in die Theile Au A2} . . . zerlegbar ist,
wo Au A2, . . . bez. die Bilder von %x,%21 . . . sind. Die Sätze b) — e)
gelten nicht nur für Formen, sondern auch m. m. für Systeme.

* \AA bedeutet die Determinante der Form A{, betrachtet als Form der in
ihr auftretenden 2mf. Variabelen, wenn A von 2w, Ax von 2m,, At von 2m2
Variabelen abhängt, 'und Wl + ro2 = n ist. Analoges gilt bei mehr als zwei Theil-
formen.

(t,fc-l,-2,...n),

§ 3. Systeme mit ganzzahligen Elementen. 43

§ 3. Systeme mit ganzzahligen Elementen.

23. Wir betrachten in diesem Paragraphen nur solche Systeme,
deren n2 Elemente aik ganze positive oder negative Zahlen bez. Null sind.
Dem entsprechend treten hier nur Formen mit ganzzahligen Koefficienten
auf (10 zu Anfang).

Geht eine solche Form A = ^aikXiyk (i, k = 1, 2, . . . n) durch
die linearen Substitutionen

yi - ft : i yi + ti 2 2/2 + • • ■ + ii n y'n] {l m h ' ' ' ' n)

mit ganzzahligen Koefficienten slk, tu in eine Form
B =^?bik x\y (*, Je — 1, 2, . . . n)

über, so sagt man, dass die Form 1? unter der Form A ent-
halten sei. Setzt man

£ = y?sikXiyk
T=^tikxiyk

so wird symbolisch, wenn wir in 5 für scj, y\ bez. #t-, yf schreiben (11)

B^SAT
^ |J5H|Ä|.|^|.|T|.

Das Koefficientensystem von B ist aus denen von S, A, T in ganz
bestimmter Weise zusammengesetzt (11).

Entsteht ein System mit ganzzahligen Elementen aus zwei oder
mehreren ebensolchen Systemen durch Composition, so heisst dasselbe
ein Vielfaches jedes der S}Tsteme, aus denen es zusammengesetzt ist.
Nach dem eben Gesagten gilt der Satz:

Ist eine Form B unter einer Form A enthalten, so ist das
Koefficientensystem von B ein Vielfaches desjenigen von A. Umgekehrt
hat man aber auch den Satz:

Ist ein System von n2 Elementen bik ein Vielfaches eines Systems
von n2 Elementen aiki so ist die Form-.

B =^bikXjyk
unter der Form A=^aikXiyk enthalten.

Nach Artikel 11, 6 ist nämlich B (bei richtiger Bezeichnung der
Veränderlichen) dann ein symbolisches Produkt von der Gestalt

B=KL...AUV...-J

es wird also für

44 § 3, 23 — 24.

KL-- = £,

ÜV-=T,

B = SAT,

d. h. B ist unter J. enthalten, w. z. b. w. Aus diesem Beweise geht
zugleich hervor:

Ist ein System 33 ein Vielfaches eines Systems Ä, so kann es
stets aus 51 so erzeugt werden, dass man % vorn und hinten (11, 6)
mit je einem Systeme zusammensetzt.

24. Ist ein System $8 Vielfaches eines Systems Ä, so ist jede
Subdeterminante oten Grades von 33 eine homogene ganze lineare
Funktion der Subdeterminanten pten Grades von % [10, a)]. Wenn
daher eine Primzahl p im grössten gemeinschaftlichen Theiler aller
Subdeterminanten QXen Grades B'Q(DQ) von *(*) zur Potenz *£('*) auf"
tritt, so ist

eMer is£ D£ ein Vielfaches von JDQ. Bedeutet r' (r) den Rang von 33 (51),

so muss

(1) r'£r

sein.

Unser Fundamentalsatz II in 8 besagt ferner, dass der Qte Elementar-
theiler Eq von 33 ein Vielfaches des qten Elementartheilers EQ von % ist.

Bedeuten alt cc2f . . . ganze Zahlen, so hat man also

E!,-«9Et (9=1,2,.../).
.Nun ist aber

2>{-«iA,

also

u. s. w.,

schliesslich

DJ -«!<*... «*!), (o==l,2,...r).

Auch aus Theorem II ergiebt sich somit die Theilbarkeit von
D'Q durch DQ.

Wir wollen im Folgenden eine Form mit dem Koefficienten-
system 51(33) mit A{B) bezeichnen. Ist B unter A enthalten, so ist 33
ein Vielfaches von 51 (23) und somit D'Q durch Dq, E'Q durch Eq theil-
bar(p<>'). Wenn also für <> = 1, 2, ... r' zwar D'Q durch DQ, aber nüftt
Ä durch EQ theilbar ist, so kann 33 nicht Vielfaches von % (B nicht
unter A enthalten) sein. Wenn aber E'q (ganzes) Vielfaches von Eq ist,

Systeme mit ganzzahligen Elementen. 45

so ist auch 33 Vielfaches von % (B unter A enthalten), wie wir im
Folgenden zeigen werden. Damit ist dann die Umkehrung von Theorem II
für ganzzahlige Systeme bewiesen.

25. Ist die Form B unter der Form A enthalten und zugleich A
unter B, so heissen die Formen A und B äquivalent. Ist das
System 33 ein Vielfaches des Systems 51 und zugleich % ein Vielfaches
von 33, so heissen die Systeme % und 33 ebenfalls äquivalent.

Alle Formen, die einer bestimmten Form äquivalent sind, bilden
eine Klasse von Formen. Eine Form (ein System) heisst elementar
oder irreducibel, wenn sie (es) weder selbst zerlegbar noch einer
zerlegbaren Form (einem zerlegbaren Systeme) äquivalent ist (22), im
entgegengesetzten Falle reducibel. Aus dieser Definition folgt, dass
jede Form einer solchen äquivalent ist, die in lauter elementare
Formen zerlegbar ist. Eine in lauter elementare Formen zerlegbare
Form heisst eine reducirte Form. Nach dem eben Gesagten giebt
es in jeder Formenklasse reducirte Formen. Analoges gilt für Systeme.
Mit der Transformation (Umformung) einer Form (eines Systems) in
eine äquivalente reducirte Form (in ein äquivalentes reducirtes System),
oder, wie man sich ausdrückt, mit der Reduktion einer Form
(eines Systems) werden wir uns demnächst beschäftigen.

Sind zwei Formen A und B äquivalent, so ist, wenn wir die in
24 eingeführten Bezeichnungen beibehalten, nach (1) einerseits

andererseits
also ist

r'£r,
r<Lr\

ferner ist D^ ein Vielfaches von DQ, und umgekehrt, also ist*

D>=>jD, (? = 1,2,. ..r)

und analog

El-E, 0 = 1,2,...»);
also:

8 a) Sind zwei Formen A und B (zwei Systeme % und 33) äquivalent,

so sind die Koefficientensysteme 51 von A und 33 von B (die Systeme %

und 33) von gleichem Bange r, und es stimmt der grösste gemeinschaftliche

Theiler aller Subdeterminanten Qten Grades des Systems % mit demjenigen

aller Subdeterminanten Qten Grades des Systems 33 für q = 1, 2, . . r

überein.

* Abgesehen vom Vorzeichen; dieser Zusatz darf als selbstverständlich auch
im Folgenden wegbleiben.

46 §3, 25-26.

Oder:

8b) Sind zwei Formen A und B {zwei Systeme % und 33) äquivalent,
so stimmt der lte, 2te, ...nte Elementartheüer des Koefficientensystems % von
A (des Systems %) bez. mit dem lten, 2ten, . . . nten Elementartheüer des
Koefficientensystems 33 von B (des Systems 33) überein, oder, anders aus-
gedrückt, die Systeme % und 33 stimmen im Bange und in den Elementar-
theilem überein.

Zur zweiten Fassung unseres Satzes vergl. 6, c).

26. Ist die Determinante (der Modul) einer linearen Substitution
mit ganzzahligen Koefficienten gleich ±1, so heisst dieselbe eine
unimodulare Substitution, das System der Koefficienten ein Ein-
heitssystem. Ist S eine unimodulare Substitution, so ist S—1 eine
Form mit ganzzahligen Koefficienten (12), und da nach Gleichung (16)
daselbst

|S-m-|S|-s-±i,

so ist Ä""1, d. h. die zu S inverse Substitution ebenfalls eine uni-
modulare Substitution (das System von #-1 ist also ebenfalls ein
Einheitssystem).

Sind die Substitutionen S, T, J7, V. . . unimodular, so ist es auch
die aus ihnen zusammengesetzte Substitution (11, 2)

Q-STUV...,

denn es ist dann

\Q\-\S\-\T\.\U\,\V\--±1.

Nun gehe die Form A durch die Substitutionen S und T in die
Form B über, es sei also symbolisch

(2) B = SAT.

Ist nun |S|-±1, l^l-il, "'

dann folgt aus (2)

wo die Substitutionen 8~\ T'1 ganzzahlige Koefficienten besitzen. Die
Formen A und B sind also äquivalent, und es gilt somit nach 25 der Satz:

9) Geht eine Form in eine andere durch unimodulare Substitutionen
über, so stimmen Bang und Elementartheüer der Koefficientensysteme
beider Formen überein.

Das System von B entsteht aus dem von A dadurch, dass
letzteres vorn und hinten mit Einheitssystemen zusammengesetzt wird.

Entsteht ein System 33 (einer Form B) aus dem Systeme %
(einer Form A) dadurch, dass 8 mit Einheitssystemen, etwa gemäss
der symbolischen Gleichung (11, 2)

Systeme mit ganzzahligen Elementen. 47

B = PQ...AÜV..,

wo | P|, | 0| • • • I &\) I "H • • • gleich ± 1, componirt wird, so sind die
Formen A und J5 äquivalent, da A in J5 durch die uniniodularen
Substitutionen g^pn T = UV

in jB übergeht. Zh'e Systeme % und 33 sm^ (fcmw ebenfalls äquivalent (23),
und es gilt der Satz (25):

10) Ein System aus ganzzahligen Elementen bleibt im Bange und
den Elementartheilern ungeändert, ivenn man es vorn und hinten mit be-
liebig vielen Einheitssystemen zusammensetzt.

27. Wir betrachten jetzt unimodulare Substitutionen einfachster Art:
a) Setzen wir in A

$2 = X^j Xi== X^y . . . Xi = Xiy #*'-{- 1 = XiJ^ly . . . Xn = Xn,

yi=y\ (* = 1,2, ...n),

so liegen unimodulare Substitutionen S und T vor, und die Form A
geht durch dieselben in eine Form B über, deren Koefficienten-
system 33 sich von demjenigen 21 von A nur dadurch unterscheidet,
dass die Elemente einer Reihe ihr Vorzeichen gewechselt haben.
Das Koefficientensystem von S ist ein Einheitssystem, welches nur
in der Diagonale von Null verschiedene Elemente hat, und zwar hier
lauter -f 1, ausser dem iten Element, das — 1 ist. Das System von
T ist ein Einheitssystem, das nur in der Diagonale von Null ver-
schiedene Elemente und zwar hier lauter + 1 enthält. Die Zusammen-
setzung dieser Einheitssysteme mit §1 gemäss der Gleichung

B = SAT

bewirkt aber den angegebenen Zeichenwechsel in $1.

b) Setzen wir in A

xi "*" xi> xi = x2> • - ' Xi= x.^v x.J^1 = x.y x.^_2 = #t_|_2> • • • xn = xny

Vi-y\ (»-1,2,...»),

so bewirken diese beiden unimodularen Substitutionen eine blosse
Beihenvertauschung im Koefficientensysteme von A. Man gebe die
Beschaffenheit der Einheitssysteme an, welche die Koefficientensysteme
dieser Substitutionen vorstellen

c) Setzen wir endlich in A

x1 = x[y x2 = x'2J . . . xk = xl -f mxl, xk+i = 4+i, • . . xn — x'n,
yi=y\ (i-1,2,...»),

wo s =|= h und m eine ganze positive oder negative Zahl ist, so haben wir
unimodulare Substitutionen vor uns; das System 33 der transformirten

48 § 3, 27 — 28.

Form B geht dadurch aus demjenigen % von A hervor , dass man
die Beihe _

<*kl (*k2i • • • CLkn

mit m multiplizirt und zur parallelen Beihe

#*lj 0>32, • • • Clsn

addirt bez. von ihr subtrahirt.

Auch hier beachte man die Beschaffenheit der Einheitssysteme,
durch deren Zusammensetzung mit % man 23 erhält.

Die unter a), b) und c) beschriebenen Transformationen einer
Form A, sowie die entsprechenden Umformungen ihres Systems %
bezeichnet man als Elementartransformationen der Form A (des
Systems 51); da die Elementartransformationen einer Form (eines
Systems) unimodulare Substitutionen sind (durch Zusammensetzen des
Systems mit Einheitssystemen bewirkt werden), so folgt aus den Sätzen
in 26, dass der Bang r des Koefficientensystems 51 einer Form A (eines
Systems %) sowie der grösste gemeinschaftlich Theiler aller Subdeterminanten
Qten Grades von 51 (p — 1, 2, . . . r), oder, dass der Bang und die ET
von 5t ungeändert bleiben, wenn man die Form A (das System 51) be-
liebig vielen Elementartransformationen unterwirft.*

28. Wir werden jetzt folgenden Satz** beweisen:

Jedes System von n2 ganzzahligen Elementen aik lässt sich durch
alleinige Anwendung von Elementartransformationen in ein solches ver-
wandeln, in welchem nur in der Diagonale von Null verschiedene Elemente
stehen, und in welchem jedes von Null verschiedene Diagonalelement positiv
und TJieiler des folgenden ist.

Beweis. Durch alleinige Anwendung von Elementartransformationen
a) und b) kann man zunächst erreichen, dass das erste Diagonal-
element a positiv und kleiner, als der absolute Werth jedes von
Null verschiedenen Elementes unseres Systems wird. Befindet sich
jetzt in der ersten Zeile oder Spalte ein Element ß} welches nicht
ganzes Vielfaches von a ist, so können wir an Stelle von a noch ein
kleineres Element bringen, welches nicht Null ist. Durch weitere An-
wendung einer Elementartransformation a) bewirken wir zunächst,

* Alles in diesem Artikel Gesagte gilt nicht nur für ganzzahlige Systeme,
sondern auch für solche, deren Elemente ganze Funktionen einer oder mehrerer
Variabelen sind, nur hat man dann unter m entsprechend eine ganze Funktion
einer bez. mehrerer Veränderlichen zu verstehen. ( Vergl. den Beweis der Sätze 8)
in 25.)

** Smith, Phü.Trans.l861(62),vol.l5l,S.314;Frobenius, Crelle's Journ.(79)
Bd. 86, S. 158; Kronecker, Crelle's Journ. (91) Bd. 107, S. 135-136. Obiger Be-
weis ist im Wesentlichen der Kronecker'sche.

Systeme mit ganzzahligen Elementen. 49

dass ß positiv ist. Ist dann q der grösste gemeinschaftliche Theiler
von a und ß, so besteht ein Algorithmus

ß'=ha + y,
a = ly + d,

rj = rq,
wo h, l, . . ., y, d . . . ganze Zahlen bedeuten. Man kann daher durch
wiederholte Anwendung von Elementartransformationen c) an Stelle
von a bez. ß das Element q(<cc) und dieses, wenn es an die Stelle
von ß trat, durch eine Elementartransformation b) an die erste
Diagonalstelle bringen. Durch diesen Process wurde nicht nur das
erste Diagonalelement verkleinert, sondern es giebt auch jetzt in der

ersten Zeile bez. Spalte ein weiteres Element — an der Stelle von ß

welches Vielfaches des ersten ist. Dieses Verfahren setzen wir so lange
fort, bis das erste Diagonalelement Theiler aller übrigen Elemente der
ersten Zeile und Spalte ist. Dann machen wir durch Elementar-
transformationen c) die letzteren Elemente alle zu Null. Giebt es als-
dann in dem so erhaltenen Systeme noch ein Element, welches nicht
Vielfaches des ersten Diagonalelementes ist, so bringen wir es durch
Reihenaddition in die erste Zeile oder Spalte und verkleinern das
erste Diagonalelement nach dem oben beschriebenen Verfahren noch
weiter. Nun kann aber letzteres Element bei fortgesetzter Verkleiner-
ung nicht kleiner werden, als der grösste gemeinschaftliche Theiler*
t± aller Elemente des gegebenen Systems, der ja durch Elementar-
transformationen nicht geändert wird (27). Also muss der Process
schliesslich dahin führen, dass ein System Tt erscheint, in welchem
das erste Diagonalelement gerade tx wird, und welches in der ersten
Zeile und Spalte ausser tt nur Elemente Null enthält.

Ist jetzt t2 der grösste gemeinschaftliche Theiler der Elemente
des Systems T2, welches aus Tx entsteht, indem man in ihm
die erste Zeile und Spalte weglässt, so können wir auf die vor-
stehend beschriebene Weise das System T2 durch Elementartrans-
formationen — die zugleich als Elementarformationen des ganzen
Systems Tx aufgefasst werden können — so umformen, dass das
erste Diagonalelement gleich t2, also Theiler aller übrigen Elemente
desselben wird, und in der ersten Zeile und Spalte ausser ihm nur

* Den grössten gemeinschaftlichen Theiler aller Subdeterminanten eines ge-
wissen Grades wählen wir stets positiv.

Muth, Elementartheiler. 4

50 § 3> 28-

Elemente Null stehen; t2 ist durch t± theilbar. U. s. w. — Durch
Fortsetzung dieses Verfahrens gelangt man also in der That zu
einem Systeme, in welchem nur die r ersten Diagonalelemente
tl7 t2, . . .tr von Null verschieden sind und t2 durch tu £3 durch t2y . . .t,
durch tr-i theilbar ist, wobei r den Rang des gegebenen Systems be-
deutet; da nämlich der Rang eines Systems durch Elementartrans-
formationen nicht geändert wird (27), so muss der Process mit dem
rten Diagonalelemente abbrechen. — Damit ist unser Satz bewiesen.

Ein System, welches nur in der Diagonale von Null verschiedene
Elemente hat, heisst ein Diagonalsystem. Vorstehend haben wir
gezeigt, wie man ein gegebenes System in ein äquivalentes Diagonal-
system transformirt. Wir können nun die zusammengesetzten Elementar-

theiler E0 = JP* des gegebenen Systems, die ja mit denen unseres

* JJq — 1

Diagonalsystems übereinstimmen [25, Satz b)], sofort angeben. Es
ist nämlich, wenn wir unsere alten Bezeichnungen (4) beibehalten, für
unser Diagonalsystem #00 0

0 t2 0 0

0 0 t3 0

0...0 tr 0...0
0 0

also

Ex>=ttt E2 = t2,....,Er = tr, Er+i Ä-0,

Die Diagonalelemente ^, . . . tr sind also bez. der erste, zweite, . . . rte
ET unseres gegebenen Systems vom Bange r* Die oben beschriebene
Umformung eines Systems führt daher immer zu demselben Diagonal-
systeme. Wir können das erlangte Resultat auch so aussprechen (26, 27):

Eine gegebene bilineare Form

^?aik Xifft (i, & — 1, 2, . . . »),

deren Koefficientensystem die zusammengesetzten Elementartlieiler
ElfE2). . .En

* Zugleich ergiebt sich hier, class EQ durch EQ-i(o^r) theilbar ist, wie
dies durch den Fundamentalsatz I bereits bewiesen ist.

Systeme mit ganzzahligen Elementen. 51

besitzt, lässt sich durch unimodulare Substitutionen für die Xt und yt stets

in die Form

E1x[y[ + E,x'iy[ + --- + Enxny'n

transformiren.

Die Form VjE^jjJ (i •— 1, 2, . . . n) ist in die Theile

Wy. (t-1,2,...»)

zerlegbar; jeder dieser Theile ist weder zerlegbar, noch einer zerleg-
baren Form äquivalent; denn wäre E.x\y\ einer zerlegbaren Form
äquivalent, so wäre nach den Sätzen c), d) in 22 und 8a) in 25 der Rang
des Systems dieser Form grösser als Eins. Die Form ^^E.x'.y'. ist also
eine reducirte Form, da sie in lauter elementare Formen zerlegbar ist.
Wir haben also vorstehend die Reduktion einer Form mit ganzzahligen
Koefficienten (eines Systems mit ganzzahligen Elementen), die in 25 an-
gekündigt wurde, wirklich ausgeführt.

29. Mit Hilfe der eben angegebenen Reduktion einer Form (eines
Systems) sind wir im Stande, die Umlcehrung von Theorem II für
ganzzahlige Systeme höchst einfach zu beweisen. Es seien A und B
zwei bilineare Formen mit den Koefficientensystemen 51 und 23. Die
Systeme % und 23 seien ganzzahlig und so beschaffen, dass der pte ET
Eq' von 89 ein Vielfaches des pten ETs EQ von %{q = 1, 2, . . . n) ist.
Es sei also

(3) Eq=>dqEq (p-1, 2,..«n),

wo die dQ ganze Zahlen bez. Null sind. Es soll gezeigt werden, dass
33 ein Vielfaches von % ist:

Nach Artikel 28 giebt es Substitutionen (Formen) 8, T, U, V,
deren Determinanten ± 1 sind, derart, dass symbolisch
E1xty1 + E2x2y2 H f- Enxnyn = SAT,

E[xiyi + E[x2y2+... + E>nxnyn=ÜBV
wird. Setzen wir jetzt

Bi ^^EiXM , R2 =^Elxiyi (i = 1 , 2, . . . n),

sodass also

(4) R^SAT,

(5) B2==UBV
ist und führen noch die Form

<^l Vi + Ö2VJ2 + T- ÖnXnlJn = D

ein, so ist wegen (3)

(6) B2 = BB1 = B1B.

Aus (5) und (6) folgt aber

B= Ü^B.V-1 - U-'BB.V-1 = U-^BV-1,
und somit ist wegen (4)

4*

52 §3, 29 — 30.

(7) B = (Ü-1DS)Ä(TV-1) - (U~1S)A(TDV-i).

Da nicht nur S und T, sondern auch TJ~1) V~1 und D Formen mit
ganzzahligen Koefficienten sind, so ist wegen Gleichung (7) das
System 93 von B Vielfaches des Systems 51 von -4(11, 23), w. z.b.w.
Setzen wir noch die Formen
TJ-^DS^F, TV-^Q, U-iS^X, TDV~*-Y,
so wird (7) zu

(8) B = PAQ = XAY.

Die Systeme von Q und X sind Einheitssysteme; es hat sich also zu-
gleich ergeben, dass für das eine der beiden Systeme, mit welchen
componirt % in 93 übergeht, stets ein Einheitssystem gewählt werden
kann. Die Gleichung (8) besagt, dass B unter A enthalten ist (23),
wenn EQ ein Vielfaches von JSQ ist. Zugleich ergab sich, dass alsdann für
eine der beiden Substitutionen, welche A in B überführen, eine uni-
modulare gewählt werden kann.

Nehmen wir die Ergebnisse dieses Artikels mit denen in Artikel 8
zusammen, so können wir sie in folgende Sätze fassen:

lila. Ein System 93 von n2 ganzzahligen Elementen ist
dann und nur dann Vielfaches eines ebensolchen
Systems %, wenn der Qte Elementartheiler von 93 ein
Vielfaches des pten Elementartheilers von % ist für
Q - 1, 2, . . . ».
Illb. Eine Form B — ^btkXiffk (», & = 1, 2, . . . n) mit ganz-
zahligen Koefficienten ist unter einer ebensolchen
Form A = ^V*a?,y* (i, Je =- 1, 2, . . . ») dann und nur dann

enthalten, wenn jeder vonNullverschiedene zusammen-
gesetzte Elementartheiler des Koefficientensystems
von B durch den entsprechenden Elementartheiler des
Koefficientensystems von A theilbar ist*
30. Es sei nun insbesondere der Qie ET des Systems 93 von B
gleich dem pten ET des Systems % von A für q — 1, 2, n. Als-
dann kann man nach 29 durch unimodulare Substitutionen die Formen
A und B in dieselbe reducirte Form

B^B,
transformiren; es wird dann eben

* Smith, Phil. Trans. 1861 (62), vol. 151, S. 320; Proc. of the Lond. math. soc.
(73) vol. IV, S. 244. Frobenius, Crelle's Journ. (80) Bd. 88 , S. 114. Hensel,
Cr eile's Journ. (95) Bd. 114, S. 100.

Systeme mit ganzzahligen Elementen. 53

D — ^Vi + **& H h #»*/« — -E

und daher werden die Substitutionen

p = x - U-XS, Q = Y= TV~\

in (8) alle unimodular. A und J? sind also dann äquivalent (26).
Wir haben daher mit Rücksicht auf den Satz 8b) in 25 das Theorem:
IVa. Zwei Formen A = "Va**^* (i, h =» 1, 2, . . . n)

und

B =^?bik%iyk (i} Tc — 1, 2, . . . n)

mit ganzzahligen Koefficientensystemen % und 33 (zwei
Systeme % und 33) sind dann und nur dann äquivalent,
wenn die entsprechenden zusammengesetzten Ele-
mentartheiler von % und 33 gleich sind, oder was das-
selbe besagt, wenn die Systeme % und 33 im Range und
in den einfachen Elementartheilern übereinstimmen.
Sind zwei Formen A und B äquivalent, so kann man, da ihre
Koefficientensysteme in den zusammengesetzten ETn übereinstimmen
(IVa), nach unseren obigen Entwickelungen A in B (ebenso B in A)
stets durch unimodulare Substitutionen transformiren; auch das Um-
gekehrte ist giltig (26).

Nennt man daher zwei Formen A und B äquivalent, wenn A in B
(und somit auch B in A) durch unimodulare Substitutionen transformirt
werden kann, so deckt sich diese zweite, scheinbar engere Definition
der Äquivalenz vollständig mit der früher (25) gegebenen. Analoges
gilt bezüglich der Definition der Aequivalenz von Systemen.

Stimmen für zwei Systeme % und 33 von gleichem Range r die
Zahlen Dq und DQ (25) übereiu, so stimmen auch die Zahlen EQ und
EQ — also auch die einfachen ET von 31 und 33 — überein; somit
kann man dem Theoreme IVa mit Rücksicht auf Satz 8a) in 25 die
folgende Fassung geben:

IVb. Zwei Formen A und B von 2n Variabelen mit ganz-
zahligen Koefficientensystemen % und 33 (zwei Systeme
% und 33) sind dann und nur dann äquivalent, wenn
die Systeme 51 und 33 (sie) von gleichem Range sind,
und der grösste gemeinschaftliche Theiler aller Sub-
determinanten pten Grades von % mit demjenigen aller
Subdeterminanten qiQn Grades von 33 für

. . p — 1, ...,r

übereinstimmt.

54 §3,30-31.

Auf rationalem Wege lässt sich also entscheiden, ob zwei Formen
(Systeme) äquivalent sind oder nicht, und auf rationalem Wege lassen
sich (28)* die unimodularen Substitutionen (Einheitssysteme) ermitteln,
welche eine Form in eine zu ihr äquivalente Form überführen (mit denen
zusammengesetzt ein System in ein äquivalentes übergeht).

31. Wir stellen uns nun folgende Aufgabe:**
In der bilinearen Form

K^hVl + KWl H 1" ^rXrVr — &

seien hlyh2>. . ., hr ganz beliebige von Null verschiedene ganze
Zahlen. Es sollen die ET ihres Koefficientensystems bestimmt

werden.

Ist speciell h2 durch hly h3 durch h2 u.s.w. theilbar, so sind
h h . . . K, wie wir in 28 sahen, gerade die zusammengesetzten ET
des Systems von H. Man erhält dann die einfachen ET, indem man
h h2y . . . hr in Faktoren zerlegt, die Potenzen verschiedener Prim-
zahlen sind (4). Wir werden zeigen, dass man auch im allgemeinen
Falle beliebiger h die einfachen ET durch eine solche Zerlegung der
hi erhält.

Es sei p eine Primzahl, die in

W, . . -, hr — Dr
aufgeht; p stecke in hQ zur Potenz lQ. Nun ordnen wir die Zahlen lQ
nach fallender Grösse und bezeichnen sie dann der Reihe nach mit

*19 «2, .. ., Cir.

Infolge dieser Bezeichnung enthält Dr die Primzahl p zur Potenz

CCX+ Ct2~] h«r,

die Subdeterminanten (r-l)ten Grades des Koefficientensystems von H
enthalten p zur Potenz % + <%+ .. . + Ur_u

eine aber enthält p genau zu dieser Potenz. Der grösste gemeinschaft-
liche Theiler aller Subdeterminanten (r - l)ten Grades enthält also p

zur Potenz ^ _j_ a% _j h «r-i ,

Dr enthält p zur Potenz

CC1+CC2-\ h «r,

ateo enthält j)r

Er

Dr-1

p zur Potenz ar. Analog beweist man, dass

• Die Substitutionen können auch direkt durch Auflösen linearer Gleich-
ungen gefunden werden (vergl. 39). .

- Vergl. Frobenius, Theorie der linearen Formen mit ganzen Koefficienten,

Cr eile's Journ. (79) Bd. 86, § 6.

Systeme mit ganzzahligen Elementen. 55

JJr — 2

p zur Potenz ar _ 1 enthält, u. s. w. Die Potenzen

p% p"2, . . ., p°v

sind da,her die zur Basis p gehörenden einfachen ET von 17(4). Also:

11) Man findet die Elementartheiler eines Systems

\ 0 0 0...0

0 \ 0 0...0

0 0 K 0...0

0 0 0 0 . . . K

vom Bange r, indem man jede der r von Null verschiedenen Zahlen aus
demselben in Faldoren zerlegt, die Potenzen verschiedener Primzahlen sind.

Die allgemeinere Fassung unseres Ergebnisses folgt daraus, dass
durch Zufügen von Nullreihen der Rang und die ET eines Systems
ungeändert bleiben.

Nachdem man, wie oben angegeben wurde, die einfachen ET des
Systems einer Form ^ ^ + . . . + j^

das vom Range r sei, bestimmt hat, kann man nach 6, c) auch leicht die
zusammengesetzten ET desselben berechnen. Man erhält darnach die
letzteren ET aus den \f. . . hr wie folgt: Man zerlegt hly h2y . . . hr in
Faktoren, die Potenzen verschiedener Primzahlen p, q, r, . . . sind. Das
Produkt der höchsten Potenzen von p, g, r, . . , ist der rte ET Er des
Systems, das Produkt der zweithöchsten Potenzen von p, g, r, . . . der
(r— l)te ET -Z2r_i des Systems, u. s. w. Somit ist Er das kleinste ge-
meinschaftliche Vielfache und Elt wie bekannt, der grösste gemein-
schaftliche Theiler der Zahlen hlyh2, . . .hr. Es erscheint also hier der
Begriff der zusammengesetzten Elementartheiler als eine Verallgemeiner-
ung der Begriffe des grössten gemeinschaftlichen Theilers und des Tdeinsten
gemeinschaftlichen Vielfachen auf Systeme von mehr als zwei Zahlen.

32. Die Form A -=^aikXiyk sei in die Theilformen At und A2

zerlegbar (22). Die Systeme 51, §1^ 5I2 von A, A17 A2 seien bez. vom
Range r, l} m\ dann ist nach Satz c) in 22

r = l + m.

Die von Null verschiedenen zusammengesetzten ET von 5TX und 181
seien bez.

56 §3'32-

hly h2i...hL

h + l, h + 2, • • • &/••

Dann giebt es nach 28 unimodulare Substitutionen S, T, U, V derart,
dass \x1y1 + h2x2y2 + • • • + hxiyi = SA±T,

Jh+iXl+lyi + 1-\-~lh+2%i + 2yi+2-\ \-hrxryr = ÜA2V'

wird. Daraus folgt aber

(9) Mi2/iH h^/^^ + ^+i^+i^ + iH \-hrxryr

= (Ä + ^7)(A+A)(T + 7),
wenn man berücksichtigt, dass

SA1V=SA2T=SA2V=UA1T=UA1V=UA2T=0
wird, weil nämlich die Variabelen, welche in S,T,A1 auftreten, in
U, V,A2 fehlen. Setzen wir nun

so wird (9), da A = Ax + A2 ist, zu

/H^i2/i+ h2x2y2 + • • • + &/•£/• 2/r = FAQ.
P und § sind aber zerlegbare Formen; daher ist [22, Satz c)]

|P|-|ÄH01-±ii löl = l^l-in-±i;

P und () sind also unimodulare Substitutionen. Man leann also unter
den gemachten Voraussetzungen durch unimodulare Substitutionen A1 in

Ht = h1x1y1-\ hhxiyi,

** m H2 = hl+1xl+1yl + i+ - - - +hrxryr

und A= A± + A2 in

H1-\-H2=^ h1x1y1 H h hrxryr = H

überführen.

Nun stimmen aber die ET von A, Au A2 bez. mit den ETn der
Koefficientensysteme $, &, §2 von H, H17 H2 überein (26); man er-
hält aber nach 31 die ET vom &, indem man hif \, . . . hh die von
§2, indem man Ä,+1| Ä,+*,...Är, und die von $, indem man
\, Ä„,...Ä, in Faktoren zerlegt, die Potenzen verschiedener Prim-
zahlen sind. Daher sind die ET von § diejenigen von & und §2
zusammengenommen, und es gilt somit das Fundamentaltheorem:*

V. Die Elementartheiler des Koefficientensystems einer
zerlegbaren Form (eines zerlegbaren Systems) sind die-
jenigen der Koefficientensysteme ihrer Theile (die-
jenigen seiner Theile) zusammengenommen.

* Frobenius, 1. c. S. 164.

Systeme mit ganzzahügen Elementen. 57

33. Wir geben zum Schlüsse dieses Paragraphen noch einige für
spätere Verwendung nöthige Entwicklungen über zerlegbare Formen.

Sei wieder die Form A in die Theile Ax und A2 zerlegbar, sei
ferner q eine positive ganze Zahl, die nicht grösser als der Rang r des
Systems 51 von A ist; endlich bedeute DQ, JD^\ JDq bez. den grössten
gemeinschaftlichen Theiler aller Subdeterminanten oten Grades von 5t,
%ly 5C2> wo noch 5l1? 5I2 die Systeme Von A1 und A2 vorstellen. Ist
q grösser als der Rang ^(Vg) von 5Ii(5I2), so denken wir uns JD^^D^)
gleich Null gesetzt. Wir behaupten alsdann:

DQ ist der grösste gemeinschaftliche Theiler der Zahlen
■ Df, D*LtD?>, Df-zD?, . . . D?Df_ u Bf.

JBeiveis. Jede Subdeterminante pten Grades Sq— m,m aus %, welche
nicht dem Systeme 5tx oder 5I2 angehört, ist das Produkt einer Sub-
determinante (9 — m)ten Grades von 5^ und einer Subdeterminante
wten Grades von 2^; es giebt umgekehrt stets eine Subdeterminante
pten Qrades von 5t, welche das Produkt zweier Subdeterminanten
(q — m)ten Grades und mt6n Grades von 5IX bez. 5(2 ist. Steckt also für
ein bestimmtes m die Primzahl p in D^Lm zur Potenz aly in D^ zur
Potenz «2, so steckt sie in allen Subdeterminanten S^_m> m zur Potenz
«j -f u2 un(i zu keiner höheren; daher ist Df—mDm der grösste ge-
meinschaftliche Theiler aller Subdeterminanten ^_m,TO; dies gilt für
m = 1, 2, . . . q — 1; die in 5^ bez. 5(2 auftretenden Subdeterminanten
Qten Grades aber haben per def. den grössten gemeinschaftlichen Theiler
Dq^ bez. jD^ ; also ist DQ der grösste gemeinschaftliche Theiler der
Zahlen

Bf, Vf$UD?,...Df,

w. z. b. w. Für q = r folgt sofort, dass der grösste gemeinschaftliche
Theiler aller Subdeterminanten rten Grades von 51 gleich dem Produkte des
grössten gemeinsamen Theilers aller Subdeterminanten rtien Grades von %1
in den grössten gemeinsamen Theiler aller Subdeterminanten r2ten Grades
von $I2 ist, wenn das System 51 vom Hange r in die Systeme 5^ und
5t2 vom Bange r1 bez. r2 zerlegbar ist.

Die Ausführungen dieses Artikels gelten m. m. auch dami,
wenn die Elemente von 5t ganze Funktionen einer oder mehrerer Ver-
änderlichen sind.

58 i *. 3±-

§ 4. Systeme, deren Elemente ganze Funktionen
einer Veränderlichen sind.

34. Die Entwicklungen des letzten Paragraphen gelten mit ge-
ringen Modifikationen auch für Systeme (Formen), deren Elemente
(Koefficienten) ganze Funktionen einer Veränderlichen X sind. Die Be-
griffe „Enthaltensein unter einer Form" („Vielfaches eines Systemes"),
„Aequivalenz", „Elementartransformation" u. s. w. werden hier, wie
früher in 23 — 25 und 27, definirt, nur dass also hier „ganze Funktion
einer Veränderlichen X" für „ganze Zahl" zu setzen ist. An Stelle der
unimodularen Substitutionen treten jetzt solche Substitutionen, deren
Koefficienten ganze Funktionen von X sind, deren Determinanten jedoch
von X unabhängig und nicht Null sind. An Stelle der Einheitssysteme
treten Systeme, deren Elemente ganze Funktionen einer Veränder-
lichen X sind, und deren Determinanten die oben angegebenen Eigen-
schaften besitzen. Nimmt man die angegebenen Veränderungen in

23 33 vor, so bleiben die Entwicklungen und Sätze daselbst im

Uebrigen bestehen, denn da z.B. der Algorithmus zur Aufsuchung des
grössten gemeinschaftlichen Theilers für ganze Zahlen und ganze
Funktionen einer Veränderlichen derselbe ist, so gilt die Kronecker-
sche Reduktion eines Systems in 28 nicht blos für Systeme mit ganz-
zahligen Koefficienten, sondern auch für die hier betrachteten Systeme,
deren Elemente ganze Funktionen einer Veränderlichen sind: der Grad
des ersten Diagonalelementes wird so lange erniedrigt, bis dasselbe
Theiler aller übrigen Elemente der ersten Zeile und Spalte wird, dann
macht man durch Elementartransformationen c) alle die letzteren
Elemente dieser beiden Reihen Null, u.s.w. — Insbesondere aber gelten
die auf jene Reduktion sich stützenden Fundamentalsätze lila und
Illb, IV a und IVb auch für Systeme (Formen), deren Elemente (Koeffi-
cienten) ganze Funktionen einer Variabelen X sind* Zwei solche Formen
kann man auch äquivalent nennen, wenn die eine in die andere durch
Substitutionen übergeführt werden kann, deren Koefficienten ganze
Funktionen von X sind, deren Determinanten aber von X unabhängig
und nicht Null sind.

Auf Grund des Theorems IVb kann, da die Aufsuchung des
grössten gemeinschaftlichen Theilers von ganzen Funktionen einer
Variabelen durch rationale Operationen geschieht, auch hier auf ratio-
nalem Wege über die Aequivalenz zweier Formen entschieden werden,

* Frobenius, Crelle's Journ. (79) Bd. 86, S. 202 und (80) Bd. 88, S.110;
Hensel, Crelle's Journ. (95) Bd. 114, S. 100.

Systeme , deren Elemente ganze Funktionen einer Veränderlichen sind. 59

und auf rationalem Wege können (28, 30)* die Substitutionen gefunden
werden, welche eine Form in eine äquivalente transformiren. U. s. w.

Hervorgehoben werde schliesslich noch die Giltigkeit des Funda-
mentalsatzes V über die Elementartheiler zerlegbarer Systeme für die hier
betrachteten Systeme.

35. Sind die Koefficienten einer bilinearen Form ganze Funk-
tionen aten Grades einer Yariabelen X9 so soll a der Grad der bi-
linearen Form** heissen. Analog wird man den Begriff „Grad
eines Systems" einführen, um dann auch die folgenden Ergebnisse für
Systeme in Sätze fassen zu können. Da derartige Uebertragungen ge-
nügend oft in § 3 und § 4 ausgeführt wurden, dürfen wir uns auf
Formen beschränken. Eine bilineare Form aten Grades A lässt sich
stets auf die Gestalt

A = A0Xa + A1l°-i+-.-+Aa

bringen, wo A1} A2, . . . Aa bilineare Formen sind, deren Koeffi-
cienten nicht von X abhängen, und AQ nicht identisch Null ist.

Ist B eine bilineare Form ßten Grades, und wir setzen, wie vor-
stehend, B = B^ + jg^-i + ... + jg^

so ist, wenn ( ^ |+ Q

ist, das symbolische Produkt

AB - A0B0l*+ß + (A0B± + A1B0)X'+ß^ + ...
von A und B eine bilineare Form genau vom (a -f ß)ten Grade. Denn
A0 B0 kann, wenn | B0 | nicht Null ist, nur dann identisch verschwinden,
wenn A0 identisch verschwindet (12), was gegen die Voraussetzung
verstösst. Allgemeiner beweist man analog, wenn C eine weitere bi-
lineare Form vorstellt, den Satz:

a) Der Grad der Form ABC ist gleich der Stimme der Grade von
A, B und C, wenn in zwei Faktoren des symbolischen Produktes die
Determinanten der Formen, welche mit den höchsten Potenzen von X
multiplizirt sind, nicht verschwinden.

Wir behalten die Bezeichnungen bei und beweisen einen weiteren
Satz:

b) Ist ß <^cc und \ B0 \ nicht Null, so giebt es eine und nur eine
Form Q vom Grade a — ß und eine Form C von niedrigerem als ßten
Grade, welche der Gleichung

A = QB + C oder A = BQ + C
Genüge leisten.

* Vergl. S. 54, Anm. 1.
** Frobenius, Crelle's Journ. (79) Bd. 86, S. 202.

60 §4, 35-36.

Setzt man nämlich _ ,o

a — P — Y>

so hat man die Form

so zu bestimmen, dass der Grad der Form

A- QB = C
kleiner als ß wird. Nun ist aber

A-QB = (A0- Q0B0)X + (At- Q0B±- QtBQ)X*-*+ •••

+ (Ar-Q0BY-Q1BY-1 QrBJlß+ — .

Daher müssen die Koefficienten von Xa1 Xa~ \ . . . X? verschwinden;
es muss also

A =<?„£<,,
A = Q0B1 + & B0, ...,Ar-QtBr + Q1Br-1 + -~+ QrB0

sein. Da | 2?0 j ^ 0 vorausgesetzt wird, so ergiebt sich aus vorstehen-
den Gleichungen

Q0 - AJ5-1, (>1= (4 _ Q.BJB^1 - ^o-1 - A,B^BxB-\
u.s.w. Daher sind die Formen $0, ft,...§y und damit § und C
vollständig bestimmt. Analog findet man die Formen Q und C, welche
die Gleichung A = BQ + C erfüllen.

36. Von besonderem Interesse sind diejenigen Formen, deren
Koefficienten ganze Funktionen ersten Grades einer Variabelen X sind.

A = y^aikXiykf B =^bikXiijk (i, h — 1, 2, . . . n)

zwei solche Formen, so können wir, wie oben,

0 A-XA^ + A» B-XB0+B1 (

setzen, wo also A0, A19 2?0, Bt von X unabhängige Formen vorstellen.
Ist die Determinante | A0 1 von A0 nicht Null, so kann die Deter-
minante | A | von A nicht für jeden Werth von X verschwinden; denn
man hat \A\-\XA§+Al\-X'\A.\ + — + \A1\-

Ueber zwei bilineare Formen ersten Grades gilt nun folgendes
Theorem von Weierstrass:*

* Weierstrass, BM1868, S. 312 — 314 (Ges.WerkeBd.il, S. 21— 22);
C. Jordan, Compt. rend. 1871, IL se*r. pag. 787 und Liouville's Journ. 1874,
S.35; Hamburger, C r eile's Journ. (73) Bd. 76 , 8.118; Darboux, Liou-
ville's Journ. 1874, S. 347; Kronecker, BM1874, S. 216 flg. [Ges. Werke Bd. I,
S. 391 flg.]; Gundelfinger in Hesse 's Vorl. über anal. Geom. des Baumes,
3. Aufl. 1876, IV.Supplem.; Stic kelb erger, C r eile's Journ. (79) Bd. 86, S. 20 flg.;
Predella Le omogr. in uno spaz. ad un num. quäl. di dimens. Ann. di mat. 1889 — 90,

Systeme, deren Elemente ganze Funktionen einer Veränderlichen sind. Q1

VI. Wenn die Formen A = XA0 + A1 und P = >lP0+P1 so

beschaffen sind, dass die Determinanten \AQ\ und | B0 |

nicht verschwinden, und die Elementartheiler der

Determinanten \XA0-\-Al | und |AP0+ Pj| übereinstimmen,

so kann man jede dieser Formen in die andere durch

Substitutionen transformiren, die nicht Null sind,

und deren Koefficienten nicht von X abhängen.

Beweis. Die Systeme der Determinanten | A | und | B | sind von

gleichem Range »; ausserdem stimmen ihre ET überein; folglich

sind die Formen A und B äquivalent (Theorem IV a in 30, 34), und

zwar können auf rationalem Wege zwei solche Substitutionen P0 und

Q0 gefunden werden, dass symbolisch

(1) B = P0AQ0

ist, wobei die Koefficienten der Formen P0 und Q0 im Allgemeinen
von X abhängig, ihre Determinanten aber von X unabhängig und nicht
Null sind (30, 34). Die zu P0 und Q0 inversen Substitutionen

sind von gleicher Beschaffenheit, wie P0 und Q0. Aus (1) folgt zu-
nächst P0A = BSa, AQt-BtB.

Jetzt bestimmen wir Formen P, P19 Qy Q±1 P, Blf S, Sx so, dass

Po^PP. + P, <?0=ftP+<?,
B0 = AB1 + B> S0 = S1A + S

und der Grad von P, Qf P, S niedriger wird, als der Grad von B bez. A
(35, Satz b). Da hier A und B Formen ersten Grades sind, so sind
die Formen P, Q, P, S von X unabhängig. Dann wird

PQA= BS^BfäA + S) = BS,A + BS,
P0A^ (BP, + P)A - 5Pt J. + PA,
als° PPX J. + PA - P^ J. + P£,

P(P1-/Sf1)J. = P>S-PA

Da | P0 | und | -40 | nicht Null sind, so ist der Grad der zuletzt links
stehenden Form nach 35, Satz a) mindestens gleich Zwei, der Grad

Ser. II, Bd. XVII, § 10; Calö, Dimost. algebr. del teorema di Wei erstras s sul.
forme bil. , Ann. di mat. 1895. Diese Autoren beweisen das Theorem mit Benutzung
der Wurzeln der Gleichungen \XA0JrA1 | = 0 und | \l B0 -f Bx | — 0 , also auf nicht
rationalem Wege. Den obigen Beweis, bei welchem die Wurzeln jener Gleichung
(die einf. ET.) nicht expl. auftreten und überhaupt nur rationale Operationen
vorkommen, gab Frobenius, Crelle's Journ. Bd. (79) 86 , S. 202 — 204.

62 §4,36.

der rechts stehenden Form ist aber höchstens gleich Eins, daher
müssen in der letzten Gleichung die rechts und links stehenden Formen
verschwinden, und zwar muss (12)

(2) Pi-Si-O, BS-PÄ = 0
sein. Nun ist aber für

E = xiyl + x2y2-\ \- xnyn,

daher ist QoSo= E\

E - Q^A + 8)- Q&A + (Q.B + Q)8
-Q&A+QtBS+QS

und wegen (2) somit

oder E-QS- ftM+ QiPÄ

(3) E-Q8^(Q08l+QlF)A

Die Form links in (3) ist von X unabhängig, die in (3) rechts stehende
enthält X in den Koefficienten mindestens linear (35, Satz a), daher
muss (12)

sein. Die Form 8 ist nach der letzten Gleichung die zu Q reciproke
Form. Daher hat man

(4) QS = SQ = JE,

und es ist weder | Q | noch | S | Null. Jetzt folgt aber aus (2) und (4)

PAQ = BSQ = BE=B-,
da \B\ nicht Null ist, so ist es auch | P | nicht. Die symbolische
Gleichung

(5) B = PAQ

besagt aber, dass A in B durch zwei Substitutionen P und Q über-
geht; die Koefficienten derselben sind von X unabhängig, ihre Deter-
minanten nicht Null; daher ist unser Satz bewiesen.
Aus (5), oder anders geschrieben, aus

XB0 + Bx- P(XA0+ A,)Q
XB.+ B^XPA.Q + PA.Q
folgt, da diese Gleichung für jedes X gilt und die in ihr auftretenden
Formen von X unabhängig sind,

B0=PA0Q, B^PA.Q.

Die Uebereinstimmung der ET der Determinanten

\XA0+A\ und \XB0+B±\

ist die notwendige (26, 34) und, wenn die Determinanten | A0 | und

I B, I nicht verschwinden, auch die hinreichende Bedingung dafür, dass

Systeme, deren Elemente binäre Formen gleichen Grades sind. (33

man Substitutionen P, Q angeben kann, deren Determinanten nicht
Null sind, und die sowohl A0 in B0} als AT in Bt überführen. Ueber
die Uebereinstimmung der ET wird auf rationalem Wege entschieden
(34), und nur rationale Operationen brauchen angewandt zu werden, um
im Falle der Aequivalenz der Formen X A0 -f- Ax und X B0 -f- B± die Sub-
stitutionen P und Q zu finden (vergl. 34 und vorstehenden Beweis), welche
A0 in B0, A1 in Bl7 also jede Form der Schaar (1)

(6) X.Av+X.A,
in die entsprechende Form der Schaar

(7) X.B.+ X.B,

überführen. Dabei wurde die Einschränkung gemacht, dass | A0 | und | B0 \
(oder auch | A1 | und | B± |) von Null verschieden sind. Um nun die
analogen Fragen auch im allgemeineren Falle, wo nur vorausgesetzt
wird, dass die Determinanten der betrachteten Schaar en (6) und (7) nicht
identisch Null sindy wo aber die Determinanten beider Grundformen
jeder Schaar Null sein können, zu erledigen, müssen wir die ET der
Determinanten | X1 A0-\- X2At | und \X1B0-\- X2BX | ins Auge fassen, also
zur homogenen Betrachtungsweise übergehen. Wir nehmen dabei den
Ausgang vom allgemeineren Falle, wo die Koefficienten einer bilinearen
Form (Elemente eines Systems) homogene ganze Funktionen gleich
hohen Grades zweier Veränderlichen X± | X2 sind.

§ 5. Systeme, deren Elemente binäre Formen
gleichen Grades sind.

37. Es sei A =^Jaikxiyk (i, Je = 1, 2, . . . n) eine bilineare Form,
deren Koefficienten homogene ganze Funktionen aten Grades siveier Ver-
änderlichen lx | X2 sind. Führen wir dann in A an Stelle der Veränder-
lichen X± | X2 durch die lineare Substitution

K = *>9 + 9*

Xh + ti,

(1) { ;;:

nicht Null ist, eine Variabele (einen Parameter) X ein, so geht A in
eine Form der im letzten Paragraphen betrachteten Art über, die wir
mit A bezeichnen wollen. Durch (1) geht nicht nur \A\ in \A\}
sondern auch jede Subdeterminante pten Grades SQ von | A j in die ent-
sprechende Subdeterminante pten Grades SQ von [ A | über. Ist aiX1 + a2X2
ein linearer Theiler von SQ, der in SQ zur Potenz lQ auftritt, so tritt
der ihm entsprechende Theiler a/A + a2', wo

64 § 5> 37-

axXx -f a2 X2 — (a±g + a2h)X -f (%</ + aji') = a{A + c^,

von SQ in $? zur Potenz lQ auf, falls nicht

< = 0

wird, in welchem Falle dem Theiler a1X1-{- a2X2 von SQ überhaupt
kein* linearer Theiler von SQ entspricht. Entspräche nun einem .
weiteren Linearfaktor bx Xx + b2 X2 von SQ , wo nicht

a1:a2=b1: &2,

ebenfalls in #? der Theiler a{A -f «2> so w^re

bxg + &2ä — C(a1g + «2^)>

wenn C eine von Null verschiedene, endliche Grösse bedeutet. Aus den
letzten Gleichungen folgt aber, wenn man C eliminirt,

fabs - aJtifyh'.— g'h) — 0;

es wäre also 7. ,7 ~

gti-g'h = 0,

gegen die Voraussetzung. — Daher tritt der Theiler a[X + öj, wenn
a{ =|= 0 ist, in 5? genau zur Potenz ^ auf.

Die Koefficienten a[ und «2 können nicht gleichzeitig Null sein,
da sonst gh'—g'h Null wäre. Die Systeme von \A\ und \A\ sind da-
her gleichen Banges.

Nun sei der Rang des Systems von | A | gleich r. Der grösste
gemeinschaftliche Theiler aller Subdeterminanten rten Grades von \A\
gleich G(X1 1 X2). Dann wählen wir in (1) die Konstanten g und h so,
dass G(g\h) nicht Null wird, und führen dann A mittelst (1) in A
über. Ist nun aiX1 + a2X2 irgend ein linearer Theiler von G{XX\X2\
also die Basis eines ETs des Koefficientensystems von A (4), so ist ax
nicht Null. Wäre nämlich a[ = a1g + a2h Null, so wäre G{XX \ X2)
für X1^g9 X2=-li Null, gegen die Voraussetzung. Daher ist_a{X + «J
ein linearer Theiler aller Subdeterminanten rten Grades von \A\. Tritt
aiX1 + a2X2 in allen Subdeterminanten pten Grades (p <; r) des Systems
von \A\ zur Potenz lQ auf, so gilt das Gleiche von dem entsprechenden
Theiler a[X + a[ aller Subdeterminanten Qten Grades des Systems von | A |,
und umgekehrt. Daher ist vermöge (1) jedem Elementartheiler {axXx-\- a2 A2)eQ
des Koefficientensystems von A ein Elementartheiler (a[X -f a$q des Ko-
efficientensystems der Form A eindeutig zugeordnet, wenn G(g\h) von
Null verschieden ist.

* Kein „eigentlicher", d. h. von X wirklich abhängiger Theiler u. s. w. Dieser
Zusatz „eigentlicher" bleibt als selbstverständlich oben weg.

Systeme, deren Elemente binäre Formen gleichen Grades sind. 65

38. Von dem eben entwickelten Principe der Zuordnung werden
wir später noch ausgedehnte Anwendung machen. Zunächst benutzen
wir dasselbe zum Beweise des folgenden Theorems:*

VII. Ist ein System, dessen Elemente binäre Formen gleich-
hohen Grades sind, zerlegbar, so sind die Elementar-
theiler desselben diejenigen seiner Theile zusammen-
genommen.
Es sei die Form A, deren Koefficienten homogene ganze Funktionen
gleichen Grades von zwei Veränderlichen Xx | X2 seien, in die Theile Ax
und J2 zerlegbar; 5^ und 5(2 seien die Koefficientensysteme von Ax
bez. A2. Die Rangzahlen von 5T, §T1; 5(2 seien bez. r, r1? r2. Bedeutet
dann G den grössten gemeinschaftlichen Theiler aller Subdeterminanten
rten Grades von 51, und haben G1 und G2 für die Systeme 5lj und 5I2
die analoge Bedeutung, so ist nach 33 (vergl. die Schlussbemerkung)

(2) G=GVG,.

Jetzt transformiren wir mittelst einer Substitution (1) die Form

A = A1+A2
in eine Form _ _ _

A = A + A

und zwar wählen wir dabei die Konstanten g7 h wieder so, dass G für
^i=<7, X2 = h nicht Null ist. Die Systeme von A, Alf A2 bezeichnen
wir bez. mit 5(, fiu 5(2. Da G für X1 = g, X2 = h nicht Null ist, so
gilt wegen (2) dasselbe von Gt und G2. Daher ist durch diese Gleich-
ungen (1) jedem ET von 51 ein ET von 51, aber auch jedem ET von
5Ij oder 5f2 ein ET von 5^ bez. 5I2 zugeordnet (37). Nun sind aber die
ET von 5ti und 5l2 zusammengenommen gerade die ET von %
(Theorem V, 34), also sind auch die ET von 5^ und 5I2 zusammen-
genommen diejenigen von 51, w. z. b. w.

39. Es seien nunmehr speciell die Koefficienten der bilinearen
Form A binäre Formen ersten Grades; wir können dann

(3) A = X1A1 + X2A2

setzen, wo A± und A2 Formen sind, die nicht von Xx | X2 abhängen.
Alsdann stellt A eine Schaar von bilinearen Formen vor (1). Ist die
Schaar A eine ordinäre, so enthält sie eine endliche Anzahl singulärer
Formen (10); eine singulare Schaar enthält lauter singulare Formen.
Das Formenpaar Au A2 heisst ein ordinäres oder ein singuläres
Formenpaar, je nachdem | X1A1 + X2A2 | =|= 0 bez. ee 0 ist.

* Dasselbe ist in einem weit allgemeineren Theoreme enthalten. Vergl. § 18.

Muth, Elementartheiler. 5

66 § 5, 39.

Es sei nun durch
(4) B — X1B1+X%Bi

eine zweite Schaar gegeben. Dann heissen die beiden Schaaren A und
B von bilinearen Formen äquivalent, wenn man A in B durch zwei
von X1 | X2 unabhängige Substitutionen P und Q gemäss einer sym-
bolischen Gleichung B — PA Q transformiren kann, deren Deter-
minanten | P | und | Q | nicht Null sind. B geht dann in A durch die
zu P und Q inversen Substitutionen P—1, Q~1 über, die ebenfalls von
X1 1 X2 unabhängig sind und nicht verschwindende Determinanten be-
sitzen. Giebt es Substitutionen mit nicht verschwindender Deter-
minante, welche eine Form Ax in eine Form B1 und zugleich eine
Form A2 in eine Form B2 transformiren, so heissen die Formen-
paare A17 A2 und Blt B2 äquivalent.

Sind die Schaaren A und B äquivalent, so giebt es Substitutionen,
welche jede Form der einen in die entsprechende Form der anderen
Schaar, die also insbesondere jede der Grundformen der einen Schaar
in die entsprechende Grundform der anderen Schaar überführen (36).
Umgekehrt folgt aus

B^PA.Q, B^PA,Q,

oder J3 = PAQ.

Giebt es Substitutionen P, Q, wo |P|, \Q\ nicht Null ist, die Ax in
Bx und gleichzeitig A2 in B2 transformiren, so sind die Formenschaaren

X1 A1 -f X2 A2 und X± Bx + X2 B2

äquivalent. Sind die Formenschaaren A und B äquivalent, so sind es
auch die Formenpaare Au A2 und B19 B2, und umgekehrt.

Sind zwei Schaaren X^A -f X2B und X1k + X2B äquivalent, so
sind die Substitutionen, welche gleichzeitig A in A, B in B überführen,
rational bestimmbar. Denn sind P, Q zwei Substitutionen der gesuchten
Art, so hat man (symbolisch)

A = PAQ, B = PBQ,
woraus für Q—1 = R

AR = PA, BR = PB

folgt, sodass, wenn

A =^aikXiyk, B =^?bikXiyk,
A — J?Oi i Xi yk , B =^jßi k xt yk u. s. w.
nach (5) in 10

(t,*-l,2,...ii)

Systeme, deren Elemente binäre Formen gleichen Grades sind. (57

(5) J>V; 1 rt k =^Pi lO'ik, ^ßi 1 rt k =°^Pi 1 h k

(1-1,2,...*)

sein muss. Man hat sonach für die 2n2 unbekannten Koefficienten
pu und qik gerade 2n2 homogene lineare Gleichungen (5). Die Deter-
minante derselben muss verschwinden, und die willkürlichen Kon-
stanten, die in die allgemeinste Lösung derselben eingehen, müssen so
gewählt werden können, dass |P|=|=0, |JR|=|=0 ist. Damit ist P
gefunden, aber auch Q, da Q — B~ x ist*

Eine Formenschaar bildet zusammen mit allen zu ihr äquivalenten
Schaaren eine Klasse von Formenschaaren (25). Man definirt ferner
die Begriffe „elementare Schaar", „reducirte Schaar", u. s.w. hier
genau so, wie es am eben citirten Orte bei Formen mit ganzzahligen
Koefficienten geschah. Analog spricht man von einem „elementaren
Formenpaare", einem „reducirten Formenpaare", u. s. w.

Aus dem Hauptsatze II in 8 oder auch direkt, wie in 24 und
25, ergiebt sich der Satz:

12) Sind zwei Formenschaaren A und B äquivalent, so stimmen
ihre Koefficientensysteme im Range und in den Elementartheilern uberein.

Auf Grund dieses Satzes bezeichnet man die ET des Koefficienten-
systems einer Formenschaar A auch als elementare Invarianten
der Schaar A (des Formenpaares A1 und A2). Man wird nun sofort
die Frage aufwerfen, ob sich dieser Satz 12 umkehren lässt. Das ist
aber nicht allgemein der Fall, sondern nur dann, wenn die Deter-
minanten | A | und | B | der Schaaren nicht identisch Null sind; im ent-
gegengesetzten Falle müssen nicht blos Rangzahlen und E T der Systeme
von | A | und | B \ übereinstimmen, sondern es müssen noch weitere
Bedingungen erfüllt sein, damit die Schaaren A und B äquivalent
sind (§ 8). Wenden wir uns zunächst zum Falle, wo die Deter-
minanten der Schaaren A und B nicht identisch Null sind und die ET
dieser Determinanten übereinstimmen. Da | A \ nicht identisch Null ist,
so können wir die Konstanten g, h in (1), so wählen, dass | A | für

X1 = g, X9= h7 also

\gA1 + hA2\

nicht Null ist, was zur Folge hat, dass auch

IgB.+ hB,]
nicht verschwindet. Alsdann wird vermöge (1)

* Vergl. Frobenius, Crelle's Journ. (79) Bd. 86, S. 146— 147.

5*

68 § 5, 39.

X1A1 + A2 J2 = (gA1 + hA2)X + g'A1 + h'A2 = A At + 3,,
1^ + A252 = (pj^ + 7*J?8)1 + </#!+ Ä'JB, - jl^ + 58,
wo die Formen

gAx + 7^2 = Ji, ^ Jj + fc' J, = Z>

u.s.w. gesetzt wurden. Die ET von \A\ und |2?| stimmen nach
Voraussetzung überein, also auch diejenigen von

1 1^ + 3,1 und 11^+5,1 (37),

die Determinanten | A± | und | ß1 | sind nicht Null, also giebt es nach
36, Theorem VI Substitutionen, deren Koefficienten von X nicht ab-
hängen^und deren Determinanten nicht Null sind, die XÄ1-{- Ä2 in
lBx-\- B2 überführen. Durch diese Substitutionen geht also Ax in
2?n A2 in B2y mithin die Schaar

l1A1 + X2A2
in die Schaar . — , —

über. Insbesondere gebt durcb diese Substitutionen

h'J1 - hl, - h'(gÄ1 + KAt) - h(g'A1 + h'A2) - {Kg - %Vi
in

V% - hßt - Ä'^-B, + Ä5S) - h(g'B1 + g'B2) - ß'f - Ä^J„

also ^ in 2?j über; analog zeigt man, dass jene Substitutionen A2
in B2 überführen. Die Koefficienten dieser Substitutionen hängen nur
von denen der Formen Au A2> Bu B2 und den Konstanten g, g\ hl} h'
ab; ihre Determinanten sind nicht Null; also sind die Schaaren

A = X1A1+ X2A2 und B — X1B1+ X2B2
äquivalent, w. z. b. w.

Wir wollen das erlangte Resultat in dem Satze zusammenfassen:
VIII. Zwei Formenschaaren, deren Determinanten nicht
identisch Null sind, sind dann und nur dann äqui-
valent, wenn die Determinanten der beiden Schaaren
in ihren Elementartheilern übereinstimmen.
Dieses Theorem hat zuerst Weierstrass, nur in etwas anderer
Form, aufgestellt in seiner für unsere ganze Theorie grundlegenden
Arbeit: „Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen."*

Bezeichnen wir den grössten gemeinschaftlichen Theiler aller
Subdeterminanten Qten Grades von \A\ (von | B !) mit ZK«)(D(*)), so ist

* BM1868, S. 312 — 314 (Ges. W. Bd. II, S. 21—22). Vergl. auch die S. 60— 61
citirte Literatur.

Reduktion einer Formenschaar nach Weierstrass. 69

nach dem Theoreme VIII die nothwendige und hinreichende Bedingung
für die Aequivalenz der Schaaren A und B, dass DW mit JD^) fQr
o— 1, 2, ... w übereinstimmt. Nun können aber B^ und Z)(*) auf
rationalem Wege ermittelt werden (36, 39), also ~kann über die Aequi-
valenz zweier Formenseliaaren auf rationalem Wege entschieden werden,
und die Substitutionen, welche eine Schaar in eine äquivalente über-
führen, können durch alleinige Anwendung rationaler Operationen ge-
funden werden (siehe oben). Nirgends treten die (einfachen) ET, die
im Allgemeinen irrational sein werden, wirklich explicite auf. Unser
Beweis dafür, dass die Uebereinstimmung der ET von \A\ und \B\
die Aequivalenz von A und B zur Folge hat, basirt eben auf der
Krone cker'schen Reduktion einer Form (28, 34), die rational aus-
geführt wird, und die zu einer Form führt, in welcher nur die
zusammengesetzten ET als Koefficienten auftreten. Dagegen benützt
Weierstrass bei seinem Beweise eine reducirte Form einer Schaar,
welche die Zerlegung der Determinante der Schaar in ihre einfachen ET
nothwendig macht. Indem wir nunmehr auf diese ausserordentlich
wichtige Weierstrass'sche Reduktion einer ordinären Schaar von
bilinearen Formen näher eingehen, werden wir zugleich einen zweiten
Beweis unseres Theorems VIII gewinnen.

§ 6. Reduktion einer ordinären Schaar von bilinearen Formen
nach Weierstrass.*

a) Vorläufige Umformung der Schaar und die Jacobi'sche
Transformation.

40. Es seien die bilinearen Formen

A *~^auXiyk> B =^0ikXiyk (i, Je = 1, 2, . . . n)

die Grundformen einer Schaar X1AJrX2B, und zwar seien die Deter-
minanten von A und B nicht beide Null, also sei etwa | A | von Null
verschieden. Wir verstehen unter X eine willkürliche Veränderliche

und setzen „ . _ _

X A — B — (7,

C = *SJcikXiyA (i, 1 — 1,2, ...»);

es ist also ,

dk = Xaik — bik

und die Determinante

* Vergl. zu diesem Paragraphen die zuletzt citirte Arbeit von Weierstrass:
BM1868, S. 310 — 338 (Ges. W. Bd. II, S. 19-44).

70 § 6, 40.

Xail — bu Xaln — bln

XA-B\ =

Xani — 6„i Petrin — bnn

von C verschwindet nicht identisch, da | A | -|- 0 ist. Wir wollen diese
Determinante kurz mit S bezeichnen. Die Wurzeln der Gleichung

S-0,
die sämmtlich endlich sind, wollen wir mit

^lf ^2y • ' > Cfi

bezeichnen, wo h <^ n ist. Sei c« = c eine dieser Wurzeln und der
Exponent der höchsten Potenz, zu welcher erhoben der lineare Theiler
X — c von 8 in allen Subdeterminanten (n — x)ter Ordnung von S auf-
tritt, gleich lx(x = 0, 1, ... n — 1, lQ=T). Setzen wir dann
(1) k_! - lx = ex (x = 1, 2, . . . »5 Zn = 0),

so sind die Potenzen

(X - c)% [X — c)% . . . (X - c)en
von X — cy deren Exponenten nicht Null sind, die sämmtlichen zur
Basis X — c gehörigen ET von S (4)*, es ist

ei + % -r h 6» — l

Nunmehr bezeichnen wir die Adjunkte des Elementes dk im
Systeme von S mit Sa, ferner diejenige Determinante (n — x)iet Ord-
nung, deren System aus demjenigen von S durch Weglassen der x
ersten Zeilen und Spalten hervorgeht, mit £<*),* endlich bedeute

die Determinante (n — % — l)ter Ordnung, deren System aus dem von
&<*) dadurch hervorgeht, dass man die (i — y*)te Zeile und die (Je — x)te
Spalte weglässt. Dabei muss natürlich i> z, Ti > x sein; ist i oder Je
kleiner oder gleich x, so denken wir uns $* — 0 gesetzt.
Zunächst erkennt man, dass

(2) flfcr^-Ä«

ist. Ferner bestehen nach der Determinantentheorie die Gleichungen

$22 Ä/fc — Ä-2 #2* = S Si/cy
(3) Q« QH o« q« off q'"

o(n — 1) Q(n — 1) «(n — 1) Q(/i — 1) q(« — 1) o(«)

wo ^in"13 = £(n) = 1 zu setzen ist.

* Es ist 8 ° = 5, Ad) = 8\ 5(2) = flf", ... zu setzen.

Reduktion einer Formens chaar nach Weierstrass. 71

Wir dürfen die Annahme machen, dass in der Determinante S
die mit S!, S", . . . &(n — 1) bezeichneten Subdeterminanten alle in Be-
zug auf den linearen Theiler X — c regulär (5) sind. Da nämlich
S =\= 0, also regulär ist, so enthält es nach Satz 1) in 5 mindestens
eine reguläre Subdeterminante (n — l)ten Grades, die wir durch Reihen-
vertauschung an die Stelle von S' bringen, falls dieses nicht schon
regulär war;* nun enthält S' nach Satz 1) wieder mindestens eine
reguläre Subdeterminante (n — 2)ten Grades, u. s. w. Man kann also
durch blosse Reihenvertauschung [Elementartransformationen b) in 27]
bewirken, oder anders ausgedrückt, wir können in A und B und da-
mit in C eine solche Anordnung der Variabelen Xi und yv zu Grunde
legen, dass die mit S'7 >$",... bezeichneten Subdeterminanten von S alle
in Bezug auf den betrachteten Linearfaktor l — c von S regulär sind.

Dass bei dieser vorläufigen Umformung sämmtliche ET von S
ungeändert bleiben, braucht wohl kaum bemerkt zu werden (27).

41. Da die Determinanten S, S\ S"7 . . . alle regulär sind, wie
wir voraussetzen dürfen, so ist keine derselben identisch Null, wir
können daher aus (3) die Gleichungen

8ik _= ^ik_ 8itsik
S S' "*" SS1 '

bik == ^ik_ , bi2b2k

S' S" + S'S" '

fA\ Q" Q'" QU Qt!

W ^ik_ == ^ik_ , bl3b3k

S" S'" + S"S'" '

o(«-l) o(») o(«-l)o(n-l)

°ik öik . öin &nk

Sin-1) $(*) ' £(»-i) £(*)

folgern, wobei wegen (2)

$n s ^ , S22 = S"j . . .
gesetzt werden konnte. Durch Addition ergiebt sich aber aus (4)

^* sitslk s!2sjk s£sl'k , s^-vs^

S SS' + S'S" + S"S>" H h fif(»- i)50ö"

Ist i<Lk(k<ii)y so besteht die rechte Seite dieser Gleichung aus
einer Summe von i(k) Gliedern, deren Bildungsgesetz man leicht er-
kennt. Jetzt multipliziren wir (5) rechts und links mit ukVi und
summiren über i, k. Dann erhalten wir

• Vergl. den Anfang von 7.

72 §6,41-42.

>v^ _ X'Y' _u x" Y" x'"Y'" xooroo

(6) 2j S UkVi- SS' + S'S" + £"£'" + h £(*-i)S(V

(t, £ = 1, 2,...»),

wenn wir

X' =S11ii1 + S12u2 + &13?(3 H h Si««**,

X" — ^22«2 + s'^ui H h #2 «w»,

(7) x'"~ Ä*+-+*V,

zw- siW

und

T' = 5n ^ + ^21^2 + Snvt H h Snlvn ,

F" = + £2'2 *>2 + &*, + • • • + S'ni V» ,

FW- SiT^v»

setzen. Die durch (6) gegebene Umformung einer bilinearen Form

^SikukVi (i, 1c — 1, 2, . . . »)

bezeichnet man als die Jacobi'sehe Transformation der Form*
Die hier entwickelte Methode gab Weierstrass 1. c. an.

S
b) Die Zerlegung Yon'S^—^-UkVi in Partialbrüche.

42. Auf der linken Seite der Gleichung (6) steht die zur Form

C= ^CuXiffk

reciproke Form C~l (12); C_1 ist eine rationale echt gebrochene
Funktion der Veränderlichen l und soll als solche in Partialbrüche zer-
legt werden. Uns interessiren zunächst nur die Glieder der Zerlegung,
in deren Nennern Potenzen des Linearfaktors 1 — c von S stehen.
Anstatt nun dieselben direkt aus O"1 zu berechnen, benutzen wir die
Gleichung (6) und zerlegen jedes Glied der rechts stehenden Summe
in Bezug auf X — c in Partialbrüche und fassen dann die Glieder, in
deren Nennern gleichhohe Potenzen von l — c stehen, zusammen. Um
nun das Glied

* Vergl. Jacobi, Crelle's Journ. (57) Bd. 53, S. 265.

Reduktion einer Formenschaar nach Weierstrass. 73

wo % eine der Zahlen 1, 2, ... n bedeutet, und Z^>« X1, XW=X",
u.s.w. zu setzen ist, in Partialbrüche zu zerlegen, verfahren wir wie
folgt:

Wir wissen, dass S^-~1)S^ den Faktor X — c genau zur Potenz

enthält, da die Determinanten S^~~^ und SM in Bezug auf X — c
regulär sind (40). Also ist

v^-c)1**1*-1

eine Funktion von X, die für X — c nicht Null wird; wir können
daher in der Umgebung der Stelle 4 = c sowohl

XM
als auch _.,.

in eine unendliche Reihe nach steigenden Potenzen von X — c ent-
wickeln * Nun sind aber X(*> und Y^ bei unbestimmten Werthen von

u1} u2, . . . un und v1; #2, . . . vn

durch die lyte Potenz von X — c und keine höhere theilbar, da S^ = #Jf ~1}
in (7) und (8) regulär ist. Die Entwickelungen von

und

haben demnach folgende Gestalt:

* Zerlegt man Q* irgendwie in Faktoren p, q derart, dass sich p und q in
der Umgebung der Stelle X = c nach steigenden Potenzen von X — c entwickeln

lassen, so gilt das Gleiche von una , sowie von

p q

•£(*) y(x) jr{x) y(x)

"Fr~ = ~~^~"'

x(x) r(x)

und man erhält schliesslich für — ; — --— eine Entwickelung von der Ge-

o(* — i) cM
stalt (12). Wenn oben speciell ° °

p = q=Q

gewählt wurde, so geschah dies mit Rücksicht auf die Ausführungen in § 10
dieses Buches.

(11)

(12)

74 § 6> 42-

(9) I™. _ (A _ C)'*[XZ„ + (A - c)XXI + (1- c)'X„+ •••],
(10) -™ .(i_ C)'«[r,0 + (i-c) F«, + (i- c)3Fz2 + •••],
wo die Xx^, Y^v von der Form

X,„ = -^(C„,.«, + -"+C„,m,) ft-0, 1,...,

y c*

r,v = -^=(I>xxv^+---+^nx^n) * - 0, 1,...

y c*

sind; (7* und die Koefficienten von uX9 . . . tt„ und t>*, . . . 0„ in (11)
sind ganze Funktionen von c und den Koefficienten der Formen A
und B.

Aus (9) und (10) folgt aber durch Multiplikation, wenn wir für
Q wieder seinen Werth einsetzen,

S(«-DS(«) a_C)'x-i+'«L v

[r,0 + (i-c)r,i + -]

oder mit Rücksicht auf (1)

= — i^[Z0+ 2^(1 - c) + ^(A - c)2+ •••]
die a ersten rechtsstehenden Glieder sind der Beitrag, welchen

bei der Partialbruchzerlegung in Bezug auf den Linearfaktor X-c liefert,
wie sich aus den bekannten Regeln über die Partialbruchzerlegung un-
mittelbar ergiebt. Für uns kommen nur die Koefficienten von X x und
X-2 in Betracht. Wir bezeichnen dieselben mit Fy. bez. Gx. Dann ist

oder, wie sich durch Ausmultipliziren des Produktes in (12) ergiebi

Für 6,-1 ist £*=0 zu setzen; ist fc - 0, so sind natürlich
Fx und 6rx Null. Wir setzen jetzt mit Weierstrass

(13)

Reduktion einer Formenschaar nach Weierstrass. 75

(14) 2X., T„ - (X, F.). f + ^ I e0- J e _ J ;

dann schreibt sich (13) kurz,

,1fV, r *. - (XÄ,

nach Obigem ist

zu setzen. Bezeichnen wir jetzt die Koefficienten von (l — c)—1 und
(A — c)— 2 in der Partialbruchentwickelung von C-1 mit .F bez. 6r, so
ist wegen (6) und (15)

(16) ^ (x-l,2,...w).

Ist ft eine der Zahlen 1, 2, . . . n und e*> 0, aber eÄ + 1 — 0; so ist
e1 ^> e2 ^> • • • ^> e* ,

ßi+i — 6*4.2 = ••• — c» — 0
nach 6, Gleich. (16). Daher ist

Wir fassen das erlangte Resultat nochmals zusammen: Die
Koefficienten von (l — c)~ 1 und (1 — c)~ 2 m efer Partialbruchzerlegung
von C~x in Bezug auf einen bestimmten Linearfaktor X — c von S sind
durch F und G in (17) gegeben; dabei bedeuten

die Exponenten der sämmtlichen zur Basis l — c gehörigen ET von S.
In F und G treten die linearen homogenen Funktionen

-^io> ^n> • • • ^i,«i— ij ^20; %%u - • • ^2,e2— i; • • .;
von ulf u2J . . . un und

-M0> -Ml; • ' • -M, *.— lj ^20? -*81> ' ' * -*2,*2 — 1$ • • -5
^ÄO, 1*1, • • • Yk,ek — 1

von vlt v2, . . . vn auf. Die Anzahl der Ausdrücke Xxft in jP und Yyv
in 6r ist bez. gleich (40)

(18) ßt+^+ ••• + «*- 1

76 §6>43-

43. Waren in der Determinante S die Subdeterminanten S\ S". . .
ursprünglich nicht sämmtlich regulär in Bezug auf X — c, wie es im
Allgemeinen der Fall sein wird, so hatten wir uns C durch lineare
Substitutionen einfachster Art, die mit Vertauschungen der Variabelen
Xi bez. y, gleichbedeutend waren, schon passend umgeformt gedacht,
ehe wir die weiteren Entwickelungen in 41 und 42 vornahmen. Geht
nun allgemein die bilineare Form C durch die linearen Substitutionen

deren Determinanten nicht verschwinden und deren Koefficienten nicht
von X abhängen, in die Form C über, bedeutet IS die Determinante
von 0, u. s. w., so ist für

Sit"** ft*-1»2!---»)?

die Wurzeln von S = 0 und S = 0 stimmen überein, desgleichen die
Zahlen lx und Zx, e* und ex (Satz 9 in 26, 34). Wird nun insbesondere
durch die Substitutionen (19) die Regularität der Determinanten
S[ S". . . in 8 in Bez. auf einen bestimmten linearen Theiler X — c
von S erzielt, so können wir die Jacobi'sche Transformation anwenden
und darauf die Partialbruchzerlegung in Bez. auf X — c vornehmen, wie
es in 40 — 42 angegeben wurde. Indem wir dann wieder die u'.} v\
durch die ut bez. v-t ausdrücken, erhalten wir wegen (21) die Partial-
bruchzerlequng von a

in Bezug auf den Theiler X — c von S. Es ivird

(22) 2^,^ = ... + ^2+^ + #,

wo F und G durch (14) und (17) definirt sind und nach (11) die
Xyn, Yy.v Ausdrücke von der Form

(20)

t v\ = ßuvL

bekanntlich:

(21)

2t™

(23)

X = -=(Cl^%+ C2xflU2+ •'• + CnXfiUn),
Yyv = -±= (Dl.v^ + A*v v.2 + • • • + BnyvVn)

sind; Cx und die Koefficienten der Veränderlichen ut und vL in (23)
sind ganze Funktionen von c, der Koefficienten der Formen A und B

Reduktion einer Fomienschaar nach Weierstrass. 77

und der Substitutionskoefficienten aik und ßik. Unter H ist die Ge-
sammtheit der nicht auf den Theiler X — c bezüglichen Glieder der
Partialbruchentwickelung zu verstehen.

Da wir die Regularität von S1, S" , . . . durch Elementartransfor-
mationen b) in 27 erzielen konnten, so sind die aik und ßik hier nur
Zahlen „Null" oder „Eins", und von den Koefficienten der Ui und v-,
in (23) sind je x — 1 Stück nach (11) gleich Null; d. h. die Ausdrücke
XXjU, Yxv haben zwar die in (11) angegebene Gestalt, aber die u-b bez.
Vi werden im Allgemeinen unter sich vertauscht sein. Wir haben,
anders ausgedrückt, in den gegebenen Formen A und B die Ver-
änderlichen xn yi in bestimmter Weise zu vertauschen, die Ent-
wicklungen genau wie in 40 — 42 vorzunehmen und am Schlüsse
in den Xy/U, Yxv eine der Vertauschung der Variabelen x-t und y-, ent-
sprechende Vertauschung der u-t bez. v-t eintreten zu lassen. Wir haben
vorstehend die Partialb ruchzerlegung von C~x für eine bestimmte Wurzel
c = cQ von S = 0 durchgeführt. Um anzudeuten, dass sich diese Ent-
wickelungen auf die Wurzel cQ beziehen, denken wir uns in ihnen c = c{)
und ly, ex, k, Ff G u. s. w. mit einem oberen Index q versehen, also
V, 6? u.s.w. geschrieben. Es ist wegen (18)

Und(4Ö) V+l" +.-.+-V»-*.

Im Allgemeinen wird jede Wurzel von S = 0 eine besondere Anordnung
der Veränderlichen x-t und yh und damit auch der Veränderlichen u-t
und Vi9 erfordern (43, Schluss); daher werden auch die im Vorher-
gehenden mit S't S", . . . bezeichneten Determinanten im Allgemeinen
für die verschiedenen Wurzeln verschieden sein. Unseren jetzt ein-
geführten Bezeichnungen gemäss haben wir nunmehr für (7—1 eine
Partialbruchzerlegung von der Gestalt

G" F" ,

>2~r

v-c.2r ' fr-*)

2 +

wo nach (16) und (17)

FW) = FJfi + F^ + . . . + F% =^(Xjf) Y$))ef ,
QW = afp + Gf + . . . + G% =2(X(v) r(?))e(|)_
— 1, 2, . . . W} q — 1, 2, . . . h zu setzen ist.

78 § 6> 44-

c) Die Entwickelung von C_1 nach fallenden Potenzen von l.

44. Aus Gleichung (24) ergiebt sich eine Entwickelung von C~l
nach fallenden Potenzen von X] gerade diese Entwickelung ist für
uns wichtig. Man hat nämlich

7P(Q) TP® F®

G(Q) GW

also ^"V2 l
(«0^-£**" x + TT

Setzt man in den Koefficienten von - und -p für
F', FV..-F«, G\ ff",...©«

ihre durch (25) gegebenen Werthe ein, so erkennt man, dass in ihnen
(27) \i+V'+... + Vh)~n

lineare Formen ZW von uu u2, ...um und ebenso viele lineare Formen
IJe) von t?x, t?4,..%Ä auftreten (42, Schluss). Die sämmtlichen ET
von S sind durch die Potenzen

(i - cfr, (x - <*)*> • • • (* ~ O* ; (* - ^ (* ~ *&* ■ • ; ^ " ^

gegeben: es sind

Stück-, ferner ist die Summe der Exponenten dieser Potenzen gleiche (43).
Nun lässt sich aber die Bezeichnung bedeutend vereinfachen. Es
seien, in irgend einer Reihenfolge geschrieben,

(A-Cl)% (1-0% (* -*>,... (*-*>

die eben aufgeführten sämmtlichen ET von ßf, wobei

(28) «! + *+••• + «■• — *

ist; die c„ brauchen natürlich nicht alle gleich zu sein, sie werden
eben nur * mit verschiedenen Buchstaben bezeichnet. Dann können wir

für y. = k' y = k'

F<+ r>+ ■■■+ 2™ -2(*J r*>'i +^ (X" r")e" + " '

kurz

Reduktion einer Formenschaar nach Weierstrass. 79

schreiben. Denn ist etwa

(X — CQ)e* — (X -r Co)'*,

sowird {xPiPw-C&ifyi

schreiben wir nun auf der rechten Seite der letzten Gleichung 6 für x,
so wird der obere Index q überflüssig, da die vermöge der Bedeutung
des Zeichens (X$YJP)ta zu jedem einzelnen ET gehörigen XajU, Yav
nunmehr durch den vorderen unteren Index ö gekennzeichnet sind.
Wir können ferner jetzt analog

c, F'+ c,F"+ ■■■ + c„Fm =^?ca(Xa r.)

G'+ G"+ ■■■ + ff« -^(X. Ya\-i (* - *' 2» - • "O

setzen, sodass schliesslich

_ gg* Yo)ea ZCa{XaYa)e0-VZ{XaYg)en-l

wird, wo 0 — 1, 2, .. . m zu nehmen ist. Die linearen Formen Xa/lf Yav

un u2y . . . w„ bez. rlf v2, . . . t?„
sind jetzt

Xio, Xu, • • • Xi, <*x — 1*, X20, X2i, . . . X2i e2 — l: • • •?

Xmo, Xml, . . . Xiri)em—i}
Yio, Yii, . . . Yi,^— 1*. Y20, Ysi) • • • jTg, c2 — lj • • •)

•^■mOj J-ml) • • • *-m,em — 1«

Es sind

<% + e2 H h^ = w

Formen Xa/t und ebensoviele Formen F^r, wie wir schon oben sahen.
45. Von nun an verstehen wir unter den Xafl diejenigen linearen
Formen der Veränderlichen x1} x2, . . . xnj welche aus den bisherigen Xafl
dadurch hervorgehen, dass in ihnen

/OAN dA dA dA

(30) U*~Wi' lh=Wz1'"UnZ=Wn

gesetzt wird, unter Ynr diejenigen linearen Formen der y1} y21...yn,
welche aus den seitherigen Yav dadurch hervorgehen, dass in ihnen

/Qi\ dA dA dA

gesetzt wird; dann werden nach (23) die Xail) Y„, von der Gestalt

80

§ 6, 45.

(32)

Xat

VC„

(<?..*+ q„*+-+°:..*o»

2(T/t

wo Ca, C/»'tf^, D/av (* — 1, 2, » . . n) ganze Funktionen von cff und von

den Koefficienten a,-4 und &ti sind.

Geht die Form ^? SikukVi (i, h — 1, 2, . . . n) durch die Sub-
stitutionen (30) und (31) in eine bilineare Form der xl} yk, die mit
<$>{xij) bezeichnet wird, über, so ist nach (29)

(33) — ^— 1 + rs + — •

Nun werden wir sofort ^ aber noch auf eine zweite Art nach
fallenden Potenzen von X entwickeln. Führt man in

^SikukVi =

^11 ^12 • • • ^1 1 ^1
^21 ^22 • • • ^2» ^2

C/,lCn2. • • cnn Vn
ut u2. . . Un 0

die Substitutionen (30) und (31) aus und multiplizirt rechts und links
mit X\ so kommt zunächst

d_A

Cn...Cla K d^

X*<$>(xy) = -

Cnl

dA

• enn a

dA

..X%± 0

Nun multiplizire man die ersten n Zeilen vorstehender Determinante
der Reihe nach mit x±, x2, . . . xn und subtrahire sie bez. von der letzten
Zeile; in der so erhaltenen Determinante multiplizire man die n ersten
Spalten der Reihe nach mit ylf yif . . . yn und subtrahire sie bez. von
der letzten Spalte; dann wird, da

ist,

C/*= Xaik — bn

Reduktion einer Formenschaar nach Weierstrass

dA

k*${xy) - -

Aa11—b11...Xaln — bln X

dxx

Daraus fotet

Xan\ — bnl. . . Xann — bnn X
dB dB

dyi ' 'Jy~n

Xa11 — b11...Xaln — bln \

dA
dxn

XA

dB

dx,

Ä*Q>nl — bn i . . . X an n — bn n

dB dB

dVx Wn

dB

dx„

XA-B

*P-"+*+Z+Z+

wo es auf die nähere Bestimmung der Koefficienten D, D'y
ankommt, und weiterhin

(34)

<t>(a?y) A B D B^

S l "*" X* "^ V "*" w

81

nicht

und somit haben wir in der That eine zweite Entwickeimg von ^^
nach fallenden Potenzen von X gewonnen.

d) Die Weierstrass'sche reducirte Formenschaar.

46. Nunmehr gelangen wir rasch ans Ziel. Vergleicht man

nämlich die beiden Entwickelungen (33) und (34) von

<S>(xy)

> so er-

sieht sich sofort

(35)

A=^(XaYa)ea

B =^?ca{Xa Ya)ea + ^{Xo 7cr).a-i

(0 = 1,2,. ..m):

die n linearen Formen Xafl der xu x2, . . . xn, ebenso die n linearen
Formen YGjil der yu y2, . . . ynj welche in A und B auftreten (44), sind
unabhängig von einander. Betrachtet man nämlich A als bilineare Form
der 2n Veränderlichen Xafl, Yffv, so werde dieselbe mit A bezeichnet.
Dann ist für fi + v = Co — 1

dA
also ist dX°fl

J- OV y

dk

dY„

— &OU-,

a2A

Al-l

Muth, Elementartheiler.

82 §6,46-47.

Nun geht aber A in i durch die linearen Substitutionen (32) über;
daher ist nach 11, 2)

\A | = det. der X^-l-det. der Yov;

da aber nach Voraussetzung | A\=\= 0 ist (40), so kann nach der letzten
Gleichung weder die Determinante der n linearen Formen Xafl der
xly x2, ...xn noch diejenige der n linearen Formen Yov der &>&>..•?«
Null sein, w. z. b. w. — Man kann also auch umgekehrt die xu x2, . . . xn
durch die XffjU; die yu y2,...yn durch die Yav ausdrücken, d.h. aus
(32) folgen Gleichungen von der Form

(36) ±1 ri f* = 0, l,...eff-l

yi=2jDiövYav \v-0, l,...eff-l

Das erlangte Resultat können wir folgendermassen aussprechen: #md
J. tmd? -B #wei bilineare Formen von je 2n Variabelen, von denen die
erste eine nicht verschwindende Determinante besitzt, sind ferner

(X - q>, (X - c2>, ... (X- cm)em (m £ n)

die sämmtlichen Elementartheiler der Determinante

\XA-B\,

so können durch lineare Substitutionen (36), deren Determinanten nicht
Null sind, die Formen A und B gleichzeitig bez. in die bilinearen Formen

(37)

(a = 1, 2, ... m)

von je 2n Veränderlichen Xafl, Y„v transformirt werden, wo

(XaTa).e - yx„YaJP>v = °> h--ea-l\

*^ \yi -\- v *= ea— 1 /

definirt ist. und

(x„r,X-i-o

#w nehmen ist, ivenn ea = 1 «&.

47. Wir lassen jetzt die Voraussetzung, dass die Determinanten
beider Grundformen der zu reducirenden Schaar Xt A + X2 B von Null
verschieden sind, fallen und nehmen blos an, dass die Determinante der
Schaar nicht identisch Null ist. Die sämmtlichen ET der Determinante

\X1A + X2B\

der Schaar seien, in irgend einer Reihenfolge geschrieben,

Reduktion einer Formenschaar nach Weierstrass. 33

(Mi + M2)6S (<h*l + M2)% • • • (*m*x + bmx2)\
wo m < w ist.

Wir führen nun mittelst einer Substitution

(38) K=gi-g\ Aj-äa-ä',

nicht Null sein soll, statt der Veränderlichen X1 \ A2 einen Parameter A
ein (vergl. 37). Dann wird

XXA + A25 -(^4 + hB)X -(g'A + VB) = XÄ-B,
wo

^ 1 5 = ^ + ä'ä

Wählen wir dabei g\h so, dass

ist, so ist durch (38) jedem ET (aaki + Ma)8a von | Ax J.+ A2 J5| ein ET

[K<7 + M)A -(«<#' + &ffÄ')]'ff
von | A A — .ß | zugeordnet (37). Die Konstanten g, g\ ~hy V können
und wollen wir so wählen, dass

(40) gh'-g'h-l

ist. Da es ferner nur auf das Verhältniss der Koefficienten aa \ ba an-
kommt, so können wir aa\ba so bestimmen, dass

(41) aag + Iah — 1

ist. Denn wir haben a0g + bah •+■ 0 vorausgesetzt; es sei also

aag + boh=p,
wo p =|= 0 ist. Dann wird

und wir brauchen daher nur — für aa und — für ba zu nehmen, um

P P

das Gewünschte zu erreichen. — Dadurch wird einfach

wenn a°Xl + l(jX* = k "~ ^ + h<jJl^ = A ~ c<7>

(42) aff^f + bah1 = ^

gesetzt, wird. Die sämmtlichen ET von \XÄ—B\ sind alsdann (37)

(*-OS a-^)%...(^-^Tw;

| -4 | ist nicht Null, also können wir nach 46 Z und B in

6*

84
(43)

§ 6, 47.

A-y^Y^

(* - 1, 2, . . . m)

(44)

umformen (vergl. Formel (35) oben), wo die Xafl (Yav) n unabhängige
lineare Formen der x-, (yt) sind von der Gestalt (32); in letzteren
Formeln sind C„, Ci0h, D'iov (i — 1, 2, . .^n) ganze Funktionen von
Ca und von den Koefficienten von A und .#, mitbin auch wegen (42)
und (39) ganze Funktionen von aa | ba und den Koefficienten von A
und B.

Aus (39) folgt aber mit Rücksiebt auf (40) und (42)

A = tiÄ- HB - ^(^- hCa) (Xa Ya)eo - ft ^(Xa Ya)eö -1,

B = - g'Ä+ gB = ^(gca - ff) (Xa Ya),a + g ^(X0 Y.\.-u

aus (40), (41) und (42) ferner

aa = h' — cah, ba = cag — g\
sodass schliesslich

A=^aa (X0Y0)ea - h ^?(Xa Y0)e0 -1,
B = ^ba (Xa Ya)ea + 9 ^(Xa Ya),a-1

wird. Daher haben wir folgendes Resultat erzielt:
Ist die Determinante einer Formenscliaar

X^A + X^B,
deren Grundformen von je 2n Variahelen xt und y-t abhängen, nicht
identisch Null, sind, in irgend einer Reihenfolge geschrieben,

(aa^ + ba^Y* (*-l, 2...w) '

ihre sämmtlichen ET, so giebt es lineare Substitutionen mit nicht ver-
schwindenden Determinanten und von Xt\X2 unabhängigen Koefficienten,
welche A und B gleichzeitig in

A = ^aa(X0 Ya)ea - * ^(Xa Yo\-l,
ß . ^ba (Xa Y0)e0 + 9 ^(X, Ya\-l

transformiert, wo die Konstanten g\h willkürlich, aber so gewählt sind,

dass \gA + hB\

nicht Null ist, und die aa\ba der Gleichung

aag + bah= l
entsprechend gewählt sind.

(45)

0 - 1, 2, . . . m)

Formenschaaren, deren Determinanten vorgeschr. Elementartheiler besitzen. 35

Die Schaar XtA -\- X2B ^ zerlegbar; ihre einzelnen Theile

Xx \aa (Xa Ya)ea- h(Xa Y0)eG-i\ + h U>o(Xa Ya\ + g(X„ r,).fl-i]

sind, wie wir sehen werden (48), irreducibel; daher ist die Schaar
Xx A + X2 B eine in lauter elementare Schaaren zerlegbare oder eine
reducirte Formenschaar, wir haben die gegebene Schaar XXA + X2B in
eine äquivalente reducirte Schaar Xx A + X2 B übergeführt oder, kürzer
gesagt, die 'Reduktion einer Formenschaar wirklich ausgeführt (39),
allerdings unter der Voraussetzung, dass die Schaar nicht singulär ist.

Ist von den Determinanten \A\ und \B\ eine, etwa \A\ nicht Null,
so können wir vorstehend

g = 1, h — 0, g' — 0, V = 1, aa — 1, &„ = c0, 2X = X, A2 — — 1
setzen, wodurch unser allgemeineres Resultat wieder in das speciellere
in (46) übergeht.

Stimmen für zwei nicht singulare Schaaren die ET ihrer De-
terminanten überein, so können wir jede derselben in eine und dieselbe
äquivalente reducirte Formenschaar überführen. Daher sind dann die
beiden Schaaren unter sich äquivalent. Auf diese Weise hat Weierstrass
sein berühmtes Theorem VIII (in 39) über die Aequivalenz nicht singulärer
Schaaren zuerst bewiesen.

§ 7. Formenschaaren, deren Determinanten vorgeschriebene
Elementartheiler besitzen.

48. Wir wollen nun ein Theorem beweisen, welches für die Theorie
der gleichzeitigen linearen Transformation zweier bilinearen Formen
auf eine einfache (kanonische, Normal-) Form von fundamentaler
Bedeutung ist. Im letzten Paragraphen haben wir eine derartige
Transformation der bilinearen Formen A und B von je 2n Ver-
änderlichen Xi,yi in die bilinearen Formen A, B von je 2 n Veränderlichen
Xafl, YGV ausgeführt [vergl. die Gleich. (45)]. Diese letzteren Formen
A und B sind vollständig bestimmt, sobald man die ET von \XXA -\- X2B\
kennt und g \ h passend gewählt hat. Nun entsteht die umgekehrte
Frage, ob die bilinearen Formen A und B, wenn man in ihnen, bei
gegebenem n, die Zahlen exi e2, . . . em, die Konstanten ax, a2, . . . am,
bl9 o2 , . . . bm und g | h den Bedingungen

Ci + e2-\ \-em = n,

gaa-\-hba = l (o — 1, 2, . . . m)

gemäss, im Uebrigen aber ganz willkürlich wählt, so beschaffen sind,

dass die Determinante . „ . „ ^ .

|*iA + *|B|
gerade die ET

86

§ 7, 48.

{aaX1 + M2> 0 = 1, 2, . . . m)
besitzt, oder ob es, kurz gesagt, Formenschaaren giebt, deren Deter-
minanten vorgeschriebene ET besitzen. Dies ist in der That der
Fall und sehr einfach nachzuweisen. Wir beweisen also das folgende
Theorem von Weierstrass*:
IX. Wählt man in

(i)

A =^a„(Xa Ya)e„ - 7*2(Z° Yt\-

0 = 1,2,...»»)

B -^be(Xa Y„\ + g^(Xa Ya)ea.

die positiven ganzen Zahlen eu e%, ...em und die Kon-
stanten aa, &„, g, h willkürlich, aber so, dass bei ge-
gebenem ei + e2+... + em=n
und , T,

nicht Null ist, setzt in (1) ferner (Xa Ya)ea-i - 0 für
eff = l, so besitzt die Determinante I^A + AjBl der von
2w Variabelen Xafl, Yov abhängigen Schaar ^A-f^B
die Elementartheiler

(aa^ + ba^yo 0 = 1,2, ...m).
Beweis. Setzen wir

Aa = aa(Xa Ya)eo - h^(XaYa)e0-l,
Ba = ba(X0 Y0)e0 + 9^i^a Y0)e0- 1,

so ist die Schaar A^-f A2B in die m Theilschaaren

X^a+l2Ba (tf-l,2,...fw)
zerlegbar. Nun sei ö eine der Zahlen 1, 2, ...w; wir wollen die
ET der Determinante der Form X^a+ ^a von 2ea Variabelen

XoO, Xa\y . • • Xa, ea-l, Yao, Yöl, • • • -*<x, ea — 1 ,

die Veränderlichen in dieser Reihenfolge genommen, bestimmen. Setzt

man noch abkürzend

aöA1+&aA2 = w, gh-JlX1 = v,
so wird

0 0 0 .... v u

0 0 0 . . v u 0

AjAfj "T" ^2 b(j |

v u 0

M 0 0

= ± Uec.

* B M 1868 , S. 327 flg. (Ges. W. Bd. II , S. 33 flg.)

Formenschaaren, deren Determinanten vorgeschr. Elementartheiler besitzen. 37

Diejenige Determinante, deren System aus dem der vorstehenden durch.
Weglassen der letzten Zeile und Spalte entsteht, ist gleich

q: veo— 1

und daher nicht durch u theilbar; sonst wäre ja, wenn C eine Kon-
stante bedeutet, die weder Null noch unendlich ist,

also a°h + M2 - C(gX2 — hXj,

aö — — CK, ba = Cg>

gaa + hba = 0,

gegen die Voraussetzung. Also besitzt die Determinante

\X1Aa+ X2B0\
nur den einzigen ET

ueo = (a0X1 -f b0X2)eo.

(Yergl. 2.) Die ET von \X1A + X2B\ sind aber nach dem Theoreme VII
in 38 die ET von

*i Aj + X2 Bj , Aj A2 + a2 B2 , . . . ax ATO -j- a2 Bm

zusammengenommen; also besitzt | ^ A + A2 B | die ET

(a„X1 + W2)e" (c? = 1 , 2, . . . m),
w. z. b. w.

Die Formenschaar Xt Aa + X2 Ba ist nicht zerlegbar, sie ist aber
auch keiner zerlegbaren äquivalent. Denn angenommen, sie wäre einer
zerlegbaren Schaar T mit den Theilschaaren r\ und [~2 äquivalent, dann
wäre (22, Satz c) |p 1-^ |.|r,|,

und somit, da | T | e[e 0 ist, auch | ^ | ~\~ 0, | f"2 1 =|= 0; | T |, und daher
auch | AxAa4- X2B0\, besässe dann mindestens zwei ET, entgegen dem
oben Bewiesenen. Also ist Xx Aö + X2 Ba eine irreducibele oder elemen-
tare Schaar, und axA + X2B = "V^Aa-f X2Ba (tf — 1,2, . . . m) eine

reducirte Schaar, wie in 47 behauptet wurde (39). Analog ergiebt sich
allgemein mit Rücksicht auf S.82— 83: Eine ordinäre Schaar ist dann und
nur dann irreducibel, wenn ihre Determinante einen einzigen ET besitzt.

49. Auf das Theorem IX gründet sich eine Klassification
der Formenschaaren (Formenpaare), die von gleichvielen
Variabelenpaaren abhängen, unter Zugrundelegung Unbeschränkter
linearer Transformationen der Yariabelen beider Reihen, wie folgt:

Besitzt die Determinante einer von n Variabelenpaaren abhängigen
Formenschaar X1A + X2B die ET

88 § 7> 49-

(a, X, + bx *,>', (a1 X1 + \ X2)e* , (dj ^ + ^ A2)ÖV ;

(os ^ + &2 *sK, («2 *i + h h)e*', — («s *i + *>% hY'*" ;

(aAAi + M2>(Ä), Mi + fckili>W, • • • Mi + M2)$),
so sagen wir, die Formenschaar X1A-{-X2B (das Formenpaar ^4, B)
habe die Charakteristik

(2) [(«[, ei, . . . 4), (a* ^ . . . «£), • • • (4">, «ft • • • «Jp.
Da die Summe dieser Exponenten

(3) e; + ^+---+e; +e;,+ e;' + ---+e;;, + 4")+4") + ---+eW) = w
ist, so gehört zu allen von je 2n Variabelen abhängigen Formenschaaren
eine endliche Anzahl solcher Charakteristiken (2), weil es für ein ge-
gebenes n nur eine endliche Anzahl Lösungen der Gleichung (31) in
positiven, ganzen (von Null verschiedenen) Zahlen e{fQ) giebt. Ziehen
wir nun alle überhaupt möglichen Lösungen der Gleichung (3) in positiven,
ganzen Zahlen e%) bei gegebenem n in Betracht und bilden aus jeder
Lösung einen solchen Klammerausdruck (2), so gehört nach dem
Theoreme IX — und darin besteht die grosse Bedeutung dieses
Theorems — zu jedem der so erhaltenen Klammerausdrücke (2) eine
Formenschaar Xi A + X2B, welche denselben als Charakteristik besitzt.
Hiernach können wir die von je 2n Variabelen x17 . . . xny &,...#«
abhängigen Formenschaaren (Formenpaare) bei unbeschränkter linearer
Transformation der Variabelen folgendermassen klassificiren: Wir
rechnen zu derselben Klasse von Formenschaaren* (Formenpaare)
diejenigen Formenschaaren (Formenpaare), tvelche eine und dieselbe
Charakteristik besitzen.

Die gemeinsame Charakteristik aller Formenschäaren einer Klasse
heisst die Charakteristik der Klasse. Wir können übrigens eine
solche Charakteristik (2) bei passender Bezeichnung der auftretenden
Exponenten einfacher in der Form

\[eve2 . . . ek), (ek+! . . . ei), . . . («, er+i . . . em)]
schreiben, wo eu e2, e8, . . . em die Exponenten der sämmtlichen m ET
von \XlA-\- X2B\ bedeuten, da durch die runden Klammern genügend

* Das Wort „Klasse von Formenschäaren" wird hier in einem anderen
Sinne gebraucht, als in 39. Man hat, um Zweideutigkeit zu vermeiden, in ana-
logen Fällen auch wohl von „Typen" statt von „Klassen" gesprochen (vergl. z.B.
Rosenow, die Normalform für die 472 verschiedenen Typen eigt. bil. Form, von
10 Variabelenpaaren bei congr. Transf. der Var., Wiss. Beilage zum Programm der
vierten Städtisch, höh. Bürgersch. zu Berlin, 1892, S.6), doch scheint es prak-
tischer, das Wort „Klasse" auch hier zu verwenden. Es genügt, die Verschieden-
heit der Bedeutung desselben Wortes hervorgehoben zu haben.

Fornienschaaren , deren Determinanten vorgeschr. Elementartheiler besitzen. 89

angedeutet wird, dass die von ihnen umschlossenen Exponenten sich
auf dieselbe Basis beziehen; er ist dann

ei + e2 H \-em — n.

Aequivalente Formenpaare gehören zur selben Klasse; aber um-
gekehrt sind zwei Formenpaare derselben Klasse nicht nothwendig
auch äquivalent; hierzu ist ja erforderlich, dass nicht nur die Ex-
ponenten der ET, sondern die ET selbst für die Determinanten der
durch die beiden Formenpaare bestimmten zwei Schaaren übereinstimmen
(Theorem VIII).

Das Theorem VIII garantirt aber nicht nur für die Existenz von
Formenpaaren aller Klassen, sondern es liefert auch in den Gleichungen (1)
für jede Klasse ein ihr angehöriges Formenpaar A, B von höchst ein-
facher Form. Da in (1) die Konstanten aa, ba, g\h nur der Bedingung

aag -j- b0h =j= 0 (tf = 1, 2, . . . m)

zu genügen haben, im Uebrigen aber ganz willkürlich sind, so kann
man nach dem Theoreme VII alle Formenpaare einer Klasse durch
lineare Substitutionen auf die Gestalt dieses ihr zugehörigen Formen-
paares A, B transformiren. Man bezeichnet daher A und B auch als
Normalform oder kanonische Form der Formenpaare der be-
treffenden Klasse. (Analog spricht man von einer zu einer bestimmten
Klasse von Schaaren bilinearer Formen gehörigen Normalform Xx A + A2 B.)
Durch die Weierstrass'scftew Untersuchungen, die in den Theoremen VIII
und IX gipfeln, ist nach dem eben Ausgeführten das Problem der gleich-
zeitigen Transformation zweier bilinearen Formen von je 2n Variabelen auf
eine gewisse einfache oder kanonische (Normal-) Form gelöst und die
Aufgabe, dabei sämmtliche möglichen Fälle für ein gegebenes n aufzuzählen,
in vollständigster und systematischster Weise erledigt. Hierauf namentlich
beruhen die zahlreichen Anwendungen, welche die sog. Weierstrass'sche
Theorie der ET in fast allen Zweigen der höheren Mathematik ge-
funden hat*

50. Im Vorstehenden ist stets zu beachten, dass Alles nur für
ordinäre Formenpaare gilt. Ehe wir uns zu den analogen Unter-
suchungen über singulare Paare (Schaaren) wenden, ivollen wir für
die Fälle n — 1, n — 2, w = 3 und n = 4 die Klassenzahl der Schaaren
von bilinearen Formen (der Paare von bilinearen Formen) bestimmen
und die zu den einzelnen Klassen gehörenden Normalformen wirklich
aufstellen.

* Vergl. § 16 u. § 17 am Schlüsse.

90 § 7, 50.

Im Falle n = 1 haben wir für die Gleichung

(4) ek + % H -f €m — 1

nur eine Lösung ex = 1. Es giebt also nur eine Klasse von Formen-
paaren mit der Charakteristik [1]. Hier wird (1) zu

A-o1(xlr1x-aiz10r10)

B = bl(X1Y1)^b1X10Yw

denn m ist hier gleich 1 und (Xx Y^q muss gleich Null gesetzt
werden; at und bt sind nicht gleichzeitig Null. In diesem einfachsten
Falle n = 1 ist das eben Gesagte natürlich an und für sich evident.
Anders liegt die Sache schon beim Falle n — 2. Hier lässt die
Gleichung (4) zwei Lösungen zu:

I. e,-l, e2 = l,

IL ex - 2.

Man hat daher drei Klassen von Formenpaaren mit den Charak-
teristiken [11], [(11)], [2]. Die Normalform, aufweiche jedes Formen-
paar der Klasse [11], d.h. der Klasse mit der Charakteristik [11], ge-
bracht werden kann, lautet

A = a1(X1 Yt\ + a2 (X2 Y2\ — a± X10 Y10 + a2 ^20 ^20 >
B - lt (X, Yt\ + b2 (X2 Y%\ - \ X10 Y10 + b2 X20 Y20 .

Im Falle [(11)] hat man vorstehend ai'='biy a2 — fr2 zu nehmen.
Im Falle [2] endlich wird

A = atä r,)2 - h(X, FA - aÄ Ftl + Xu F10) - h X10 F10 ,

B - 6, (X, FA + g(Xt Y,\ - 6, (X10 F„ + Zn F,0) + g Xl0 FM ;

die Konstanten fl^l&j, %|^2? #1^ sm(^ so beschaffen, dass

igt gaa + hbo + 0 (tf-1, 2)

Nach diesen Beispielen wird man im Stande sein, für jedes ge-
gebene n die Charakteristiken und so die Anzahl der Klassen zu be-
stimmen, sowie die zu den einzelnen Klassen gehörigen Normalformen
aufzustellen. Wir stellen im Folgenden die Charakteristiken und
Normalformen aller Klassen von ordinären Paaren bilinearer Formen
von 2n Variabelen für die Fälle n = 1, 2, 3, 4 schematisch zusammen,
indem wir z. B. durch

-, ai ^-10 -MO T ^2^20 ^20?
M -^10 MO ~i~ ^2 ^20 "MO

andeuten, dass es im Falle n = 2 erstens eine Klasse von Formen
paaren mit der Charakteristik [11] giebt, und dass die Paare dieser

Formenschaaren, deren Determinanten vorgeschr. Elementartheiler besitzen. 91

Klasse auf die Gestalt at X10 Y10 -\ , \X10 ^10 + • • • gebracht werden

können. Um Raum zu sparen, schreiben wir x0fl für Xafl, yov für Yav.

Klassen der ordinären Paare von bilinearen Formen
von 2n Variabelen bei unbeschränkter linearer Trans-
formation der Variabelen im Falle

a) n =1.

H r -, ai#io2/io>

1. [l]:

°i#io2/io*

,b) n = 2.

r -, VioS/lO + «2#2o2/20>

1. [11]: , ,

Ol#lo2/l0 ~r °2 #20 2/20'

9 r/-, yi. öl ^10^10+ #2o2/2o)>

^lV^lO 2/l0 "T #2o2/2o)-

3 ., «iO*ioS/ii + #n2/io) - &#io2/io,

M#io2/n + #n2/io) + £#io2/io-

c) * — 3.

ai#lo2/lO "I" ^2 #20 2/20 "T" ^3 #30 2/30 >
' h #10 2/l0 + &2#2o2/20 + &3#3o2/30-

9 r/n^ii- ai^10^10^" ^202/20) + % #30 2/30 >

' &l(#lo2/lO + #2o2/20) + &3#3o2/30-
o r, v-, . ^l 0% 2/l0 "T" «20 2/20 "T" #30 2/3o) >
0lV#lo2/lO "T #2o2/20 T #3o2/31/'

4 r , ßi(#io2/ii + #n2/io) + «2^202/20 - ^#io2/io;

' &i(#io2/n + ^n2/io) + &2#2o2/2o + ##io2/io-

p. p , ^l(#lo2/ll T #ll2/l0 T #2o2/2o) ^#lo2/l0>

' &i(#io2/ii + #11 2/io + *2o2/2o) + £#io2/io-
6 %Oio2/i2 + #n2/n + #122/10) - K#io2/n + #n2/io)>

&i(#io2/i2 + #11 2/n + #122/10) + 0(#io2/n + #11 2/io) •

d) n = 4.

«l#102/l0 + «2#20^0 + «3#302/30 + ^4#4o2/40>

' &!#102/l0 + &2#202/20+ &3#302/30+ &4#4o2/40«

~ p , öl (#10 2/l0 T #2o2/2o) Tflj #30 2/30 T #4 #40 2/40*

' ^l(#102/l0+ ^2o2/2o) + ^3#302/30+ &4#4o2/40'

92 §7,50-51.

,- ai (XloVlO + #2o2/20) + «3feo2/30 + #402/4o)>

3.[(il)(li)]: . 7 . .

Oll#lo2/l0 ~r #20 2/20 ) • °3 1^30 2/30 T #40 2/40 </•
#l(#lo2/lO~l~ #20 2/20 "T #30 2/so) 1 a4 #40 2/40>

4. [(111)1]: , / . , \ , T

&i (#lo2/lO + #202/20 + #302/3o) + ^4^402/40 •

ax (#10 2/10 + #202/20+ #30 2/30 + #40 2/40)1

5. [(Uli)]: , , . , , n

Öl V#lo2/lO 1 #20 2/20 1 #30 2/30 ~T #4o2/4oJ •

ai(#io2/n + #n2/io) + V202/20 + «3^302/30 - 7i#io2/io;

&j (a510yu + #n yi0) + &2 #2o2/20 + &3#3o2/30 + ##lo2/lO •

«i(#io2/n + #n2/io + #2o2/2o) + %%>2/3o - ^#io2/io>
7. [(21) ll: , , . . \ , x

&i(#io2/n + #n2/io + #2o2/2o) + &3#3o2/3o + ##io2/io-

«i(#io2/n + #n2/io) + «2(^202/20 + #3o2/so) - ^#io2/io>
&i(#io2/n + #n2/io)_+ &2(#2o2/2o + #3o2/so) + ##io2/io-

^1 C^10?/ll ~1~ #ll2/l0 T #202/20 T #3o2/3o) "~ 'lX10/yi0)

9. [(211)1: , , . . . n ,

h (#io2/n + #n2/io + #2o2/2o + #3o2/3o) + £#io2/io-

«i(#io2/u + #n2/io) + «2(^202/21 + #2i2/2o) — H#io2/io+ #2o2/2o);
&i(#l02/ll + #n2/io) + ^fcoftl + #2i2/20) + #(#io2/io+ #2o2/2o)-
«i(^io2/n + #n2/io + #2o2/2i + #2i2/2o) - H#io2/io + #2o2/2o)>
L(22)-J* bi(x10y11 + #n2/10 + #202/21 + 3*1 2/20) + #(#lo2/lO + #2o2/2o)-

«ifeo2/i2 + #n2/n + #122/10) + V202/20 - H#io2/ii + #n2/io);
&i(#io2/i2 + #n2/ii + #122/10) + &2#2o2/2o + K#io2/n + #n2/io)-
§ «i(#io2/i2 + #n2/n + #122/10 + #202/20) - K#io2/n + #n2/io)>
K31)]' ^(^t/xa + #n2/ii + #122/10 + #202/20) + K#io2/n + #n2/io)-
% (#10 2/i3 + #11 2/12 + #122/11 + #13 2/io)

- M#io2/i2 + #n2/ii + #122/10);
14 UV \

^l(#102/l3 + #ll2/l2 + #122/11 + #i32/io)

+ ^(#102/12 + #11 2/n + #i22/io)-
In den Fällen n = 1, 2, 3, 4 haben wir also bez. 1, 3, 6, 14 Klassen
von Paaren bilinearer Formen.

51. Von besonderer Einfachheit sind, wie die vorhergehenden
Beispiele zeigen, die Normalformen dann, wenn die zugehörige Charak-
teristik nur aus Exponenten Eins besteht. Wir wollen uns mit diesem
Falle noch etwas näher befassen.

Besitzt die Determinante einer ordinären Schaar X1A -f X2B
bilinearer Formen nur ET mit Exponenten Eins, so kann man A und B
durch lineare Substitutionen bez. in Formen

« ::ss

Reduktion einer Formenschaar nach Kronecker. 93

A = «! Xj Fx + a2 X2 Y2 + h anXn Yn,

+ b2X2Y2+--- + bnXnY„

überführen, wenn X0o=X0, Yöo= Ya gesetzt wird (47). Nach dem
Theoreme IX in 48_besitzt ferner die Determinante

KA + A2B|7

wenn A und B die in (5) angegebene Form haben und aa \ b0 (ff = 1, 2, . . . n)
nicht gleichzeitig Null sind, die ET

{alXl + \X2), (flj^ 4- 2>2 *a); • • • (a«^i + M2),
also lauter lineare ET. Daher gilt der Satz:*

13) Damit sich zwei bilineare Formen A und JB von 2n Variabelen
durch lineare Substitutionen gleichzeitig auf die Gestalt

ai Xt Zj + a2 X2 Y2 + • • • 4- anXn Yn ,
\X, Yx + b2X2 F2 + •• • 4- bnXn Yn

bringen lassen, wo aa\b0 (<J = 1, 2,...n) nicht beide Null sind, ist
nothwendig und hinreichend, dass die Determinante

\X1A + X2B\
nicht identisch Null ist und lauter lineare Elementartheiler besitzt, oder
wie man auch sagen kann (6, Satz 4), dass jeder lineare Theiler der
Determinante \XlA-{- X2B\, wenn er in derselben zur lUn Potenz auftritt,
in allen Subdeterminanten (l — l)ien Grades ihres Systems zur (l — l)ten
Potenz auftritt.

Wir wenden uns jetzt zu dem seither beständig ausgeschlossenen
Falle, wo die Determinante der zu untersuchenden Formenschaar
identisch Null ist.

§ 8. Reduktion einer singulären Schaar von bilinearen Formen
nach Kroneeker.

52. Wenn die Determinante einer Schaar von bilinearen Formen
identisch Null ist, so ist von Kronecker** eine ihr äquivalente re-
ducirte Formenschaar hergeleitet worden, welche ganz ähnlich gebaut
ist, wie die Weierstrass'sche reducirte Schaar einer ordinären Schaar
in 47. Ist nämlich zunächst wieder die Determinante einer Schaar nicht
identisch Null, so kann man die Grundformen cp und ip so wählen, dass

* Weierstrass, BM 1868, S. 331 [Ges. W. Bd. II, S.41— 42].

** Vergl. zu diesem Paragraphen: Kronecker, SB 1890, S. 1225 flg. — Wenn
im Folgenden von einer linearen Substitution schlechthin gesprochen wird, ist
stets eine solche mit nicht verschwindender Determinante gemeint.

94 § 8> 52-

die Determinante der einen, etwa von <py nicht Null ist. Denn setzt

man (37), X^ gX[ + g' X'„ 2,-ftll+ft'a;,

so geht die Schaar XLA -f X2B über in eine Schaar

X[{gA + ÄJB) + AjfoM + h'B) - Aj9 + A#.

Wählt man nun ., r ti ^ , ,< , 1, z? 1 1 n
gh'-g'h=\=0, \gA + hB\ -j- 0,

so ist jede Form der Schaar A^-f-Agi? auch eine solche der Schaar
Aj<p 4. X^ip, und umgekehrt, d. h. die Gesammtheit der durch
XrA-\-X2B dargestellten Formen ist identisch mit der Gesammtheit
der durch X[ip -f- A{^ dargestellten Formen; ferner ist |g>| nicht Null.
Bedeuten dann

(A _ cyy {X - c,)S • • • (A - 0*V,
(A - c2>", (A - c2>", . . . (X - c2)*'V,

die sämmtlichen ET der Determinante

so kann man, wenn abkürzend

<J><?> - 2*$ IS G» + » = # - !« f» - 0, 1, • • • e?> - 1),

M*> = 2*8 r- 0* + » - # - 2> C - 0, 1, • • • <#> - 2)

gesetzt wird, durch lineare Substitutionen cp in

W { ... + <&f> + 4>?) + *>$

*i Q

if> in

(2) V-2^+2^

transformiren, wenn wir die in (1) rechts stehende Summe kurz mit
VcD^, die Summe

mit J^V^ bezeichnen und für e[Q) = 1

*, Q X|/(?) _ Q

setzen (44, 46). Wir können also bei dieser Bezeichnungsweise die
Schaar X1fp + A,^ in eine Schaar von der Gestalt

Reduktion einer Formenschaar nach Kronecker. 95

(3) M> + X, V -2 [& + Cji.) <•>?' + *. ^?)]

linear transformiren. Auf eben diese Form kann aber auch bei passender
Wahl der Grundformen jede singulare Schaar von bilinearen Formen
gebracht werden, nur dass alsdann für ein bestimmtes q diejenigen
X oder Y, deren zweiter unterer Index e^— 1 ist, sowie das zugehörige cQ
gleich Null zu nehmen sind;* diese Schaar (3) ist eine reducirte Schaar.

Wir gehen jetzt auf den Gegenstand näher ein.

53. Es seien <p und t/> zwei bilineare Formen, deren jede von
r Yariabelen x1} x2, . . . xr und s Variabelen y1} y2, . . . ys abhänge. Die
Anzahl der Variabelen Xi der einen Reihe, ebenso die der Yariabelen yt
der anderen Reihe darf in beiden Formen als gleich vorausgesetzt
werden (vergl. S. 4, Anm.).** Die Determinante der Schaar X±(p -}- X2tfj
verschwinde identisch (dies tritt z. B. dann ein, wenn rSs ist). Als-
dann sind die Ableitungen von

Xcp — ty

nach den Yariabelen mindestens einer Reihe, etwa nach den x1} x2, . . .xr,
durch mindestens eine lineare Relation verküpft. Setzen wir

so besteht also zwischen den flf f29 . . ,fr eine gewisse Anzahl un-
abhängiger linearer Relationen.

Es muss hier eine für das Folgende höchst wichtige Bemerkung
eingeschaltet werden:

Sei A^ + Aifi+'-.+Arfr-O

eine zwischen den f bestehende Relation, deren Koefficienten A{ in X
vom Grade g seien. Geht nun f durch eine lineare Substitution

Xi= CCUx[-\r CCaX*-] \-CCriXr (t — 1, 2, . . . r),

deren Koefficienten aik von X unabhängig seien, in f *** über, setzt man

ferner s fl

V-j-f! (i = l,2,...r),
so wird wesren €x%

* Und zwar ist für dieses p entweder 3$$\(Q) , oder Y^Hq) . (x = 1 , 2 , . . .)
gleich Null zu setzen.

** Es treten also mindestens in einer Form wirklich r Variabelen xi und
s Variabelen yi auf. Aufzufassen haben wir aber die Schaar stets als eine von
ebensovielen Variabelen x. als Variabelen yk abhängige (vergl. S. 4, Anm.). Ist z. B.
r>s, und es wird eine lineare Substitution für die yk ausgeführt, so haben wir
dieselbe in Gedanken durch y.1 = y'st_x, . . . yr = y'r zu vervollständigen.
*** f bedeutet also hier ausnahmsweise nicht die zu f conjugirte Form.

96 § 8> 53-

f — *lfl+ VXrfr,

und somit sind die f- lineare Formen der fy da
^ ± ancc22 . . . ccrr -f- 0

ist, so kann man auch umgekehrt die f{ linear durch die f- ausdrücken.
Aus der linearen Relation ^f{Aj — 0 zwischen den f{ folgt daher eine

i

solche zwischen den /*/, und zwar ist dieselbe vom Grade g oder niederem
in l. Führt man eine analoge lineare Substitution für die yk aus,
so sind selbstverständlich die Ableitungen der transformirten Form
nach xlf fy, . . . Xr durch eine lineare Relation verknüpft, deren Koeffi-
cienten eben die Ai sind.

Aus den linearen Relationen zwischen den f leiten wir nun durch
lineare Verbindung eine solche Relation ab, welche in X von möglichst
niedrigem Grade ist. Diese sei

(5) 2 *2e°ßVf? - c°x°+ c^+-

a = 0 p= 1

•• + <u«

= 0,

wo

(6) Ca = Calfx + Ca2f2 + • ' ' + Carfr («

= 0,1,2,

. . . m)

zu setzen ist. Dabei ist stets

m^s, m <r,
wenn ^

ist. Wir dürfen nun voraussetzen, dass

m>0
ist. Denn für m — 0 wird (5) zu

Coi/i + c02 f2 H h c0r/*r = 0;

es ist dann also wegen (4)

C0l9>l + C02^2 H r- Cor^Pr = 0,

C01^1 + C02 #2 H r- COr^r - 0.

Da nun nicht alle c0/* Null sind, dürfen wir c0/=|=0 voraussetzen,
wo y eine der Zahlen 1, 2, ... r bedeutet. Substituirt man jetzt

0, = Xß + coyx'Y {ß -1, 2, . . . y - 1, r + h • • • Oi

so wird ^ f

9? = o:19?1H Yxryr— x[<Pi-\ My-i9V-i + ä7 + i9>r + H H^r

Reduktion einer Formenschaar nach Kronecker. 97

der Klammerausdruck ist aber Null, also fehlt in <p die Yariabele xY;
Analoges gilt für #. Man kann also bei m = 0 durch eine lineare
Substitution mit von X1 1 X2 unabhängigen Koefficienten die Schaar
Xx(p + X2ifj so transformiren , dass eine Yariabele ^weniger auftritt.
Wir können und wollen aber voraussetzen, dass die Schaar Xx(p + X%ty
keiner anderen äquivalent sei, in welcher weniger als r Yariabele x{
oder s Variabele yi auftreten.

54. Die m + 1 Ausdrücke Ca sind linear unabhängig in dem
Sinne, dass keine Relation

(7) aQCQ+aiCl + ---+amCm = Q

existiren kann, in der die Koefficienten a0, alf . . . am von X unabhängige
Konstante wären. Angenommen, es gäbe eine Relation (7), in der die
Koefficienten aa nicht von X abhingen; alsdann kann man, da

a0Xm + a^-1 + • • • + am
in X nicht identisch Null ist, für (5) auch

(8) (a0Xm + M"""1 + • • • + am)(C0X° + CXX + • • • -f CmXm) - 0
schreiben. Rechnet man aber das hier links stehende Produkt aus,
so wird wegen (7) der Koefficient von Xm Null, und (8) daher von
der Gestalt

(9) fl9lW +■■■ +fr9r(X) + l' + 'K^l) + • • • + frhr (1)1 - 0,

wo die gi(X), hi(X) ganze Funktionen höchstens (m — l)ten Grades von
X bedeuten, die nicht alle identisch Null sind. Setzt man jetzt in (9)

so geht die Summe der r ersten Glieder in einen Ausdruck über, der
nur Potenzen von X enthält, die <J m sind , der übrige Theil von (9)
aber in einen solchen, der in X von höherem als mten Grade ist. Die
so erhaltene Gleichung gilt aber für jedes X7 also ist jeder der eben
beschriebenen Theile für sich Null. Es gäbe unter der gemachten
Voraussetzung also eine Gleichung

fi9t(.l) + -~ + fMX)-0

von niederem als mten Grade, entgegen unserer oben gemachten An-
nahme.

Da nun die Ca im angegebenen Sinne unabhängig sind, so bilden
die Koefficienten cap ein System

£|1 £(2 • • • ulr

Cml Cm2 • • • Cmr

Muth, Elementartheiler.

98 § 8> 54-

von r . (m + 1) Elementen, in welchem nicht alle Subdeterminanten
Cm + l)ten Grades Null sind. Wir können daher Koefficienten cpp so
hinzufügen, dass ein quadratisches System entsteht, dessen Determinante

ld.,1 (a-0,l,...r-l;/l-l,2,...r)

nicht Null ist. Durch die lineare Substitution

^ , /» — 0.1,....r — 1\

*-2*>» ( j. V2..r >

deren Koefficienten von A unabhängig sind, mögen nun f, y und ^ in
Formen übergehen, die wir bez. mit f\ <p' und $ bezeichnen wollen.
Setzen wir noch

f>=X, rf~j& ♦J-g- (<-0,l,...r-l),

so wird, da

f'-^jcn x\ . /i + ; - • +^r^ • /, (i - 0, 1, . . . r - 1)

ist

(10) fi-CnA-r-' + drfr,

mithin wegen (6) und (5)

oder

^(^:-o^=o («=o,i,2,...W)

bei jedem 2. Daher ist

< = °, <=°> ♦i-Voi ^-^»•••♦i^i-r

Aus diesen Gleichungen folgt unmittelbar, da

ist, ,a Wa "

(11) fi-Wl, fl-^-^V'f^-^m'

Diese Gleichungen lehren, dass zwischen den m linearen Formen

i}j[) ti>'2 tym keine linearen Relationen bestehen. Denn aus einer

solchen Relation würde wegen (11) eine Relation zwischen den fiff{, . . .fm
resultiren, deren Koefficienten in X vom (m - l)ten Grade wären, was
wiederum wegen (10) (vergl. auch die Bemerkung S. 95 — 96) eine Re-
lation zwischen den flt fif...fr zur Folge hätte, die in X von einem
Grade <; m — 1 wäre, gegen die Voraussetzung.

Wir können daher eine weitere lineare Substitution ausführen,
indem wir durch die 5 Gleichungen

Reduktion einer Formenschaar nach Kronecker. 99

% = 1pa = <Pa-l, tym+1 = ffm + l, ■ • • $s = ^(^ = 1, • • • »»)

an Stelle der yk neue Variabele \)h(k = 1, 2, . . . s) treten lassen. Durch
diese Substitution geht die Schaar

W+ W = 2*(W + h^i)Xi (t - 0, 1, . J . r- 1)

in eine andere von der Gestalt

a = m k = s p = r — 1

über; diese Schaar endlich wird durch die Substitution

£o — Xo ~\~ ~/,apiXP) _

T /« - 1, 2, . . . » \

fa = #a -J- ^> OpaXpf >

£p — ^J>

in

(12) flf =^0i £«-i + *s S«) 9« + *i J>V 9« + 1» <D + X2 Y

a=l « = 2

übergeführt, wo u2y u3, . . . wOT lineare Funktionen von Jm+i? £m+2, ■ • •
£r_i und O und V bilineare Formen der Veränderlichen

^? t), /i? = m + l,...r-l\
bedeuten. ' ' ' '

55. Der Rang des Koefficientensystems der zu reducirenden Schaar
sei JR; wir wollen nun die Grundformen q> und ty so gewählt denken,
dass der grösste gemeinschaftliche Theiler aller Subdeterminanten Eten
Grades des Systems von \Xx(p -\- X2xp\ den linearen Theiler X2 nicht
enthält (37). Alsdann bringen wir die Schaar in die Gestalt (12). Da-
selbst ist

(13) ^0 + VF

eine Schaar, in welcher r — m — 1 Variabele r^ und s — m Variabele
t)q auftreten. Ist nun t der Rang des Koefficientensystems dieser
Schaar (13), so behaupten wir, dass nicht alle Subdeterminanten
Tten Grades dieses Systems durch X2 theilbar sind, oder anders aus-
gedrückt, dass der grösste gemeinschaftliche Theiler aller Subdeter-
minanten zUn Grades dieses Systems den linearen Theiler X2 nicht ent-
hält. Denken wir uns nämlich zunächst einmal die Determinante der
Schaar S vollständig aufgeschrieben, so ist also, r^>s vorausgesetzt*,

* Die -T- — . — sind wirklich aus (12) zu berechnen und dann, wie nach-
stehend angegeben, anzuordnen.

100

§ 8, 55 — 56.

8

d2S

d*S

dl*ct)x

dir-idt)x

c*S

0 •
0 •

d*S

0
0

0
0

bei r = s fallen die letzten Nullreihen weg.

Der Rang desjenigen Systems <Slf welches aus den m ersten Zeilen
des Systems © von \S\ besteht, ist m; der Rang desjenigen Systems
©2, welches aus den letzten r — m Zeilen von © besteht, werde mit
m' bezeichnet; dann ist w'= t. Nicht alle Subdeterminanten (m-f-m')ten
Grades von © sind* Null, aber alle Subdeterminanten höheren Grades;
denn sie enthalten mehr als fri Zeilen aus ©2, verschwinden also, wenn
man sie nach den Subdeterminanten ihrer aus @2 stammenden Zeilen
entwickelt; m + m' ist daher der Rang von © oder es ist

m + m'= R.
Wie wir eben sahen, ist eine Subdeterminante (m + m')ten Grades von
(5 Null, wenn sie mehr als m! Zeilen aus ©2 enthält; jede nicht ver-
schwindende Subdeterminante (m + m')ten Grades von S enthält also
genau m' Zeilen aus <S2, ist somit eine lineare Form gewisser Sub-
determinanten mHen Grades von @„ oder wie auch gesagt werden
kann, gewisser Subdeterminanten m'ten Grades des Systems von
|A10 + A2ll/|. Wären nun alle Subdeterminanten m'ten Grades des
letzteren Systems durch A2 theilbar, so gälte daher das Gleiche von
den Subdeterminanten (m + m') = Ren Grades von ©, und somit auch
von denjenigen des Systems von \X±(p + X2^\ (39), gegen die Voraus-
setzung. Da nun m'= % ist, so ist damit unsere Behauptung voll-
ständig bewiesen.

56. Der erste Theil ß=m

von S hat bereits die Gestalt

(14) fr + CfXjVtt + VW;

dieses erkennt man, wenn man in (14)

| ce = 0, FJfiw-t-O, e^-l-i»,
(15)

setzt (vergl. 52, Schluss).

r<?)

Y(<° — r

-^-x, m fco?

, = 9« («-1,2,...»)

* Der Zusatz „identisch" ist wohl selbstverständlich.

Reduktion einer Formenschaar nach Kronecker. 101

Verschwindet nun die Determinante des letzten Theiles

von S nicht identisch, so kann diese Schaar auf die Gestalt

gebracht werden; denn nach dem in 55 Gezeigten verschwindet dann
die Determinante i ^ 0 _l ^ \\r l

vow ^O + AgY »»&%£ /wr A2 — 0, also ist |<t>|=|=0, und man kann
nach Weierstrass die Schaar AX(J> + ^2^ au^ die angegebene Gestalt
bringen (46, 52). Bei den hierzu erforderlichen Transformationen bleibt
der erste Theil von S ungeändert, der zweite

a=~m
a = 2

wird in einen analog gebauten Ausdruck übergeführt, d. h. in einen
solchen, der von den Variabelen der zweiten Reihe nur t)2, t)3, . . . t)m
und von den Variabelen der ersten Reihe nur solche enthält, die nicht
im ersten Theile von S auftreten.

Verschwindet aber die Determinante der Schaar Ax0 -f ^Y identisch,
so wenden wir auf diese Schaar sofort das in 53 und 54 beschriebene
Verfahren an. Berücksichtigt man nun, dass die Zahl der Veränder-
lichen beider Reihen im letzten Theile der nach einander zu behandelnden
Schaaren Xt(p + A2i^, Ax0 + ^^ u. s.w., immer kleiner wird, hält man
ferner fest, dass der grösste gemeinschaftliche Theiler der Determinanten
ö-ten Grades des Koefficientensystems einer solchen Restschaar vom
Range co für /l2 = 0 nicht Null ist (55), so ist vorläufig dargethan,
dass sich unsere Schaar A,'qp + l2ty in eine äquivalente überführen lässt,
die sich von der in 52 beschriebenen Schaar (3) im Baue nur durch
Glieder von der Form des zweiten Theiles in S unterscheidet. Wir
wollen nur die Möglichkeit der successiven Wegschaffung dieser letzteren
Glieder ohne die Gestalt der übrigen zu ändern für die Bestschaar
AjO + AgV als beiviesen annehmen oder anders gesagt, wir wollen
voraussetzen, dass es zu AjO + A2M/ eine äquivalente reducirte Schaar
von der am Schlüsse von 52 beschriebenen Art giebt. Bei den hierzu
nothwendigen Transformationen gehen die Veränderlichen £p in gewisse
Veränderliche X% über, und u2, u3, . . . um werden lineare Funktionen
dieser Veränderlichen X}& allein. Angenommen nämlich, es bliebe
in den Formen ua noch eine Variabele $p zurück, so bilde man die
m + 1 Ableitungen der Schaar nach £1? £2, &, . . . £n> &; diese sind
lineare Formen der t)19 tfe, . . . t)m} durch Elimination derselben erhält
man zwischen den m + 1 Ableitungen eine lineare Relation, die in

102 §8,56-57.

A == r1 höchstens (m — l)ten Grades ist, gegen die in 53 gemachte
Annahme.

Lassen wir nun in (15) die Indices % und q weg, so verwandelt
sich unsere Schaar 8 vermöge (15) und der vorbeschriebenen Trans-
formationen in

(16) A^0 + X2 Y° + h^F« Y« + ^[(*i + V<?) «* + *t TO

oc = 1 x, £

wo 0°= x1re_2 + x2re_3 + ... + X-xTo,

y°= x0re_2 + x, re_3 + ••• + xe_2r0

zu setzen ist, die O?, li?) in 52 definirt sind und Flf F2,...Fe-.2
lineare Formen der Yariabelen X% sind (für m = r — 1 fallen die
beiden letzten Summen in (16) sofort weg). Der erste Theil

A^ + AjY0
von (16) hat die Gestalt (14), und zwar ist hier cQ und dasjenige Y, dessen
zweiter unterer Index ejf— 1 ist, Null zu setzen [vergl. (15)]. Derartige
Schaaren werden im Allgemeinen auch im letzten Theile von (16)
noch auftreten; daher wurden der Unterscheidung wegen die Indices
% und q in ^0°+ A2Y0 weggelassen. Ferner können im letzten Theile
von (16) noch Schaaren (14) auftreten, in denen cQ und dasjenige X,
dessen zweiter unterer Index e^—1 ist, gleich Null zu setzen ist. Endlich
ist e — 1 = m.

57. Wir wollen nun zeigen, wie der mittlere Theil

^FaYa (a = 2,...e-2)

von (16) durch weitere Transformationen weggeschafft werden kann?
ohne dass die Gestalt der Schaar im Uebrigen geändert wird. Damit
ist zugleich die Zulässiglceit der vorhin gemachten Voraussetzung nach-
gewiesen.

Wenn Fa das Glied Z)«X!# enthält und X(x^ eine derjenigen
Yariabelen ist, welche in dem mit Ax multiplizirten Theile von (16)
vorkommen, so fällt bei der Substitution

X* -& + 2>.(<^ + Zj?,-i) (fc-e-«-2),

IS8 - 822 - Dtt Ya (y - ef - f* - 1)

eben jenes Glied D«^ in Fa weg, im Uebrigen aber bleibt die Form
der Schaar erhalten, nur dass für a < e — 2

Fa + i-\- C^CaX^yH- L/aXX)/u_l

an die Stelle von Fa+1 tritt. Auf diese Weise sind also nach einander
aus F17 F2, . . . Fe-2 die sämmtlichen Glieder DaX^ (a = 1 e — 2)

Reduktion einer Formenschaar nach Kronecker. 103

wegzuschaffen, und es können dann nur solche Variabele X^l darin
zurückbleiben, welche ausschliesslich in dem mit X2 multiplizirten
Theile von (16) auftreten, d. h. nur Variabele X£l9 für welche cQ = 0,
Yxfe^li = 0 ist. Wir denken uns in (16) die eben beschriebenen Sub-
stitutionen wirklich ausgeführt; die so erhaltene Schaar hat also dann
wieder die Gestalt (16), nur dass jetzt in

]?FaYa (« = l,2,...e-2)

nur die zuletzt ausgeführten Variabelen X$l auftreten. Aber auch zur
Beseitigung jeder einzelnen dieser Variabelen X^l ist ebendasselbe Trans-
formationsverfahren zu gebrauchen, welches wir eben zur Wegschaffung
der XJjji angewandt haben. Wenn nämlich Xzl in Fa mit dem Ko-
effizienten Da versehen vorkommt, so wird durch die Substitution

/8 - 0, 1, ... «5 d -y = e- a — l\

V = l,2,...a; (i + v-e^-l )

das Glied DaX^l in Wegfall gebracht. Dabei dürfen natürlich die
mit v bezeichneten hinteren Indices nicht kleiner als Null werden.
Nun ist ft höchstens gleich «, also ist

\i <^ e — 2;

mithin ist der kleinste Werth von v

$-l-e + 2-$-e + l.
Der Index v ist also grösser als die Differenz

#- e;
diese Differenz ist aber, wie wir sofort beweisen werden, stets positiv.
Wir bezeichnen die Schaar (16) mit 8 und bilden die Ableitungen
von S nach den Veränderlichen

Xlf . . ., Xm= Xe_i, Xxo, • • •> X* S*L i;

das sind

,<?) _ o _ 1 _l M

m + eT = e — l + e\
Ableitungen; sie sind abhängig von den Variabelen

das siDd . - 1 + e?>- 1 - e + #_ 2

Variabele. Daher entsteht zwischen diesen Ableitungen durch Eli-
mination der Veränderlichen F eine lineare Relation, die durch Ent-
wickelung der Determinante in der Gleichung

104 § 8, 57

cS

dXx
cS

dX2

0 0 0 0 x2 xx o o

0 0 0^^ 00 0

cS

dXm—i

cS

dXm

dS

h

K

o . .

. 0

0

K

0

0 .

. . 0

0

0 Dt . . . . Dm-i 0 ... 0 0 A2

ds
8J2$>

0 0 0 0 ... 0 X2 X,

SS

dS

erhalten wird. Es wird

0 0 X2 X1 0 .... 0

0 0 X, 0 0 .... 0

17)

wo der erste Klammerausdruck in Ax | A2 vom Grade m — 1 ist. Nun
ist doch m = e — 1 ; wäre daher

so wäre

und somit besässen wir in (17), wenn wir durch

(?)

rechts und links dividiren, eine Relation zwischen den Ableitungen
der Schaar nach den Variabelen der ersten Reihe, welche in X1 1 12
nur vom Grade m — 1 wäre, gegen die Voraussetzung (53).

Damit ist nun die in 52 aufgestellte Behauptung , dass sich eine
jede singulare Schaar von bilinearen Formen durch lineare Substitution
auf die daselbst näher beschriebene Form (3) bringen lasse > vollständig
bewiesen.

Reduktion einer Formensckaar nach Kronecker. 105

58. Nun seien cp und 1> zwei ganz beliebige bilineare Formen von
r Variabelen x> und s Variabelen yif ferner sei |^9>+ A2^| = 0 und
der Rang des Systems dieser Determinante r. Alsdann bestimmen wir
die Konstanten g\h, g'\h' so, dass die Formen

9 — 9<P + hty, W — g'<p + h!il>
die Eigenschaft haben, dass der grösste gemeinschaftliche Theiler aller
Subdeterminanten Tten Grades des Systems von 1^9?+ X2^\ nicht Null
wird für X2 = 0 (37, 55); dabei wählen wir

gh'-g'h-l.
Dann kann man aber nach den Entwickelungen in 52—57

g<p + ht -^}*$\ ff ff + h'i, -^jWy + *&)

setzen, wo die XSp(YJ$) unabhängige lineare Formen der Xifyk) be-
deuten. Hieraus aber folgt, wenn wir

setzen, sodass *'~ hc9 - aQ> W ~ 9 ~ h

gaQ+hbQ=*l

wird' v-^M?-*^ t-JjwV+g^.

X,Q X,Q

Wir können also durch lineare Substitutionen die gegebene singulare
Schaar Xtg> + l2ty in eine Schaar

(18) X^ia^f-hVf) + 1.2MP+ ^)

transformiren, wo die <b$\ W^ die in 52 angegebene Bedeutung haben,
und für ein gewisses q diejenigen XSj£ oder T*??, deren zweiter unterer
Index gleich es?'— 1 ist, sowie das zugehörige fy in a? -und &? Null zu
setzen sind; es ist ferner g aQ -\- hbQ = 1.

Die Schaar (18) ist zerlegbar. Diejenigen Theile, deren Deter-
minanten nicht identisch Null sind, sind irreducibel (48). Aber auch
die Theile von der Gestalt

(19) lt (hl 0° - h ¥°) + X2 (- g' 0° + gV°)

[vergl. (16)] sind irreducibele Schaaren. Denn der Rang des Koeffi-
cientensystems der Schaar (19) ist

e — 1 = m;

die Anzahl der Variabelen X, die in (19) auftreten, gleich m + 1;
dann sind bekanntlich die Ableitungen von (19) nach den X durch
eine lineare Relation verbunden. ET besitzt das Koefficientensystem
von (19) keine. Wäre nun (19) einer zerlegbaren Schaar S° = S® + S$
äquivalent, so müssten deren Theile Sf, S% beide singulär sein, da

106 §8,58-59.

sonst das System von S° mindestens einen ET besässe, was nicht der
Fall ist; es gäbe daher mindestens zwei unabhängige lineare Relationen
zwischen den Ableitungen von S° und daher auch zwischen denen
von (19) (S. 95 — 96). Die Schaar (18) ist also eine reducirte.

Die lineare Relation, durch welche die Ableitungen von (19) nach
den X verknüpft sind, ist in Xt \ X2 genau vom mten Grade; da aber die
Anzahl der X gleich m + 1 ist, so kann daher die Schaar (19) in eine
äquivalente von der Gestalt ^0°+ VF0 (56, Schluss) übergeführt werden;
die hierzu nöthigen Transformationen lassen die übrigen Theile der
Schaar (18) ungeändert. Fassen wir das erlangte Resultat zusammen!

Eine singulare Schaar von bilinearen Formen kann in eine äqui-
valente reducirte Schaar von der Gestalt (18) übergeführt werden, wo
die O^, YÜP die in 52 angegebene Bedeutung haben, und woselbst für
ein gewisses o die X% oder YJ$, deren zweiter unterer Index e^ — 1
ist, sowie bQ und h gleich Null, g und aQ = l zu setzen sind*

Nachdem wir so die Krön eck er 'sehe Reduktion einer Singular en
Schaar ausgeführt haben, müssen wir uns mit der reducirten Schaar
selbst genauer befassen.

59. Die reducirte Schaar (18) besteht aus elementaren Schaaren
von zweierlei Art; die Schaaren erster Art sind von gleichvielen Variabelen
X und Y abhängig; die elementaren Schaaren zweiter Art hingegen
haben eine Variabele der einen Reihe mehr, als Variabelen der anderen
Reihe, zerfallen also wieder in zwei Äbtheilungen; in die erste (zweite)
Abtheilung rechnen wir die Theilschaaren, die eine Variabele X (Y)
mehr haben, als Variabele Y (X). Bezeichnet man die Anzahl der
Variabelen X in diesen drei Fällen bez. mit e, e, e — 1, so ist die
Anzahl der Variabelen Y bez. e, e — 1, e. Die Gesammtzahl der
Variabelen X und Y ist in den drei Fällen bez. 2e, 2e-l, 2c — 1.

a) Für eine Theilschaar erster Art

(20) K (aQ<t>® - h¥f) + A2 (bQ^ + g^])

ist die Determinante gleich „(e)

(?) —

± (c^i + bQx2y* = ± (Vi + M2)2 1

wenn wir die Gesammtzahl ihrer Variabelen mit n?5 bezeichnen; sie

e(Q)

hat einen ET (aQX1 + bQA2) x.

b) Die Determinante einer Schaar zweiter Art ist identisch Null;
eine Schaar der ersten Abteilung ist von der Gestalt

* Wenn im Folgenden von der reducirten Schaar (18) gesprochen wird, so
meinen wir stets die Schaar von der hier beschriebenen Gestalt.

Reduktion einer Formenschaar nach Kronecker. 107

wo durch die übergesetzten Null angedeutet ist, dass hier c? = 0, u. s. w.
gesetzt worden ist. Bezeichnen wir die Gesammtzahl der Yariabelen
in (21) mit n°, so ist w? - 2e° - 1.

Die Ableitungen von (21) nach den XJ^ sind durch eine lineare Relation
verknüpft, die in Xl | A2 genau vom Grade e2 — 1 ist; bezeichnen wir
diesen Grad kurz mit mx, so ist

(22) n% = 2mx + 1.

Analoges gilt für die Schaaren zweiter Äbtheüung; dieselben sind
von der Gestalt

(23) X^X^YS.+^X^Y^r-i G* + ^ = e°-l, v=l,2,...ij-l),

wo durch den horizontalen Strich über den X°Xfly u. s. w. angedeutet
ist, dass wir es mit einer Theilschaar der zweiten Abtheilung zu thun
haben. Hier sind die Ableitungen nach den Yxv durch eine lineare
Relation verbunden, die in AL | A2 genau vom Grade

.. . ., mj-ij-l

ist; ierner ist

(24) n\ = 2mx + 1,

wo ~n% die Gesammtzahl der Yariabelen in (23) bedeutet.

Das Koefficientensystem von (21), ebenso das von (23), besitzt
keine JElementartheiler. Ferner ist e\ > 1, eS > 1.

Die elementaren Schaaren erster Art sind durch die Zahl der in ihnen
auftretenden Variabelen n^ = 2e^ und die Konstanten aQy bQ, g, h
bestimmt; die Schaaren der zweiten Art hingegen sind durch die Zahl
der in ihnen auftretenden Variabelen n% bez. ~n% allein vollständig be-
stimmt, in Folge der Gleichungen (22) und (24) aber auch durch
die Zahlen mx bez. mx.

60. Die Bedeutung der Konstanten g\h für die Schaar ^tp -f l^>
ist bekannt (37, 55); auch diejenige der Konstanten aQl bQ und der

Zahlen ejr = jr* ist leicht anzugeben. Jede Theilschaar (20) besitzt
nämlich den einen ET / 5 , ■, , Jjfi

derselbe ist nach dem Theoreme VII in 38 auch ein ET des Koefficienten-
systems von (18) und mithin auch des von Xxq> + A2tf;. Da die
Koefficientensysteme der Theilschaaren zweiter Art keine ET besitzen,
so treten eben nach Theorem VII genau soviel Theilschaaren erster
Art in (18) auf, als das Koefficientensystem von A^-j- A2ip ET besitzt.
Jedem Elementartheiler , „ , „ A$

(a^ + Ms)
des letzteren Systems entspricht also eine Tlieilschaar (20) erster Art.

Dadurch ist die Bedeutung der aQ, bQ> eSf} für unsere Schaar vollständig

108 § 8, 60.

dargelegt. Bezeichnet man die ET des Systems von Xx<p-\- X2ip in irgend
einer Reihenfolge mit

(alX1 + &i A2>, (aa ^ + b2 A2)% . . . (a,A1 + ^Ajv,
so kann man, wie in 44, den aus elementaren Schaaren erster Art be-
stehenden Theil von (18) kürzer gleich

(25)A1(2'a0(x0rfl),-fe2'(x,r„X-1)+A2(2'6a(x„ra),(,+^(x„r(,x_1)

tf-l,2,...j>

setzen; dabei sind die a0 \ba so zu bestimmen, dass gaa + hba = 1 ist.
(58, 47.)

Somit bleibt uns nur noch die Aufgabe, die Bedeutung der Zahlen
fix bez. m%, ex und nx bez. m„, ex aufzudecken.

Es seien 9 und # zwei bilineare Formen von je 2n Yariabelen
X1 . . . xnf y1 . . . yn\ durch Verschwinden von Koefficienten kann es
möglich sein, dass die Anzahl beider Reihen von Yeränderlichen ver-
schieden ist, dann ist natürlich | Axqp + A2^> | = 0; aber auch im Falle
wirklich gleichviel x{ und yt in Xx<p + Agt[; auftreten, wollen wir
| K*P + K^ I — ö voraussetzen. Der Rang des Koefficientensystems der
Schaar Ax cp -f A2 ^ sei r. Alsdann bestehen zwischen den n Ableitungen
von X1q) + A2^> nach den xiy ebenso nach den yif genau n — t un-
abhängige lineare Relationen, deren Koefficienten homogene Funktionen
von A, | A2 sind. Wir denken uns nun diese n — t Relationen beide-
mal so gewählt, dass sie in den Xx | A2 von möglichst niederem Grade
sind; wir bezeichnen diese Gradzahlen bez. mit

Mlf M2, . . . Mn-t,

(26) \Mly Ms,...Mn.

und nennen sie die zur singulären Schaar gehörigen Minimalgrad-
zahlen. Jede zur Schaar Ax (p -f- A2 if> äquivalente Schaar besitzt die-
selben Minimalgradzahlen, wie X±(p -f A^, wie man mittelst des auf
S. 95 — 96 Bemerkten höchst einfach beweist. Diese Zahlen kann man
daher als numerische Invarianten der Schaar X1 q> -f Xtfl> (des JFormen-
paares cp, ip) bezeichnen. Die Zahlen Miy ebenso die Zahlen M{ seien
in (26) nach wachsender Grösse geordnet. Sind nun die q ersten Mt
und die a ersten Mi Null, so können wir die Schaar zunächst in
eine äquivalente überführen, in welch' letzterer nur noch n — q — r
Veränderliche der ersten Reihe und nur noch n — 0 = s Variabele
der zweiten Reihe auftreten (53). Diese Schaar verwandeln wir dann
auf die oben beschriebene Weise in eine reducirte Schaar von der
Gestalt (18) (vergl. 54 — 59). Als zur gegebenen Schaar A^-f A,#
äquivalent, besitzt sie dieselben Minimalgradzahlen, wie jene Schaar.

Reduktion einer Formenschaar nach Kronecker. 109

Das Nullsein der q ersten Mt und der 6 ersten Mt dokumentirt sich
in der reducirten Schaar dadurch, dass dieselbe nur noch von r
Variabelen X und s Variabelen Y abhängt. Die übrigen Gradzahlen
Mi und Mi sind grösser als Null.

Nun sei Tt eine Theilschaar (21) zweiter Art erster Abtheilung,
T eine Theilschaar (20) erster Art. Dann sind die Ableitungen von
Tx nach den in Tt auftretenden e® Variabelen X durch eine lineare
Gleichung G = 0 verknüpft, die in X1 | X2 vom Grade e° — 1 = mx ist.
Die Ableitungen der Schaar T1Jr T nach den in ihr auftretenden X
sind durch dieselbe Gleichung G = 0 verknüpft. Denn in Tt-{- T
treten e° + ^ Variabele X auf. Der Rang des Koefficientensystems
von Tt + T ist e°x — 1 + ef (22, Satz d), also sind die Ableitungen
von Tx Ar T nach den X in der That durch eine lineare Relation ver-
bunden, nämlich durch die Relation G = 0. Analog zeigt man: Ist
Tt eine Schaar erster, T2 eine Schaar zweiter Abtheilung der zweiten
Art, sind die Ableitungen von Tt nach den X durch eine Gleichung
G = 0 verknüpft, so sind die Ableitungen von Tt -f T2 nach den X
durch die einzige Relation G = 0 verbunden. Endlich: Sind Tt + B±
zwei Theilschaaren zweiter Art erster Abtheilung, sind die Ableitungen
von T± (jR-l) nach den X durch die lineare Relation G± = 0 (6r2 — 0)
verbunden, so sind die Ableitungen von T± -f R± nach den X durch
zwei Relationen, nämlich durch

G1 = 0) G2 - 0
verbunden. Alle diese Relationen sind unter sich nicht linear abhängig.
Aehnliches gilt für die Ableitungen nach den Y.

Hieraus schliesst man, dass in (18) so viele Theilschaaren zweiter
Art auftreten, als es von Null verschiedene Zahlen Mi bez. Mi giebt,
und zwar n — x — q = qx Theilschaaren von der ersten Abtheilung und
n — x — ö = <51 Theilschaaren zweiter Abtheilung. Diese liefern gerade
q± lineare unabhängige Relationen zwischen den Ableitungen von (18)
nach den X und 6± unabhängige lineare Relationen zwischen den Ab-
leitungen von (18) nach den Y. Diese Relationen sind in X1 1 X2 bez.

vom Grade o ' , . _ N

m* = ex — 1 (« = 1,2,... &),

m =el — 1 (x — 1,2, ... 6t).

Durch lineare Verknüpfung der q± ersten oder der <51 zweiten Re-
lationen kann aber kein neues System von gt bez. a± unabhängigen
Relationen gefunden werden, die in Xx | X2 von niederem Grade wären,
als vom Grade m1 , . . . mQl bez. mx , . . . m0l ; daher sind die Zahlen mx
und Ihy. nichts anderes als die von Null verschiedenen Minimalgradzahlen
Mi und Mij d. h. es ist bei passender Bezeichnung

110 § 8, 60-61.

MQ + 1 — mQ+lf . . . ilfn_t = mfl_r,

Ma + i — w»a+i, . . . Jfn_T = mB_f.
Damit ist denn, da ja

(27) (*.-<-!,

I wx = 2^*4- 1,

ist, die Bedeutung der in (18) auftretenden Zahlen mx, mx u. s. w. voll-
ständig dargelegt.

Wir schreiben jetzt für alle Mi bez. Mi wieder mt bez. ra,-. Es ist
vortheilhaft , auch für x — 1, 2, . . . p bez. % = 1, 2, . . . tf dwrc/i

w* — e* — 1 ,
wx — 2mx + 1

^ = 2mx + 1, w2 = 2w* + 1

Zahlen n°x und nl einzuführen. Nicht nur die m,, m*, sondern auch
die nx, n~x (x — 1, 2, . . . n — r) sind Invarianten der Formenschaar
^i9> + ^2^ (^es Formenpaares <p, f). Da Kronecker im Wesent-
lichen mit diesen letzeren Invarianten arbeitet, so wollen wir sie
als die Kronecker'schen Invarianten der Schaar (des Paares)
bezeichnen. Das Auftreten einer Kronecker'schen Invariante 1 be-
sagt, dass die Anzahl der Variabelen der einen Reihe durch lineare
Substitution um Eins vermindert werden kann.

61. Wir wollen nun annehmen, dass für zwei Schaaren

Xi<p 4- x24>, x^' + x^'

bilinearer Formen von je 2n Veränderlichen xh yk die Minimalgradzahlen
und die ET der Koefficientensysteme übereinstimmen. Diese sind
dann von gleichem Range % und der grösste gemeinschaftliche Theiler
aller Subdeterminanten rten Grades aus beiden Systemen ist derselbe.
Man kann daher bei der Reduktion dieser Schaaren den Konstanten
g j h beidemal dieselben Werthe beilegen, dann wird die reducirte
Form (18) von Xtq> -f- X2tp identisch mit der reducirten Form (18) von
Xlq>'-\- X2ip' (60). Die Schaaren X±(p -f X2tp und X-^tp1 -\- X2xl>' sind also zu
einer und derselben dritten Schaar (18) äquivalent, mithin sind die
beiden Schaaren unter sich äquivalent. Es gilt also das Theorem
von Kronecker:

X Stimmen für zwei singulare Formenschaaren, die von
je n Variabelenpaaren abhängen, die Minimalgrad-
zahlen und die Elementartheiler der Koefficienten-
systeme überein, so sind sie äquivalent, und um-
gekehrt.*

* Auf rationalem Wege kann man daher über die Aequivalenz zweier sin-
gulären Schaaren entscheiden; die Substitutionen, welche eine singulare Schaar
in eine äquivalente überführen, sind rational bestimmbar (39).

Reduktion einer Formenschaar nach Kronecker. Hl

Nachdem wir dieses Resultat aus unseren Entwicklungen gezogen
haben , müssen wir uns etwas eingehender mit den Zahlen mx> e£\ ex
u. s. w. beschäftigen. Zunächst sei bemerkt, dass nach (27) die
Kronecker'schen Invarianten nX} nx stets ungerade Zahlen sind. Ferner
ergiebt sich aus dem in 59 und 60 Erörterten für die zu einer Schaar
y^cp -f A2i/>, die von 2n Veränderlichen abhängt, gehörigen Zahlen
w* , n%, nx die Gleichung

2n -^nj +^nS +^n,

,«-1,2,.

. . n -

~r\

0-1,2,.

. . n -

- 1

ly-1,2,.

•P

i

wenn wir die früheren Bezeichnungen beibehalten und in nf den jetzt

unnöthigen Index q (S. 108) weglassen. Da ny=2eY ist, 50 sind die

Zahlen nr gerade Zahlen.

Wir wollen die Theilschaaren (21), (23) und (25) bez. mit TS,

T%, Ta bezeichnen. Besitzt eine singulare Schaar X^y -f l^ty bilinearer

Formen von 2n Variabelen die Minimalgradzahlen

m17 m2, . . . mh mly m2, . . . mt

und das Koefficientensystem derselben die ET

(aal1 + M2> (<* — 1, 2, . . .p),
und wir setzen

(28) mx — ßj — 1, mx = ~ex-l,

so kann man nach dem Vorhergehenden Xx(p -\- X2ip in die Schaar

transformiren, wo in B bei e% = 1, e$= 1,

zu nehmen ist. Dabei ist, wenn wir noch

(29) w2-2*»*-fl, wj«2wx + l, nx=2ex

setzen,

(30) wJ + wlM h w?4- wj+ *8 + b«?+fli-r- n* H h^=2w;

die m2, Ä$ sind ungerade, die nx gerade Zahlen.

Man denke sich nun umgekehrt für ein gegebenes n die Gleich-
ung (30) in positiven, ungeraden* Zahlen nx, nx und in positiven
geraden Zahlen nx gelöst; dabei müssen die Zahlen nx und h~x in
gleicher Zahl auftreten und dürfen nicht fehlen, während die Zahlen nx
nicht unbedingt in einer Lösung aufzutreten brauchen. Ist dann durch

die Zahlen o o -o -o

m, . . . < w?, . . . n?, nly . . np

* Von Null verschiedenen.

112 §8,61.

eine solche Lösung der Gleichung (30) gegeben, und man berechnet
aus dicsm Zahlen durch die Gleichungen (29) neue Zahlen
m1} m2, . . . mh mly m2, . . . mh ely e2, . . . ßp,
setzt ferner für ein vorstehendes mx> mK

ni* — e% — 1 , m~x = eS — 1
und wählt alsdann für die Zahlen ej, S, eK in .ß &se Zahlen

60 p0 /j0 "öO pO ~p0 p p p

setzt für ein e£- 1, Ta°= 0, für ein e£= 1, 2>°= 0, wählt ferner in E
die Konstanten aff, &a, g, h willkürlich, aber so, dass

gaa+hbo^O (tf — 1, 2, . . .p)

ist, dann besitzt die Schaar B die Minimalgradzahlen

mn m2} . . . ?»,, m17 m2, . . . miy
und das Koefficientensystem von R besitzt die ET
(aoli+ho^y* (<? = 1,2, ...p).
Dies geht unmittelbar aus 60 hervor.

Wir wollen dieses Resultat folgendermassen kurz als Theorem
aussprechen:

XL Man kann für ein gegebenes n singulare bilineare
Formenschaaren, die von 2n Variabelen abhängen,
bilden*, welche vorgeschriebene Minimalgradzahlen
haben, und deren Koefficientensysteme vorgeschrie-
bene Elementartheiler besitzen.
Sind die Zahlen mx, mx nicht alle grösser als Null, so treten in
der, wie eben angegeben, zu bildenden Schaar nicht wirklich 2n
Variabele auf; die Schaar kann ferner nur aus Theilschaaren erster
Art bestehen, sodass ihr Koefficientensystem gar keine ET besitzt.

Fasst man eine ordinäre Schaar als eine solche auf, die keine
Minimalgradzahlen besitzt, lässt ferner in den Theoremen X und XI
das Wort „singulär" weg, so gelten diese Tlieoreme X und XI für
Formenschaaren jeder Art (vergl. Theorem VIII und IX). Es herrscht
also zwischen den Entwickelungen von Weierstrass und Kronecker
vollkommene Einheitlichkeit. Dieselbe tritt auch im folgenden Satze
hervor:

Die Kroneck er' sehen und Weierstrass7 sehen Invarianten einer
zerlegbaren Scliaar sind diejenigen ihrer Theile zusammengenommen.

* Oder, wie man auch sagen kann, welche vorgeschriebene Kronecker'sche
Invarianten haben.

Reduktion einer Formenschaar nach Kronecker. H3

Für die Weierstrass 'sehen Invarianten ist der Satz bewiesen
(Theorem VII in 38), für die Kroneck er 'sehen beweist man ihn so:
Sei die Schaar S in die Theile Sl und S2 zerlegbar , seien ru r2, r bez.
die Rangzahlen von \St\, \S2\9 \S\ und für

T 1 X-i , Mt> / o Tg , M

mlf m2y... mtl, m^+i, . . . m^+u* m\i m2> • • ■ m*
die Minimalgradzahlen der ersten Reihe für die Schaaren Slf S2, S, die
von nlf n2j n Variabelen Xi abhängen mögen. Zunächst erkennt man,
dass wegen r = rx-\- r2 (22, d) und n = nx + n2

ist. Nach Kro necker giebt es ferner Substitutionen, die 81} S2, S
bez. in

S,= T1°+T02+-.- + T?+K + L = B1 + B2

überführen (S. 111, vergl. auch 32). Sind nun a Zahlen mlf . . . mtl9
b Zahlen *»rx+i, . . . mt Null, so hängt die Schaar S' nur von n — (a-\- b)
Variabelen der ersten Reihe ab, d. h. a + b der Zahlen ml sind Null.
Jede Theilschaar T® (mx > 0) aber von S' liefert eine Relation myten
Grades zwischen den Ableitungen von S' nach den Variabelen der
ersten Reihe. Zwischen diesen bestehen also xt + r2 = x unabhängige
Relationen, die bez. vom Grade mly m2, . . . mt sind. Durch lineare
Verbindung dieser Relationen kann aber kein neues System von x un-
abhängigen Relationen geschaffen werden, die von niedrigerem als vom
Grade ml9 m2, . . . mt in Xx \ X2 wären; daher müssen die Zahlen m\ und
mi übereinstimmen. Analoges gilt für die Gradzahlen der zweiten
Reihe, womit unser Satz bewiesen ist.

Man erkennt schliesslich, dass eine singulare Sehaar dann und nur
dann irreducibel ist, wenn sie ein einziges Kronecker 'sches Invarianten-
paar M°, M?— 1, ihr System aber keinen ET besitzt.

62. Auf Grund des Theorems XI Jdassificiren wir die singulären
Formenschaaren, die von gleichvielen Variabelenpaaren abhängen, unter
Zugrundelegung unbeschränkter linearer Transformationen für die
Variabelen beider Reihen genau so, wie dies bei den ordinären
Schaaren auf Grund des Theorems IX in 49 ausgeführt wurde.

Gehören zu einer singulären Schaar AXA + A2B von bilinearen
Formen, die von n Variabelenpaaren abhängen, etwa die unter (29)
angegebenen Zahlen m«, m$ u. s. w., so sagen wir, die Schaar X1 A + A2 B
(das Formenpaar A, B) besitze die Charakteristik

Mutli, Elementartheiler. 8

114 § 8» 62-

(31) [{< < . . . *?; i?, aj, . . . *?} (%, ...)... (n„, ...).-.(. • ,♦*)] ,*
wobei die runden Klammern solche Zahlen na einschliessen, deren zu-
gehörige Zahlen ea = ^ Exponenten von ETn gleicher Basis sind.

Zu allen von 2wVariabelen abhängigen singulären Formenschaaren
gehört eine endliche Anzahl von Charakteristiken (31), da die Summe
der Zahlen n„, n% ny gleich 2n ist, u.s.w., wie in 29, nur dass jetzt an Stelle
der Gleichung (3) die Gleichung (30), an Stelle von Theorem IX das
Theorem XI tritt. Schliesslich Uassificiren wir wieder, wie in 49, die
von einer gegebenen Anzahl von Variabelenpaaren abhängigen singulären
Schaaren. Sind in der Charakteristik einer Klasse die Zahlen n°a nicht
alle gleich den Zahlen w$, so erhält man dadurch, dass man in ihr
die Zahlen na und n% vertauscht, nicht die Charakteristik einer neuen
Klasse, da es gleichgiltig ist, welche Reihe von Yariabelen man in
einer bilinearen Form als die erste ansehen will. Die Schaaren einer
und derselben Klasse können wegen Theorein X auf eine gewisse
Normalform (kanonische Form) R gebracht werden.** IL s. w.

Die Zahl der Klassen von singulären Formenschaaren, die von
n Variabelenpaaren abhängen, die aber in solche transformirt werden
können, die von weniger Variabelenpaaren abhängen, ist gleich der Zahl
der Klassen von ordinären und singulären Schaaren bilinearer Formen,
die von n — 1 Variabelenpaaren abhängen. Denn stellen die Zahlen

1, <..., 1, nj,...l *! + !*...

ein Lösungssystem der Gleichung (30) vor, welches die S. 111 an-
gegebenen Eigenschaften besitzt, so ist durch die Zahlen

»J, . . ., WJ, n±, n2, . . .
ein geignetes Lösungssystem der Gleichung
(32) 2 (» - 1) - ^n% + 2"«,? + 2""

a ß 7

gegeben. Genügen umgekehrt die Zahlen nj, . . ., w°, . . . Hlf n2,...
der Gleichung (32) und besitzen die S. 111 angegebenen Eigenschaften,
nur dass jetzt auch die Zahlen »°, w|5 fehlen dürfen, in welchem Falle

w. + ^-f ... = 2(n-l),

*i + e2 + ■ • • — n - 1
ist, so stellen die Zahlen 1, < . . ., 1, wj, . . ., niy *, . . . ein passendes
Lösungssystem von (30) vor.

* Treten keine Zahlen na auf, so bleibt die eckige Klammer weg.
** Ist die Charakteristik einer Klasse von der Gestalt (11 ... 1; 1 1 ... l}, so
verschwinden alle ihr angehörigen Schaaren identisch; wir wollen dann sagen,
zur Klasse gehöre die Normalform „0".

Reduktion einer Formenschaar nach Kronecker. 115

Die Normalformen für die Klassen dieser singulären Formen-
schaaren, die von n Variabelenpaaren abhängen, sind identisch mit den
Normalformen für alle Klassen von singulären und ordinären Formen-
schaaren, die von (n — 1) Variabelenpaaren abhängen. Denn zu der
Klasse von Schaaren bilinearer, von n Variabelenpaaren abhängiger
Formen mit der Charakteristik

(33) [{1, 4, ■ . .; 1, tS, . . .}(«., •••)••• (»a, ...)•••(•• •,%)]

gehört dieselbe Normalform, wie zu der Klasse von Schaaren bilinearer,

von n — 1 Variabelenpaaren abhängiger Formen mit der Charakteristik

[« . . .; n% . . .)(»!, ...)••• (na, ...)•••(•• •,%)]
bez., wenn die Zahlen w§, . . . wS, . . . in (33) fehlen, mit der Charakteristik

[<*-*,...).•.<£-*,. ..).'.. (..,?-%)]•
Vergl. 49.

Diese Bemerkungen benützend, wollen wir jetzt für die Fälle
n = 1, 2, 3, 4 die Zahl der Klassen bestimmen und die zu den einzelnen
Klassen gehörigen Normalformen wirklich aufstellen.

Für n = 1 gestattet die Gleichung

2 - m? + • • • + w? 4- • • • + fh -f • • •

nur eine Lösung der in 61 beschriebenen Art, nämlich die Lösung

i4 — 1, 3-1;

es giebt nur eine Klasse mit der Charakteristik

{i,i};

sie umfasst die Schaaren bilinearer Formen von einem Variabelenpaare,
die identisch Null sind.

Für n = 2 hat man für die Gleichung

4 = »J + n% + • • • + w? + 58 + • • ■ + w, + rc2 + • • •
die 3 Lösungen: L *o ö 3, ^ _ 1?

2. »S = 1, 58'— 1, »i = 2,

3. wJ-tö^tg^fS- 1.

Zu der der ersten entsprechenden Klasse mit der Charakteristik

{3,1}
bestimmt sich die Normalform wie folgt; zunächst wird
ml = 1, mt = 0, e\ — 2;

daher ist E = T°lf wo in T?

e? — 1 = 1

zu nehmen ist; man erhält daher als Normalform

8*

116

§8, 62.

Die Normalformen für die Klassen [{1,1)2] und {11,11} sind die-
jenigen für die Klassen [1] und {1,1} von Formenschaaren, die von
einem Variabelenpaare abhängen; die Normalform für die ersteren
wurde in 50 unter a), 1 angegeben, die Schaaren der zweiten sind
identisch Null (siehe oben). U. s.w.

Wir stellen jetzt, wie in 50, die Charakteristiken und Normal-
formen für alle Klassen von Formenpaaren, die eine singulare Schaar
bilinearer Formen von n Yariabelenpaaren bestimmen, für die Fülle
n — 1, 2, 3, 4 zusammen, wobei wir für X, Y bez. x, y schreiben.

Klassen der singulären Paare bilinearer Formen
von 2wVariabelen bei unbeschränkter linearer Trans-
formation der Variabelen im Falle
a) n — 1.

1.(1,1;

1.(3,1

2. [{i,T,} 2]

3. {11,11}

1. {5,1}

2. {3.3}

A y% ,
x% y%.

b) n = 2.

Die Normalformen sind identisch mit denjenigen für

die Klassen von Formenpaaren, die von je einem

Variabelenpaare abhängen (vergl. 50 a), 1, 62 a), 1).

c) n — 3.

x°uy0ii + x°i2y%,
: x%y0u + Ay%>

x°n ylo + a1x10 i/10,
3-[{3'l)2]:Ä2/?o+&^io2/io.

4. {31, 11}

5. [{1,1} 22]

6. [{1,1} (22)]

7. [{1,1} 4]

8.[{n,ü^2]

9. {in, m}

Die Normalformen sind identisch mit denjenigen
für die Klassen von Formenpaaren, die von je zwei
Variabelenpaaren abhängen, und zwar stimmen die
Normalformen für die linksstehenden Klassen 4 bis
9 der Reihe nach mit denjenigen für die Klassen
mit den Charakteristiken {3,1}, [11], [(ll)], [{1,1)2],
(ll. 11} überein.

* Ueber die Charakterisirung dieses Falles durch rationale In- und Kovarianten
zweier ternären bilinearen Formen vergl. Muth, Ueber ternäre bilineare Formen,
Math. Ann. (92) Bd. 42, Art. 8.

Reduktion einer Forrnenschaar nach Kronecker. ;Q7

d) n = 4.

1- {7,1}

2.(5,3}

3. {33,11}

4. [{5,1} 2]

5. [{3, 3} 2]

6. [{3,1} 22]

»11 2/io + A y%,
x% 2/10 + A 2/20.

7. [{3,1} (22)].

_ #11 2/11 + £12 2/10 + «1^10 2/io >
' «io 2/ii + «11 2/io + Mio2/io-

«11 2/io + *io 2/11 + «1 «10 2/io >

«11 2/io + iio 2/Jo + h «io2/io-
i «11 2/10 4- at x10 2/10 + <h ^20 2/20 5
*4o 2/io + &! ^io2/io + h ^202/20-
t «11 2/io + % Oio2/io + ^202/20);
' A 2/io + ^1 («102/10 + ^20 2/20)-

8 r(3 ni •*?l2/?0 + ai^lo2/n + XllVl^ ~ hx™yw

'A4 + \ («102/n + *n2/io) + #*io2/io-
5. {61, n}, 6. {31,31}, 7. [{31, n} 2], 8. [{1,1)222], 9. [{1,1} (22) 2],

10.[{l,I}(222)], ll.[{l,l}42], 12. [{1,1} (42)], 13. [{l, 1} 6.], 14. {311, Tu},

15. [{n,H}22], 16. [{ii, TT} (22)], 17. [{ii, TT} 4], 18. [{m, TTT} 2],
19. {1111, im}-

Die Normalforcnen für diese letzten 15 Klassen sind identisch
mit denjenigen für die Klassen von Formenpaaren, die von je drei
Veränderlichenpaaren abhängen, und zwar stimmen die Normalformen
für die Klassen 5—19 der Reihe nach mit denjenigen für die Klassen
mit den Charakteristiken {5,1}, {3,3} u. s.w. überein.

Aus 50 und 62 ergiebt sich, dass in den Fällen w = l, 2, 3, 4
bez. 2, 6, 15, 33 Klassen von Schaaren bilinearer Formen auftreten.

Die Theoreme von Weierstrass und Kronecker finden zahl-
reiche Anwendungen in den Untersuchungen über specielle Formen-
schaaren, auf welche wir in den folgenden Paragraphen eingehen; wir
gelangen durch dieselben zu einer Reihe neuer Fundamentalsätze
über ET.

118 §9'63-

§ 9. Symmetrische und alteraireiide Formen.
I.

63. Es sei
wobei

A =^aikXiXk (t, Je — 1, 2, . . . n),

0'ik= <*>ki,

eine quadratische Form von n Variabelen xly. . .xn, deren Koefficienten
die in 10 für die aik angegebene Beschaffenheit haben mögen. Die
Determinante der Form A bezeichnen wir mit \A\; das System von
\A\ ist ein symmetrisches. Die Begriffe „ordinäre", „singulare11, „zer-
legbare quadratische Form" definiren wir, wie bei den bilinearen Formen
in 10 und 22. Sind die aik lineare Formen zweier Veränderlichen
Xx | A2, so stellt A — A^-f ^2^2

eine Schaar quadratischer Formen vor (3, Schluss). Die Begriffe
„Aequivdlenz zweier Schaar en" (Paare), „elementare Schaar", „reducirte
Schaar" definiren wir, wie es bei Schaaren bilinearer Formen geschah
(25, 39), nur dass jetzt an Stelle der Substitutionen für die Variabelen
beider Reihen eine einzige lineare Substitution

(1) Xi= CCUX[ + CC2iX!2 + CCniXn

für die xlf x2, . . . xn tritt. Ist die Schaar A eine singulare, so sind die
Ableitungen von A nach Xu x2,...xn durch n-x unabhängige lineare
Relationen verbunden, wenn % den Rang des Systems von \A\ be-
zeichnet. Wählt man diese Relationen so, dass sie in Ax | A2 von
möglichst niederem Grade mly m2, . . . mn-t sind, so heissen mv
m2, . . . mn-t die zur Schaar A gehörenden Minimalgradzahlen.

Dies vorausgeschickt sei nunmehr XXA + i2B eine Schaar
quadratischer Formen von n Variabelen, und zwar sei

A-2*«™> *-2V^ L*_1,2,...h).

aik = akij hk = bki J

Dann setzen wir, unter ylf y2, . . . yn Variabele verstehend,
l (dA , dA , , , dA \ p

1 (dB . dB . . dB \ p

Die symmetrischen bilinearen Formen Fa und Fb (vergl.ll) heissen
die Polarformen von A bez. B*. Für xL - ty (• - 1, 2, . . . n) geht
Fa inA, Fb in jB, also die Schaar ^P. + ^Pi von symmetrischen

* Ist Pa=^aikxiyk eine symmetrische Form, so ist Pa die Polarform von
A = 2aax.xk.

Symmetrische und alternirende Formen. 119

bilinearen, in die Schaar X1A + X2B von quadratischen Formen über;
denn es ist

Ta =^aikXiyk) Pb =^?bikXitjk (i, Je — 1, 2, . . . »).

Es ist ferner

(2) \X1A + X2B\ = \X1Pa + X2Pb\.

Durch die Substitution (1) mit nicht verschwindender Determinante

^± «u «22 ' ' ' <*nn= A

gehe nun A in A, B in B über. Setzen wir noch

A =^?alkxlx'k, B -^blkX-xlc (t, fc -= 1, 2, . . . n)
und

(3) iji = auy[ + «2*2/2 H r- «»»2/i (ß — 1? 2, . . . w),

so geht bekanntlich durch die congruenten Transformationen (1) und (3)
(vergl. 13) Pa in R .^^ ( • » _ !, 2, . . . *),

Pß-^bUxhß (t, 3b -1, 2,...n),
also die Schaar

m die schaar

über. Auch das Umgekehrte ist richtig: Geht durch die congruenten
Transformationen (1) und (3) Pa in Pay so geht durch (1) A in A
über, u. s. w. Nach 11 ist

|a»P« + *,P/»I - A • i^p. + A2P4j • A,

also wegen (2)

lAiA + A.Bl-A^IM + A.BI.

Ueber die Aequivalenz von Schaaren quadratischer Formen gilt
der Satz:

14) Sind zwei ordinäre (singulare) Schaaren quadratischer Formen
von je n Variabelen äquivalent, so stimmen die Elementartheiler ihrer
Determinanten (ihrer Koefficientensysteme und ihre Minimalgradzahlen)
überein.

Denn sind die Schaaren XxA-\-X2B und A1A + A2B äquivalent, so
sind es auch die Schaaren Xx Pa + X2Pb und XxPa + X2P^ also stimmen die
ET der Determinanten \X1Pa + X2Pb\ und \XtPa + X%Pß\ bez. die ET
der Systeme dieser Determinanten überein (39, Satz 12); wegen (2)
gilt aber das Gleiche für die Schaaren X1 A + X2B, A1A + A2B. Sind
mly m2, . . . mt die zur (singulären) Schaar Xt A + X2B gehörigen
Minimalgradzahlen, so gehören zur Schaar X1 Pa + X2 Pb die Minimal-
gradzahlen m^ m2},_mt.Wi1,m2,...mt,
wo bei passender Bezeichnung

120 § 9, 63-64.

m, = röx (* = l, 2, . . . 0
ist. Denn es ist

1 gq^ + ^P) _d(l1Pa + XiPb) /■ , 9 ^

2 " a« ~" ä^ lf = *> * • • • **

95 = 7* (t = l,2,...n);

die zu Ax P« -f A2 P6 äquivalente Schaar lx Pa + A2 Pß besitzt ebenfalls
die Minimalgradzalilen m,, . . ., Wj, . . . (w; = w<) nach Theorem X.
Daraus folgt aber, dass die Schaar AXA + A2B die Minimalgradzahlen
fWj, m2, . . . mf besitzt, w. z. b. w.

Wir wollen im Folgenden zunächst zeigen, dass die Ueberein-
stimmung der ET nicht nur die nothwendige, sondern auch die hin-
reichende Bedingung für die Aequivalenz zweier ordinärer Schaaren
quadratischer Formen ist.

64. Um dieses zu beweisen, bedürfen wir folgenden Hilfssatzes:
Sind die Koefficienten einer symmetrischen bilinearen Form

A — JPoik x-i yt (i, &-— 1, 2, . . . *)

ganze Zahlen oder ganze Funktionen einer oder mehrerer Veränderlichen,
so kann man A durch eine Reihe von congruenten Elementar-
transformationen in eine Form

A = J^Vjfc xlyl 0', h - 1, 2, . . . n)

so transformiren, dass die Subdeterminanten

A? = *S}± a'na!>2 . . . a'Qq (p — 1, 2, . . . r)

des Systems von | A | sämmüich regulär in Bezug auf einen Prim-
theiler p werden, wenn r den Rang von | A | bedeutet/5-'

Zum Beweise brauchen wir die Resultate des Artikels 7. Zunächst
kann man nach dem dort Gezeigten durch congruente Elementar-
transformationen 2ter Art (vergl. 27, b) die Form A in eine solche
transformiren, für welche die in 7 mit Aqj B^, Cq bezeichneten Sub-
determinanten ihres Koefficientensystems die daselbst unter 6) an-
gegebenen Eigenschaften besitzen. Bezeichnen wir diese Form wieder

mit A=/>alkxiyk und führen wir A durch die congruenten Elementar-
transformationen 3ter Art (27, c)

%l === #i y %2 === #2 ? * * * *^Q === ^Q y ^Q + 1 = ^Q + 1 ^Q) %Q-\-2 == %Q-\-2) • • • %n = %ny

yi—y[, jfi — sfii-'-y^— yi, ty+i — stf+i — ty> ^+2 = ^+2, •• -yn-yn

in eine Form

Frobenius, S. B. 1894, S. 37.

2>Ä

Symmetrische uüd alternirende Formen. 121

kvly'k (*', k = 1, 2, . . . n)

über, so geht die Determinante [ A | aus der Determinante | A | dadurch

hervor, dass man in | A | die (q + l)te Zeile von der Qten Zeile und

dann die (g + l)te Spalte von der Qten Spalte (oder umgekehrt) abzieht

(27). Alsdann wird aber

A1 = ^1, A2==^2, . . . A?_i = ^_i, A«+1 — Aq+1, hn = Än
und

(4) AQ=AQ_2BQ + CQ,

wenn A? u. s. w. für A bedeutet, was AQ u. s. w. für A. Dies ergiebt
sich einfach so, dass man AQ zweimal in je zwei Determinanten zer-
legt. Enthält nun der grösste gemeinschaftliche Theiler aller Sub-
determinanten pten Grades von \A\ den Primtheiler p zur Potenz ly dann
steckt p in BQ genau zur Potenz ly in AQ und CQ zu einer höheren;
daher steckt p wegen (4) in AQ genau zur Potenz Z; d. h. A? ist eine
reguläre Subdeterminante von | A |. In | A | sind sonach die sämmtlichen
Determinanten A1? A2> • • • Ap; \ + i regulär. Durch weitere Anwendung
von solchen einfachen congruenten Transformationen bringt man es
schliesslich zu einer Form A, für welche die bei A mit Aly . . . Ar be-
zeichneten Subdeterminanten alle regulär in Bezug auf^p werden, w.z.b. w.

Machen wir noch durch congruente Reihenvertauschungen in | A |
das erste Diagonalelement zum letzten, das zweite zum vorletzen u. s. w.,
so ergiebt sich , falls speciell A von der Gestalt

XA — B,
wo A und B symmetrische bilineare, von X unabhängige Formen vor-
stellen, und r = n ist, dass man durch congruente Transformationen mit
ganzzahligen Substitutionskoefftcienten XA — B so umformen ~kann, dass
in der Determinante der neuen Form die S. 70 für \ XA — B \ mit
S'} S'J S[n . . . $(n— *■) bezeichneten Subdeterminanten sämmtlich regulär
werden in Bezug auf einen bestimmten LinearfaMor von \XA — B\.

65. Wir wenden nun die Weierstrass'sche Reduktion in § 6 auf
eine Sehaar symmetrischer bilinearer Formen an. Alsdann wird in 40
C = X A — B eine symmetrische Form und wir können daher nach
64 diese Form durch congruente, von X unabhängige Substitutionen so
transformiren, dass in der Determinante der neuen Form die bei
\XA — B | mit S\ S'J . . . #("— x) bezeichneten Subdeterminanten in Be-
zug auf den Faktor (X — c) von \XA — B\ alle regulär sind. Diese
Form bezeichnen wir wieder mit XA — B* sie ist ebenfalls symmetrisch
(S. 29), so dass jetzt in § 6

Si k — Sk i , $»• t — Ski
wird, was zur Folge hat, dass in den Gleichungen (7) und (8) X^
und ZW dieselben Funktionen der u( bez. vi werden; dasselbe gilt von

122 § 9' 65-

XXfl und Yx/l in 42 und, da nun die Substitutionen (19) und (20) in
43 beide congruente Transformationen sind, auch von XX/U und Yyfl in
43, wobei besonders zu beachten ist, dass die X%fl und Yxv in (23)
von l unabhängig sind, da das Gleiche von den congruenten Trans-
formationen (19) und (20) gilt (64). Daher werden endlich in 45
Xatl und Ya/l dieselben Funktionen der x{ bez. y<; die Substitutionen (32)
sowohl als (36) sind congruente Substitutionen, wenn Xaf, und Ya/l als
zusammengehörige Yariabele aus den beiden Reihen von Variabelen
Xafl und Yar (44, Schluss) aufgefasst werden. Es können daher durch
congruente Transformationen A und B bez. in A und B in (36), und,
wenn A und B beliebige symmetrische bilineare Formen sind, A und
B in A und B in (45) transformirt werden, vorausgesetzt, dass

\liA + X%B\^ 0 ist.

Nun sei XXA + X2B irgend eine ordinäre Schaar von quadratischen

Formen, ferner seien

(a„ h + ba X2)ea (p - 1, 2, . . . m)
die sämmtlichen ET ihrer Determinante; alsdann hat die Determinante
der Schaar von symmetrischen bilinearen Formen A1Pa+A2P6 (Be-
zeichnung wie in 63) dieselben ET; daher können durch congruente
Transformationen Pa und Pb auf die Form (45) in § 6 gebracht werden.
Indem wir x{ = yh Xa^ = T„„ setzen (63), erhalten wir somit den Satz*:
15) Sind A und B zwei quadratische Formen von je n Vanabelen
Xl,...xn, ist die Determinante \ k^A + A, B | =|= 0, und sind

(aa K + ba A2)% (tf = 1, 2, . . . m)
ihre sämmtlichen ElementartJieiler, so Jcann man durch eine lineare
Substitution die Formen A und B gleichzeitig bez. in

A ~^?a„ (XaXa)ea - h^?(XaXo)ea-l,

(5) B - ^ (X*X^ +9^XaXa)t^1**

transformiren, wo g\h beliebig, aber so zu wählen sind, dass

ist, und die Verhältnissgrössen aa \ ba so zu bestimmen sind, dass

aag + b0li = 1
Dabei hängen die Xafi mit dem «, nach (32) in § 6 durch lineare
Gleichungen von der Form

(6) Xop - -±= (Cla/* *t + Ctop x% + • - • + Cna/l xn)
VCo

* Weierstrass, BM 1868, S. 332 — 334 (Ges. W. Bd. II, S. 39-41).
** Für gtf-1, ist (XaXa)ea-i gleich Null zu setzen; dies ist im Folgd.
stets zu beachten.

Symmetrische und alternirende Formen. 123

zusammen, wo Ca und die Cqafl (q = 1, 2, . . . n) ganze Funktionen von
a0j ba und den Koeffwienten der Formen A und B bedeuten.

Stimmen nun für zwei ordinäre Schaaren von quadratischen Formen
die ET ihrer Determinanten überein, so sind beide Schaaren einer und
derselben dritten Schaar (6) äquivalent; daher sind sie unter sich
äquivalent. Also ist die am Schlüsse von 63 ausgesprochene Behauptung
bewiesen, und es gilt somit das Theorem:*

XII. Zwei ordinäre Schaaren quadratischer Formen von
n Variabelen sind dann und nur dann äquivalent, wenn
die Elementartheiler ihrer Determinanten über-
einstimmen.

66. Die Schaar AXA -M2B in 48 (vergl. Theorem IX) besitzt, wie
wir eben gesehen haben, symmetrische Grundformen; die ET ihrer
Determinante sind

(o^+M,)* (0-1,2,... m),

wenn wir die aa\b0, ea so wählen, wie in Theorem IX angegeben
wurde. Lassen wir nun in X1 A + Ä2 B

werden, so geht diese Schaar in eine Schaar von quadratischen Formen
über, welche dieselbe Determinante hat, wie XtA + X2B (63); die
Determinante dieser Schaar von quadratischen Formen hat also die ET

(aaX1 + M2> (0 — 1, 2, ... m).
Also gilt das Theorem**
XIII. Wählt man in

A -^(U^-^U^i,

die positiven ganzen Zahlen e1} . . . em und die Kon-
stanten g\h7 aa\ba beliebig aber so, dass bei ge-
gebenem n

eL + e2+ f- em=n,

gaa + hba"\« 0

ist, so besitzt die Schaar ^A + AgB quadratischer Formen
von n Variabelen X0fl die Elementartheiler

(aaX1 + M2> (0 — 1, 2, ... m).

* Weierstrass, 1. c. (vergl. auch G-undelfinger in Hesse's Raum-
geometrie, Leipzig (76), Suppl. IV).

** Weierstrass, B M 1868, S. 335 (G. W. Bd. II, S. 41).

124 § ^ 66-

Die Schaar ^A + AgB ist zerlegbar, ihre Theile sind irreducibel
(48, Schluss), sie ist eine reducirte Schaar von quadratischen Formen.

Hervorgehoben werde noch, dass allgemein eine ordinäre Schaar
quadratiscJier Formen eine elementare ist, wenn ihre Determinante einen
einzigen ET besitzt. (Vergl. die eben citirte Stelle.)

Aus den Theoremen XII und XIII folgert man den Satz (51):

Damit sich zwei quadratische Formen A und B von je n Variabelen
durch dieselbe lineare Substitution auf die Gestalt

A = a,Xl + a2X\ + • • • + anX2n,

B - &i X? + \ X| + . • . + bn XI

bringen lassen, wo aa\b0 (<* — 1, 2 . . . n) nicht gleichzeitig Null sind,

ist nothivcndig und hinreichend, dass die Determinante \ X± A + X2 B | =|= 0

ist und nur lineare Mementartheiler besitzt*

Wir definiren jetzt den Begriff „Charakteristik einer ordi-
nären Schaar von quadratischen Formen" so, wie für ordinäre
Schaaren bilinearer Formen in 49, und Massificiren die Schaaren (Paare)
quadratischer Formen, die von einer gegebenen Anzahl Variabelen ab-
hängen, bei unbeschränkter Transformation der Variabelen genau so,
wie es a. a. 0. geschah. Zu jeder Klasse von Formenschaaren gehört
eine gewisse Normalform, auf welche alle Formenschaaren derselben
gebracht werden können. Für die Fälle n = 1, 2, 3, 4 ist die Zahl der
Klassen aus 50 bekannt, man erhält die zu den einzelnen Klassen
gehörigen Normalformen, indem man daselbst xafl — y0fi setzt. Man hat
daher folgendes Schema:

Klassen der ordinären Paare quadratischer Formen

von n Variabelen bei unbeschränkter Transformation

der Variabelen im Falle

a) n — 1.

a1x10,
L [1]: & X*

b) n - 2.
a1x1()Jr ^2^20?

°l X10 i °2 X20'

^1(^10+ ^20)

a1 [x10 + #2o/>

^i(^io+ ^w*

2, b^x^x^ « 9xw

* Weierstrass, BM 1868, S. 335 — 336 (Ges. W. Bd. II, S. 41—42).

Symmetrische und alternirende Formen. 125

c) n = 3.

^1^10 T ^2^20 ' "3 ^80*

2. [l(ll)]: Normalform, wie c) 1, aber a1 = a2) \ = b2.

3. [(lll)]: „ „ c) 1, aber ^=02 = ^3,

bt = b2 = &s.
. ■ i^^io^u + tt2^20— /i^10,

5. [(21)] : . Normalform, wie vorstehend, aber a± = a2, b1= b2.

U. s. w .*

67. Sind zwei ordinäre symmetrische Formenschaaren X1 A + A2 Z?,
^A-f^B äquivalent, so stimmen die ET ihrer Determinanten über-
ein (Theorem VIII), und sie sind daher stets auch congruent in dem
Sinne, dass die eine in die andere durch congruente von Xt \ X2 un-
abhängige Substitutionen übergeführt werden kann (65). Dieses wichtige
Ergebniss der Untersuchungen von Weierstrass gilt aber auch, wie
Kronecker** gezeigt hat, für singulare symmetrische Formenschaaren,
d. h., sind zwei solche Schaaren äquivalent, also die Bedingungen des
Theorems X erfüllt, dann sind sie auch im angegebenen Sinne con-
gruent. Dass die für die Aequivalenz im weiteren Sinne nothwendigen
Bedingungen auch für diese engere Art der Aequivalenz zweier ordinären
oder singulären Schaaren von symmetrischen bilinearen Formen not-
wendig sind, ist ja selbstverständlich, „dass sie aber auch hinreichend
sind, ist von vornherein nicht zu erwarten und ist", wie Frobenius
mit Recht bemerkt,*** „eines der interessantesten Ergebnisse jener Unter-
suchungen von Weierstrass und Kronecker". Den inneren Grund
dieser Erscheinung hat Frobenius aufgedeckt in seiner für die con-
gruenten Transformationen fundamentalen Arbeit: Ueber die cogredienten
Transformationen der bilinearen Formen.f Indem wir nachstehend
seine ebenso einfachen, als eleganten Ausführungen wiedergeben, er-
langen wir zugleich das Mittel, die langwierigen und ermüdenden

* Killing, Der Flächenbüschel II. 0., Inaug.-Diss., Berlin 1872. Die Normal-
formen für den Fall w = 4 findet man auch bei Gundelfinger, Hesse's
Raumgeometrie , 3. Aufl. (76) Suppl. IV.

** SB 1890, S. 1375 flg.; 1891, S. 9 flg. und S. 33 flg.
*** S B 1896, S. 8.
f S B 1896, S. 7 flg.

126 § 9> 67-

Kronecker'schen Entwickelungen* vollständig zu umgehen; wir be-
dienen uns dabei der in § 2 gebrachten symbolischen Rechnung mit

Formen.

Die symmetrische bilineare Form von 2n Variabelen A gehe durch
die Substitutionen P, Q in die symmetrische Form B über; es sei
also symbolisch (11)

(7) B = PAQ.

Bildet man hier rechts und links die conjugirten Formen, so kommt (11, 5)

B - Q'AP1,
da B1 = B, A'= A vorausgesetzt wurde. Es ist also

PAQ-Q'AP\

WOraUS (#-*l)A-A(P>Q->)

folgt (12).

Setzen wir nun

Q'-ip=U, P'Q-'^U',

so haben wir die Gleichungen

UA - AU1,

TPA - {ÜA)Ü'- (AU')U'=AU",
allgemein also, wenn Tc eine ganze, positive Zahl,

UkA = AU'k;
daraus folgt, dass für eine beliebige ganze Funktion %{TJ) von Z7(ll, 4)
(8) %(JT)A-A%(JT)

ist. Wir wollen die Form %(U) so gewählt denken, dass

lz(P)IH-o

ist. Dann folgt aus (8)
so dass wegen (7)
oder, wenn wir

setzen? B - *UB

wird. Damit nun S und 12 congruente Substitutionen seien, haben

sie die Bedingung S = B' zu erfüllen (13), d.h. es muss

* Nicht nur die a. zuletzt c. 0., sondern auch diejenigen in BM 1874,
S. 397 - 447 (Gr. W. Bd. I , S. 424 - 453). Vergl. § 10.

Symmetrische und alternirende Formen. 227

als0 p=Q'z(uy, q<-ip = x{uy=u,

x(U)=yw

sein (19). Denken wir umgekehrt unter den Quadratwurzeln aus U*
eine bestimmte ausgewählt und bezeichnen diese ganze Funktion von U
vorübergehend mit V. Unter den Wurzeln von Ur ist dann sicher
eine, die gleich V1 ist (19), so dass wir, wenn wir unter yjj1 gerade
diese ganze Funktion von U' verstehen,

oder i

F'=(P'$-i)2

setzen dürfen. Dann wird aber für B = V Q oder

B = (P!Q-yQ,

(9) B'AB = Q'VAV'Q.

Nun gilt aber die Gleichung (8) für jede ganze Funktion von
U, insbesondere also auch für Vf d.h. es ist

VA^AV1-,
dadurch geht (9) in

B'AB^Q'AV'Q^Q'AÜ'Q

über, da Vt2 — U' ist. Daher wird

B'AB = Q'AP'Q-1Q = Q'AP'=B,

B^B'AR;

nun ist aber | B\ - j T\ • | Q\ = ± | TT |» -| Q\ nach Gleich. (35) in 20

oder es ist t x

\B\-±\B?-\Q\i-±V\P\-\Q\ZO,
d. h.

16) Kann man eine symmetrische Form A in eine ebensolche Form B
durch irgend zwei Substitutionen P, Q, deren Moduln nicht Null sind,
transformiren, dann kann man stets auch congruente Substitutionen R', R
mit nicht verschwindenden Determinanten angeben, welche A in B über-
führen.

Das Interessante dabei ist, dass R von den Substitutionen P und
Q allein abhängt, nicht aber von A oder B. Sind daher A19 A2, A5, . . .
mehrere symmetrische Formen derart, dass

Es ist | *7| = | Q'-i\ • |P|=i^i = -|^-J- weder Null noch unendlich.

I V I I VI

128 §8,67—68.

PAXQ, PA2Q, PAtQ,...
ebenfalls symmetrische Formen sind, so ist

PA1Q = R'A1R, PA2Q = R'A2R, PA,Q = R'A3R,. . .
und somit für beliebige Xly X2) X3, . . .

P(X1Al + X2A2 + X3A3 +...)«- B'iX.A, + X2 A2 + A3^3 + . . .) J?.

Insbesondere bat man für Formenschaaren den Satz:

17) Sind zwei Schaaren von sxjmmetrisclicn büineare Formen äqui-
valent, so sind sie stets auch — im oben angegebenen Sinne — congruent.

Damit ist das Weierstrass'sche Resultat auf einem zweiten Wege
und das Kronecker'sche neu hinzu gewonnen.

Um die congruenten Transformationen zu finden, welche eine
ordinäre Schaar X1 A -f- X2 B von symmetrischen bilinearen Formen in
eine äquivalente ebensolche Schaar X1/\ -f- X2B überführen, mussten bei
Weierstrass von vornherein die ET, also Irrationalitäten, eingeführt
werden (§ 6 u. 65). Bei der eben geschilderten Methode von
Frobenius liegt die Sache anders. Man kann nämlich zunächst auf
rationalem Wege aus den Koefficienten der Grundformen der äqui-
valenten Schaaren X1 A -f- X2 B und X1 A -f A2 B Substitutionen P, Q be-
rechnen, welche A in A, B in B überführen (39); aus diesen Sub-
stitutionen werden dann, wie vorstehend beschrieben, congruente Sub-
stitutionen R', R berechnet. Bei der Bestimmung von R muss eine
algebraische Gleichung gelöst werden (18, 19), es sind also auch hier
naturgemäss Irrationalitäten unvermeidlich, aber der besondere Vor-
theil der hier entwickelten Methode besteht darin, dass diese un-
umgänglichen irrationalen Operationen erst am Schlüsse der ganzen
Rechnung auszuführen sind.*

Aus Theorem VIII in Verbindung mit dem Satze 17) folgert man
direkt — ohne eine reducirte Schaar zu Hilfe zu nehmen — das
Theorem XII. (Vergl. den Beweisgang in 65.)

Nunmehr soll der Satz 17 für die singulären Schaaren qua-
dratischer Formen in Anwendung kommen.

68. Wir denken uns nun bei der Reduktion einer singulären
Schaar in § 8 eine symmetrische Schaar X±cp + X24> zu Grunde gelegt.
Der Rang ihrer Determinante sei wieder t. Die n — % Minimalgrad-
zahlen nii stimmen mit den n — % Minimalgradzahlen mt überein (63).
Jeder elementaren Schaar (21) in der reducirten Schaar ist daher eine
elementare Schaar (23) zugeordnet, wenn wir mx = mx, also e\ = e°y.
nehmen. Betrachten wir zwei derart zusammengehörige Theilschaaren

* Frobenius, 1. c. S. 9.

Symmetrische und altemirende Formen. 129

zweiter Art, so haben dieselben, wenn wir den Index a als momentan
überflüssig weglassen, und mx für e° — 1 = ij — 1 schreiben, die Gestalt

Wir betrachten nun die Summe dieser beiden Schaaren; sie ist von
2m-\-l Variabelen X und ebensoviel Variabelen Y abhängig; ihr
Koefficientensystem ist vom Range 2m (22, Satz d, 59) und besitzt
keine ET (Theorem VII, 59). Diese Summe bleibt ferner ungeändert,
wenn man die im Folgenden unter einander stehenden Variabelen

^05 • • • ^£j X%, . . . X?fl>

yo yo yo yo

xo* • • • **•»* x#j • • * x*

vertauscht. Analoges gilt für je zwei andere zusammengehörige
Theilschaaren zweiter Art. Die Theilschaaren (25) erster Art aber
bleiben bez. ungeändert, wenn man Xah und Yafl vertauscht. Es wird
also die reducirte Schaar symmetrisch, wobei X% und T}ß9 XSß und
Y*M Xafi und Yaft bez. als zusammengehörige Variabele zu betrachten
sind. Nach unserem Satze 17) kann man also die singidäre symmetrische
Schaar in ihre reducirte Schaar durch congruente von X1 X2 unabhängige
Substitutionen überführen, deren Moduln nicht Null sind.

Da hier ferner m =miy also n^ = n^ ist (S. 110), so ergiebt sich
wegen na = 2ea die Gleichung (30) als

• . ,

2^?n«+2^?ea = 2n
oder t = 1 a = 1

wo t = n — t.

69. Es sei jetzt eine singulare Schaar quadratischer Formen
XXA + X2B von n Variabelen x17 x2, . . . xn gegeben, r der Rang ihrer
Determinante, n — x = t\ m1} m2, . . . mt seien die Minimalgradzahlen
dieser Schaar und

(aoXi + boXj* (* — 1, 2,...p)

die ET ihres Koefficientensystems. Alsdann besitzt, wenn, wie in 63
Pa die Polarform von A u.s. w., die singulare symmetrische Schaar
1] Pa + X2 Pb von bilinearen Formen die Minimalgradzahlen

mly m2,... mt, Th\, m2f...mt

und ihr Koefficientensystem die eben aufgeführten ET (S. 119— 120); die
Kroneck er 'sehe reducirte Schaar ist dann ebenfalls symmetrisch, und
man kann X1 Pa -f X2 Pö in dieselbe durch congruente Transformationen

Muth, Elementartheiler. q

(11)

130 § 9, 69-

R'} R für die xt bez. y{ überführen, die so beschaffen sind, dass die
XZft, X°x/il) Xaiit bez. dieselben Funktionen der xif wie die Y%, YJ^,
Y0fi der y{ werden (68). Lassen wir jetzt y{ mit x-t (i = 1, 2, . . . n)
zusammenfallen, so stimmt jedes Y mit dem entsprechenden X überein,
Pa geht in A, Pb geht in B und die reducirte Schaar in eine Schaar
von quadratischen Formen der Variabelen X über, die wir mit
AjA + yLjB bezeichnen wollen. Die gegebene Schaar X1 A + A2J5 von
quadratischen Formen kann also durch eine lineare, von A± | A2 unabhängige
Substitution Rf in diese Schaar AxA-f A2B transformirt werden, deren
Gestalt wir uns jetzt näher betrachten wollen.

Lassen wir in der angegebenen Weise die Y mit den X zusammen-
fallen, so erhält man aus einer Theilschaar (20) in 59 eine Schaar
erster Art

Ta - K Q?aff (XaXa)ea - h ^?(XoXo).0-i}

+ a2 (2*. (x»x"k + 9 ^(x„x„X-i) ;

die Konstanten g | 7& sind willkürlich, aber so gewählt, dass der grösste
gemeinschaftliche Theiler aller Subdeterminanten xten Grades von
\XXA + X2B\ nicht Null wird für Xx = g, A2 = h, die Yerhältnissgrössen
aa | 6ff so bestimmt, dass fl^ + &ffÄ = 1
ist.

Die Theilschaaren zweiter Art ziehen sich paarweise zu Schaaren

zweiter Art

4-A2(XxoXx,t«x— lH •4_X.X)mx_iXXo+XxoXX)OTx_i + ' h^x,mz-i-^xo)

oder

(12) Z*-*^2^^***^2^-^^

zusammen (vergl. 68); mx ist grösser als Null.

Fassen wir die seitherigen Ergebnisse kurz zusammen:

Sind mlf nt2, . . . mt die zu einer singulären Schaar X1A-\-X2B von

quadratischen Formen von n Variabelen gehörigen Minimalgradzahlen,

sind ferner («U, + &„*,)'« (« = 1, 2, . . . p)

die sämmtlichen Elementartheiler ihres Koefficientensystems, so kann

man dieselbe in eine äquivalente Schaar

(13) B-^}n+2JT«

x=l a— l

umformen, wo für mx = 0, T° = 0 zu setzen ist, wo ferner die
Konstanten g j /i willkürlich, aber so gewählt sind, dass der grösste

Symmetrische und alternirende Formen. 131

gemeinsame Theiler aller Determinanten (n — t = r)ten Grades des
Koefficientensystems von XXA -\- X2B für

h = 9> h^h
nicht Null wird, und die Verhältnissgrössen aa\ba der Gleichung

aag + bah = l (ö — 1, 2, . . .p)
entsprechend gewählt sind *

Da die Schaar Ax Pa -j- A2 Pb die Minimalgradzahlen
m,,.. . ro,, rä17 . . .m0
wo my. = m),, besitzt und ihr Koefficientensystem dieselben ET, wie
das der Schaar XXA + X2B (63), so besteht nach Gleichung (10) in
68, wenn wir

(14) n% - 2m* + 1 (x - 1, 2, ... *)
setzen, die Gleichung

(15) a$ + ||J + ... + fl?-f.«i + «| + ...+^- ».**

Wir bezeichnen die durch (14) definirten ungeraden Zahlen als die
Kronecker'schenlnvarianten der singulären Schaar von quadratischen
Formen XXA -j- X2B (des Formenpaares A, I?); den Klammerausdruck

[{*?, »»,... M?) («!,... )...(«„,...)]

(vergl. 62) nennen wir die Charakteristik der singulären Schaar qua-
dratischer Formen Xx A + X2 B (des singulären Formenpaares Ay B).
Eine singulare Schaar quadratischer Formen ist dann und nur dann
irredücibel, wenn sie eine einzige Kronecker' sehe Invariante, ihr Koeffi-
cientensystem aber keinen ET besitzt.

Das Auftreten von a Kronecker'schen Invarianten n = 1 besagt,
dass die Schaar B nur von n — a Yariabelen X abhängt; eine Schaar
T% in R hängt von n\ Yariabelen X ab (68), eine Schaar Ta von ea;
hieraus erschliesst man direckt die Richtigkeit der Gleichung (15).

Tritt bei geradem n nur eine Zahl n? auf, so kann diese höchstens
gleich n — 1 sein, und es tritt dann noch ein ET auf; man hat

nl=n -1=2^ + 1,
n — 2

Tritt bei ungeradem n nur eine Zahl nj, auf, so ist diese höchstens
gleich n, in welchem Falle kein ET auftritt; man hat dann

w? = n — 2m1 + 1,

m, = — - —

• Kronecker, SB 1891, S. 34— 35.
** Kronecker, 1. c. S. 41.

9*

132 §9, 69-70.

Eine Theilschaar T% zweiter Art der zerlegbaren Schaar R ist
von 2my. + l Variabelen X abhängig, ihr Rang ist 2mx, also sind die
Ableitungen derselben nach den X durch eine Gleichung verknüpft,
die in Ax | Ag vom Grade m* ist; ET besitzt das Koefficientensystem von
T® Iceine. Dieses entnimmt man unmittelbar aus 59, wenn man vorher
zur Polarform von T° übergeht. Die Schaar T% ist mithin eine
elementare Schaar; das Gleiche gilt von jeder Theilschaar Ta in R
(48, Schluss). Also ist R eine reducirte Schaar von quadratischen
Formen.

70. Stimmen für zwei singulare Schaaren von quadratischen Formen,
die von je n Variabelen abhängen, die Minimalgradzahlen m1} m2f . . . mt
und die ET (aa^ -f baX2)eo (<j = 1, 2, . . . p) ihrer Koefficientensysteme
überein, so sind dieselben zu einer und derselben reducirten Schaar R
äquivalent (69), mithin auch unter sich. Also:

XIV. Zwei von gleichvielen Variabelen abhängige singulare
Schaaren von quadratischen Formen sind dann und
nur dann äquivalent, wenn die Minimalgradzahlen der-
selben und die Elementartheiler ihrer Koefficienten-
systeme übereinstimmen*
Wählt man bei der Bildung einer singulären, von n Variabelen-
paaren abhängigen Schaar, welche vorgeschriebene Invarianten

*S, f&, (aoX^boXj0
besitzt (S. 111 — 112), die Zahlen n% und nl so, dass

also ^~<

(16) w?+ n°2 + • • • + n? + e, + e2 + • • • + ep - n

ivird, so erhält man eine symmetrische Schaar R (68); durch Ueber-

gang von R zu einer Schaar quadratischer Formen (indem man

Xo yo
y.fji -*■ y.fi

u. s. w. werden lässt) erhält man alsdann eine Schaar, welche von
n Variabelen abhängt, singulär ist und die Minimalgradzahlen mlf ... mt
besitzt, deren Koefficientensystem ferner

zu ETn hat. Also:

Man denke sich die Gleichung (16) in positiven, ungeraden
Zahlen n% und in positiven Zahlen eö gelöst; dabei müssen die Zahlen n%
wirklich auftreten, während die Zahlen ea in einer Lösung fehlen
dürfen. Ist dann durch die Zahlen

* Kronecker, SB1891, S.38flg. Die Transformationen , welche eine singulare
Schaar in eine äquivalente überführen, bestimmt man nach 39 und 67.

Symmetrische und altermrende Formen. 133

n19 n2, . . . fity e19 e29 . . . ep
eine solche Lösung der Gleichung (16) gegeben, und man bestimmt
zu diesen Zahlen n% durch die Gleichungen

nj- 2m* + l (k-1,2,...*)
neue Zahlen m19 m29 . . . mtf wählt dann in (13) S. 130 für die mx, ea

diese Zahlen

m19 m2, . . . mt9 e19 e29 . . . eP9

setzt für mx = 0 dabei T£ = 0, wählt ferner die Konstanten g | h9 aa\hG

beliebig, aber so, dass

gaa+hbo^0 (*-i;29...p)

ist, so besitzt diese Schaar (13) quadratischer Formen von n Yariabelen

die Minimalgradzahlen ^ ^ ^

und ihr Koefficientensystem die ET

(poXi + boX*)1* (0 — 1,2, ...p).
Mit anderen Worten:

XV. Man kann bei gegebenem w singulare von w Variabelen
abhängige Schaaren quadratischer Formen bilden,
welche vorgeschriebene Minimalgradzahlen haben und
deren Koefficientensysteme vorgeschriebene Ele-
mentartheiler besitzen.
Auf Grund dieses Theorems Massificirt man die singulären
Schaaren (Paare) quadratischer Formen, die von gleich vielen Variabelen
abhängen, in der wiederholt beschriebenen Weise (49, 62). Was die
Aufstellung der zu den einzelnen Klassen gehörigen Normalformen
anbelangt, so gelten hier analoge Bemerkungen, wie S. 114—115. Für
n = l9 2, 3, 4 können wir die Normalformen direkt aus 62 ent-
nehmen, indem wir die Entstehung der reducirten Schaar R dieses
Paragraphen aus der gleichbenannten in § 8 im Auge behalten. Wir
finden so folgende

Klassen der singulären Paare quadratischer Formen

von n Variabelen bei unbeschränkter Transformation

der Variabelen im Falle

1.

0,
0.

a) n — 1.

b) n - 2.
j r(i}ii (Die Normalformen sind identisch mit denjenigen für
9 , > \ die Formenpaare, die von je einer Variabelen abhängen

• '"M(W,a), 1, 70, a), 1).

134 §9, 70-71.

9^0 ~o c) » ~ 3.

1. (3):

2. [{i}ii]

3. [{ij(ii)]

4. [{1)2]

5. [{ii |i]

6. (in)

10>

Die Normalformen sind identisch mit denjenigen für
die Klassen von Formenpaaren, die von je zwei Variabelen
> abhängen, und zwar stimmen die Normalformen für die
linksstehenden Klassen 2 — 6 der Reihe nach bez. mit
denjenigen für die Klassen mit den Charakteristiken [n],
[{«}L M> [{1}*L f11) überein.

1 l7«Ül"I' H^lO + ^l^lO'

2 #10^10 "H ^1^10*

2.{3i), 3. [{i)in], 4. [{i)(n)i], 5. [{i)(in)], 6. [{1)21], 7. [{i)(2i)],
8. [{1)3], 9. [{ii}u], 10. [{ii) (ii)], 11. [{11)2], 12. [{111)1], 13.{im}.

Die Normalformen dieser letzten 12 Klassen sind identisch mit den-
jenigen für die Klassen von Formenpaaren, die von je drei Variabelen
abhängen, und zwar stimmen dieselben der Reihe nach mit denen für
die Klassen mit den Charakteristiken {3}, [lll], u s.w. überein.

Nachdem wir unter I die Hauptfragen über die Reduktion, Aequi-
valenz und Klassifikation der Schaaren quadratischer Formen dadurch
beantwortet haben, dass wir von Schaaren bilinearer Formen all-
gemeiner Art zu solchen mit symmetrischen Grundformen und dann zu
Schaaren quadratischer Formen übergingen, wollen wir uns nachstehend
mit Formenschaaren beschäftigen, welche entweder eine symmetrische
und eine alternirende oder zwei alternirende Grundformen besitzen.

IL

71. Der Satz 16 in 67 gilt nicht blos für symmetrische, sondern
auch für alternirende Formen. Denn sind daselbst A und B alter-
nirende Formen, so folgt aus der symbolischen Gleichung (7)

B = PAQ
oder -B-V(-A)r>

B=Q'AP',
wie in 67; daher bleiben auch die weiteren Entwickelungen daselbst
für alternirende Formen giltig. — Sind also Au A2, A3J . . . mehrere

* Killing, a. S. 190 u.O.; Clebsch-Lindemann, Vorl. u. Geom. Leipzig (91)
Bd. II S. 236. Der strenge Nachweis für die Vollständigkeit der daselbst auf-
gestellten Paare wird erst durch die citirten Arbeiten Kronecker's in S B 1890
und 1891 erbracht.

Symmetrische und alternirende Formen. 135

theils symmetrische, theils alternirende Formen, und gehen diese
Formen durch dieselben Substitutionen P, Q in Formen PA1 Q, PA% Q,
PA3 Q,.. . über, die ebenfalls symmetrisch bez. alternirend sind, so kann
man Substitutionen R'}R berechnen derart, dass bei beliebigen Werthen
von Xly X2y A3, . . . symbolisch

P(X, Ax + X2 A2 + X3 A3 + . • • ) Q - B! (X, Ax + X2 A + h Az + ■ • • ) B
ist. Insbesondere hat man den Satz über Formenschaaren:

18) Sind zivei äquivalente Formenschaaren Xx A1 -J- X2A2) X1B1-{- X2 B2
beide symmetrisch oder beide alternirend*, oder sind ihnen Ax und B1
symmetrische, A2 und B2 alternirende Formen**, so sind die Schaaren
stets auch — im S. 125 angegebenen Sinne — congruent.

Diesen wichtigen Satz brauchen wir zur Ableitung eines Fundamental-
satzes über congruente Formen in § 10, woselbst auch das nun zu
beweisende Theorem XYII über die ET des Koefficientensystems einer
Schaar XXA -\- X2B bei symmetrischem A und alternirendem B zur
Anwendung gelangt. Der Beweis dieses Theorems XVII stützt sich
auf einen von Stick elberger gefundenen Satz, der an dieser Stelle ge-
geben werden möge. Wir bedienen uns im Folgenden wieder der
symbolischen Rechnung mit Formen (§ 2).
Der Satz von Stickelb erger lautet so:
XVI. Sind A und B zwei bilineare Formen von je 2n

Variabelen xlf . . . xn, yl7 yny ist die Determinante

\XA — B\ nicht identisch Null und X = c eine Wurzel
der Gleichung | XA — B \ — 0, sind ferner

{X-c)*, (A-c)V..
die sämmtlichen zur Basis X — c gehörenden Elementar-
theiler von \XA—B\ nach abnehmender Grösse der
Exponenten geordnet, und man entwickelt (XA — P)_1
nach steigenden Potenzen von X — c, so beginnt die
Entwickelung mit einem Gliede von der Gestalt
(16) H{X - e)~%

wo H eine bilineare Form bedeutet; ist der Rang
von \H\ gleich r, so ist
ex = e2 = • • • — er > er+i ***

* Frobenius, Crelle's Journ. (79) Bd. 86, S. 168; SB 1896, S. 13— 14.
** In diesem Falle kann man Satz 18) auch aus einem Satze von Kronecker
folgern, den wir in § 10 beweisen werden (vergl. daselbst Satz 19).

*** Stickelberger, Crelle's Journ. (79) Bd. 86, S. 20flg., Satz VIII. Obiger
Beweis rührt her von Frobenius, Briefliche Mittheüung vom 21. Juni 1898.

136 § 9, 71.

Beweis. Dass die Entwickelung von (%A — B)-1 mit einem Gliede
von der Gestalt (16) beginnt, ergiebt sieb aus der Definition der ET
und Gleicbung (7) in 5 .* Setzen wir nun

so ist (symbolisch)

C2== x1ys + #22/4 + h %n-2yn,

C3= Wa + ^2/5 H h »n-sy»,

0 = 0.

Der Rang von | (771-1 1 ist gleich Eins.

Es seien jetzt a, b, c . . . ganze positive Zahlen (> 0), sei ferner

a-)-b-\-c + --' = s<1n
und

'^1 = ^12/2+^2^3+ +#a-iya,

02 = rra_|_i2/a + 2+ ^a + 2 2/« + 3+ +Xa + b — iya+b,

^3=a7a + 6 + l2/« + t + 2 + ^a + 6 + 2 2/a + 6 + 3H h #a + 6 + c— 1 2/a + ö + c,

(17)

•^1=^12/1 + ^2^2+ + ^a2/a,

^2= ^a + l2/a + l+ #a + 22/a + 2+ + #a _|- 6 ?/a + 6 ,

-#S=#a + & + l2/a + 6-+l+#a + &-f2 2/a + 6-f-2H h#a-f-& + c2/a + & + c>

und zwar werde (7^=0 gesetzt, wenn Ek nur aus einem Gliede Xiyi
besteht. Ferner bedeute C0 eine bilineare Form der1 Variabelen

#1 + 1, 2/»+i> •••#*> yn,

welche nicht in E1} E2y _E8, . . . auftreten; diese sei ganz beliebig,
aber so gewählt, dass | 6'0 1 > 0 ist. Endlich sei noch

E0 = xs+1ys+1-\ Yxnyn\

wenn s = n ist, denken wir C0 = E0 = 0 gesetzt. Man hat die Gleichung

(18) jE^ + ^-f ... + #o-
1. Wir betrachten jetzt die specielle Form

(19) jE? = C1+C2+-.. + C0

und nehmen weiter speciell A = E. Die Form XE — B ist dann eine
in die Theile

* Vergl. auch Artikel 42.

Symmetrische und alternirende Formen. 137

XE1 — Cly XE2 — C2, . . . XE0 — C0

zerlegbare. Die ET von | XEt - Cx |, | XEt - C2 !, | XEZ -C3\,... sind

bez. Xa, Xb, Xc, . . .; | AJ570 — (70 | besitzt keinen zur Basis X gehörigen ET,

da |C0|4=0 ist. Also sind Xa, Xb, X% . . . die ET von \XE — B\ in

Bezug auf die Basis X (Theorem Y in 33, 34 Schluss). Nach 22 ist

ferner

(20) B*=Cl+Cl+-' + Cl 38-CJ+C!+ *•• + <?»,...

Wenn wir nun, was gestattet ist, voraussetzen, dass a^>b^>c'^>...
ist, so ist nach dem zu Anfang des Beweises Ausgeführten

.und somit wegen (20)

i/j

- w = • • • -

V,

(21)

B'

,-/o>

-Ba + l^Ca

+ 1

. . . .

Ferner hat man nach

(29) ir

L 17

Gusi-

-4)-»-

^

£ljl91 4. ..

;t2 ^ A8 ^

• +

/->a — 1

(XE2-

-C,)-l~

4+

^2 i ^2 i

!• "1" !• 1" ' '

• +

i* '

(XEt-

-Q)"1-

-^8 1

x "r

^8 1 ^3 1

li T- 1$ -f-

• +

r»c — 1

-V'

+

Durch Addition dieser Gleichungen ergiebt sich mit Rücksicht auf
(18), (19), (20) und (21)

(xex- q)-i+ (a^2 - c,)-i+ ... + (xjb;— Co)-1

1 + *2 + A8 H V Xa + ^a + 1 + ^a + 2

Nun ist aber nach (29) in 17

und somit

(22) {IE1 - C,)-i+ (*4 - 0,)-» + • • • + (^ - C0)-> = (1.B- £)-».

Ferner wird, da #^&^c^>-.- vorausgesetzt wird, nach (16)

138 §9,71.

Sind daher die r ersten Zahlen a, &, c, . . . gleich und grösser als die
(r -f- l)te, so wird nach Gleichung (22) , wenn jedes Glied links nach
steigenden Potenzen von X entwickelt wird,

E = c?-1 + O?-1 + ••• + <?«-*,

Jeder Theil der zerlegbaren Form H hat eine Determinante vom Range 1
(siehe oben); daher ist \H\ vom Range r; ist umgekehrt \H\ vom
Range r, so müssen die r ersten Zahlen a}bf cf . . . gleich und grösser
als die (r + l)te sein. Damit ist unser Satz X VI für A = E, das durch
(19) defmirte B und für die Basis X bewiesen.
2. Nun sei allgemeiner in XA — B

|4|+0, l-BI-O;
zur Basis X sollen die ET

X", i», 1% . . .

von | X A — B j gehören, wo a ^> b ^> c j> • • •; wählen wir nun oben die
Form (70 so, dass die ET von \XE0 — C0\ mit den nicht zur Basis X
gehörigen ETn von XA—B übereinstimmen, was wir nach dem
Theoreme IX stets können,* wählen wir ferner oben für a, b, c, . . .
diese Zahlen a, 6, c, . . ., so besitzt die Determinante \XE — B\, wo

B=C1+C2+--- + C0,
dieselben ET, wie \XA — B\ (Theorem V); es giebt daher nach
Theorem VIII lineare Substitutionen P, Q, deren Koefficienten von X
unabhängig sind, derart, dass

XE- B=P(XA-B)Q

ist; hieraus folgt nach Gleich. (20) in 12

(XE-B)-1 = Q-HXA- B)-*P-i '
oder, wenn

(A£-B)--f +■■■■ U-l-BJ-'-f + •-,

!+..._«-.(5+...)p-,

hieraus folgt aber, da Q-1, P-1 von X unabhängige Formen sind,

H-Q-'HP-K
Da | Q-1 1 und | P~l | von Null verschiedene Determinanten sind, so ist
\H\ vom selben Range, wie \H\ (vergl. Art. 24). Ist daher \H vom

* Denn setzt man im Theoreme X1 = X , Z2 = — 1 , ao = 1 , &a = Ca , # = 1 , h = 0,
so besagt dasselbe, dass |XA— B| die ET (i - Ca)e" (<j - 1 , 2, . . . m) besitzt; die

Form A ist aber von der Gestalt x1yx+xtyt-\ -\-xnyn, wie sich durch passende

Umbezeichnung der X Yav ergiebt (77).

Symmetrische und alternirende Formen. 139

Range r, so ist auch | H\ vom Range r, \ XE—B\ hat den ET Xa genau
rmal nach dem oben unter 1. Gezeigten, und somit hat auch \XA—B\
diesen ET la genau r-mal. Damit ist Theorem XVI auch für \A\=%=0,
| B | = 0 und die Basis X bewiesen.

3. Nun sei endlich \XA — B\ =J= 0, und zur Basis (X — c) mögen
die E T {X — c)\ (X — c)% . . . gehören, wo

sei. Ferner sei

(23) (XA-B)-1 - Ü(A - c)~^ -f J*(X - c)-*-M -f •• .

und | H | vom Range r. Ist dann 2 =» g keine Wurzel der Gleichung

\XA-B\= 0,
und wir setzen (37)

(24) X = C+(±Z^L
oder

(25) Xr-
so wird

oder für

X-9

XA- B = ^[X'igA- B) - (cA-B)],

gA-B = A, cA-B = B,

XA-B= jjL^QJA-B).

Wir führen nun in (23) die Substitution (24) für X aus. Dann er-
halten wir, da in Folge der letzten Gleichung

(XÄ-S)-'- = (X'Ä-B)-^-^) - (i'J-5)(A'~ 1)

(!»- 1) (itf- 3)-* - ^^ • i» - (1 - X')«- + • • • ;

entwickelt man daher (AM — Z?)-1 nach steigenden Potenzen von l't
so hat diese Entwicklung die Gestalt

(X'Ä-B)-1^- -JL- *<-*+...

Die Determinante | Af^4 — I?j besitzt die zur Basis Af gehörigen ET

(37), wobei e1 ]> e2 g> e3 g> • • •, | J. | ist nicht Null, aber | J5 1, der Rang
von \H\ ist gleich r ; daher ist nach dem oben unter 2) Bewiesenen

Cj — • e^ == 6g — • • • *= e^ ^ C/--L. i«

Damit ist das Theorem XVI allgemein betviesen.

140 § 9, 72.

72. Wir wenden uns nun zum Beweise des schon erwähnten

Theorems XYII von Kronecker:*

XVII. Ist S eine symmetrische, T eine alternirende bilineare

Form von 2n Variabelen, so treten im Koefficienten-

systeme von X1S-{-X2T die Elementartheiler von der

Gestalt X\x und A|*+1 stets paarweise auf.

1. Sei | T\ — 0, aber zunächst | XXS + A2 T\ =|= 0. Die zur Basis
Aj gehörenden ET der Determinante \XXS + X2T\ mögen die Exponenten
eu e,, ... haben, wo

cl -^- c2 — • • •

sei. Dann besitzt die Determinante | AS - T| die ET A% A% . . . (37).
Nach steigenden Potenzen von A entwickelt sei

(26) (A^-2)-1=J?A-^ + ..-

Geht man rechts und links zur conjugirten Form über, so wird mit
Rücksicht auf Gleichung (18) in 12

(AS + rr^iZ'A-'i + ••••,

setzt man hierin aber A = — A, so erhält man

(27) (AS - T)-1 = H1 A— * (- 1>+X + • • •

Aus (26) und (27) folgt

£T'-(-l>+1Ä

Ist daher el gerade, so ist H' = — H, H also alternirend, der Rang
r von \H\ eine #mie?e Zahl (9, Satz c); es ist aber

et = e2 = • • • — er > er+\
nach Theorem XVI. Also treten die ET A? von \llS + Xs2 \ in
gerader Zahl auf. Es ist noch nachzuweisen, dass auch die übrigen
zur Basis Ax gehörenden ET von der Gestalt X\* paarweise auftreten.
Dieser Nachweis wird gleich erbracht werden, vorher sei

2. |£| = 0, \XtS+ A,T| =|=0, und die zur Basis A2 gehörenden
ET gleich A|-, X J, . . ., wo ex > e2 > •••• Dann besitzt |AT-5| die
ET A% A% . . .; man hat analog 1)

(XT-S)'1 =#A-*-f-..,
(XT-S)'-1 = H'X-e>+.->
(-XT-S)-1 =H'X-<i+--
(XT-S)-1 «ITA— »(-1)%

* Kronecker, BM1874, S. 441 (G.W.Bd.I, S. 477). Vergl. auch Stickel-
berger, Crelle's Journ. (79) Bd. 86, S. 42 — 43. Obigen Beweis gab Frobenius
(Briefliche Mittheilung vom 21. Juni 1898).

Symmetrische und alternirende Formen. 3.41

Ist daher et ungerade, so ist H alternirend, \H\ von geradem Range
r, also wegen Theorem XVI

wo r eine gerade Zahl. Also treten die ET A% von \X1S + X21\ in
gerader Zahl auf. Auch hier ist der Nachweis zu erbringen, dass
auch die übrigen ET von der Gestalt A§*+1 stets paarweise auftreten.

3. Wir sahen unter 1) und 2), dass bei geradem et (ungeradem ex)
neben jedem ET A? (Aj) von \X1S+XST\ ein zweiter ET AJ» (Af)
auftritt. Es fragte sich, ob alle ET von der Gestalt Af* und Af**1
paarweise auftreten. Dieses ist der Fall und zwar auch dann, wenn
\X1S+X2T\ = 0 ist.

Sei, wie bisher S! = S, T'=- T, aber | Xx8 + Ag T\ = 0 und r der

Rang dieser Determinante; o sei eine positive ganze Zahl < r; der

grösste gemeinschaftliche Theiler aller Subdeterminanten pten Grades von

\XlS -\- X2T\ enthalte X1 zur Potenz lQ* (Bezeichnung also jetzt wieder,

wie in 4 flg.), sei ferner

eQ = lQ — Iq-i,
so dass also jetzt

er>er-i> •••

ist. Wir setzen nun voraus, dass für ein q < r — 1 die Ungleichung

eQ+i > eQ
besteht, und zeigen, dass es alsdann eine in Bezug auf Xy reguläre
Haujrtunterdeterminante Qten Grades von \AlS + A9T\ giebt.

Bezeichnen wir nämlich, wie in 4 flg., die Determinante |Al/S» + A2T|
mit | aik | und verstehen in 9 unter Q und B speciell zwei Deter-
minanten Qten Grades

Q = \axv\ (x — Xj, k2

B= |^;.| (ft— ITj, v2

des Systems der at*, dann wird daselbst

P = l^xi | (^ = *1, «2, •

P und # sind also dann Hauptunterdeterminanten. Nun sei Q in Bezug
auf Ax regulär, enthalte also A± genau zur Potenz lQ; dann gilt das
Gleiche von B, da § in B übergeht, wenn man in ihm — A2 für A2
setzt. Nach a) in 9 muss aber ^mindestens in der Potenz ^—1 + ^+1
in P>S - §E

auftreten, wobei wegen eQ+i > ^

ist. Man kann also '*+*+ k-i> %k

■ kq'i

v — vlf

vu.

• • Vq),

»Ihst

A = ^,

x2f .

•*<>)

A — «!,

X2> ' •

•**)>

•^;

1/ — vxi

V2>-

• n>);

* Wo nicht alle Zahlen Iq Null seien.

142 § 9, 72 — § 10, 73.

QR = PS + X\l<> + 'Ü
setzen, wo e > 0 und U nicht durch X1 theilbar ist. Wäre nun P
oder S nicht regulär, so wäre die rechte Seite der letzten Gleichung
durch eine höhere Potenz , als .die 2lQte Potenz von Xt theilbar; die
linke aber ist nur durch die 2lQte theilbar; daher ist sowohl R als S
regulär. — Es giebt ferner stets eine in Bezug auf Xt reguläre Haupt-
unterdeterminante rten Grades. Denn setzt man vorstehend in P, Qy
R, S q = r,

so wird PS = QR (9, b); ist daher Q und damit auch R regulär, so
sind auch P und S regulär.

Es sei nun R eine in Bezug auf X1 reguläre Hauptunterdeterminante
rten Grades des Systems von X±S + X2T; die bilineare Form, deren
Determinante R ist, wollen wir mit X1S0+ X220 bezeichnen. Alsdann
ist S0 symmetrisch, T0 alternirend. Die ET von R in Bezug auf die
Basis X1 sind identisch mit denen des Koefficientensystems von
X18 + X%T in Bezug auf diese Basis Xi (6, d), d. h. R besitzt die ET
Xlr, A?r—1, . . . Ist daher er eine gerade Zahl, so tritt nach 1) oben
der ET X[r in gerader Zahl auf. Es ist also dann

er = er-i — • • • = fy+i > ev
wo r — q eine gerade Zahl vorstellt. Wegen eQ+1 > eq existirt nun
aber wieder eine reguläre Hauptunterdeterminante pten Grades, und
die Anwendung der eben aufgeführten Schlussweise zeigt, dass bei
geradem eQ die Anzahl der ET X\<! eine gerade ist. U. s.w.

Ganz analog beweist man mittelst 2. oben, dass die ET von der
Gestalt X\y-+1 stets paarweise auftreten. Damit ist denn unser
TJieorem XVII vollständig bewiesen* Gehen wir nunmehr zur An-
wendung der Sätze 18 und XVII über.

§ 10. Congruente Formen.

73. Geht eine bilineare Form Ä durch die congruenten linearen
Substitutionen R\ R in eine Form B über, ist also symbolisch (13)

B = R'AR,

dann geht durch dieselben Substitutionen die zu A conjugirte Form AI
in die zu B conjugirte Form B' über, d. h. es ist

B' = RA'R.

* Sind S und T alternirende Formen, so treten die ET des Systems von
\llS+liT\ stets paarweise auf und die Minimalgradzahlen ff», und m{ stimmen,
wenn | lx S -{- Xt T\ = 0 ist, überein. Man kann ferner Formenschaaren mit alter-
nirenden Grundformen bilden, welche im angegebenen Sinne vorgeschriebene
Kr onecker'sche und Weierstrass'sche Invarianten besitzen. Vergl. Frobenius,
Crelle's Journ.(79)Bd.86, S. 20 flg. §7u.§13. E.v.Weber,Münch. Berichte von 1898,
S. 369 flg.

Congruente Formen. 143

Man hat also dann für beliebige Werthe von Xt \ X2
XtB + X2B' = R'&A + X2A')R,
d. h. die Formenscbaaren XtA -\- X2A! und X1JB + X2B' sind äquivalent.
Die Aequivalenz der Schaaren XtA -f X2A' und X±B -{- X2B' ist also
eine nothwendige Bedingung für die Congruenz der Formen ^L und P;
dass sie auch die hinreichende Bedingung hierfür ist, das ist eines der
wichtigsten Ergebnisse der Kronecker 'sehen Arbeit: „Ueber die
congruenten Transformationen der bilinearen Formen".* Wir leiten
mittelst des Satzes 18) in 71 dasselbe mit Leichtigkeit her**

Ist nämlich Af zu -4, B' zu B conjugirt, und sind die Schaaren
XiA + X2A' und X±B + X2B' äquivalent, so besteht für zwei von
Xt | X2 unabhängige Formen P, Q, wo | P | =J= 0, | Q | -f- 0 ist, die
symbolische Gleichung

(1) XiB + X2B'^P(X1A + X2Ä')Q.

Nun setze man . , , , . . ..

A-{-A'=Alf A — A'=A2,

B + B' = B1} B-B' = B2.
Es ist f u t "

A^=A1} Bt = Blf A2= A21 B2 = — B2.

Da die Gleichung (1) für beliebige Werthe von X1 \ X2 gilt, so folgt
aus ihr für Xt = 1, X2 — 1 bez. Xj = 1, >l2 = — 1

B,= BA,Q, Bt-TA,Q

und hieraus weiter

^P, + A2P2 = P^^ + M2) Q.
Die Schaaren XiA1-\- X2A2 und A1jB1+X2jB2 sind äquivalent, ,4X und
Bx sind symmetrische, ^42 und B2 alternirende Formen; daher giebt
es nach Satz 18) eine Substitution R derart, dass
B1 = RrAlR, B2 = R'A2R
ist. Man hat also für beliebige XY \ X2

(2) X, Bx +X2B2 = R' (X, At + X2 A2) R,
mithin, da A + A = * Bj+B* _ B

2 ' 2

ist, für Xx - X2 - i in (2) ^ = ß,^

Also gilt in der That der Satz:

XVIII. Zwei bilineare Formen A und B, die von gleichvielen
Variabelenpaaren abhängen, sind dann und nur dann
congruent, wenn die Schaaren Ax A + X2 Af und
X1B + X2B' äquivalent sind, wo A\ B' die zu A bez. B
conjugirten Formen bedeuten.

* BM 1874, S. 397— 447 (Ges. W. 424— 483).
** Frobenius, SB 1896, S.U.

144 § 10, 73 — 74.

Ueber die Congruenz zweier Formen kann man auf rationalem Weo-e
entscheiden. Die Substitutionen, welche eine Form in eine congruente
überführen, bestimmt man nach 39 und 67; sie sind im Allgemeinen nicht
rational.

74. Eine Form mit cogredienten Veränderlichen xt \ y{ (13) heisst
eine irreducibele oder elementare, wenn sie unzerlegbar und auch
zu keiner zerlegbaren Form congruent ist; eine aus lauter elementaren
Formen zusammengesetzte bilineare Form mit cogredienten Ver-
änderlichen heisst eine reducirte Form. U. s. w. (25).

Mit der Reduktion einer Form werden wir uns nachstehend be-
schäftigen; hierzu ist zunächst erforderlich, dass wir untersuchen,
wie im besonderen Falle, wo A und A' conjugirte Formen sind, die
zur Schaar X1A + X2A' gehörenden Minimalgradzahlen mt- Wii und die

ET des Systems von \X1A + X1A'\ sich verhalten.

7) Sf 7) Sf

Setzen wir S = X< A + X2 A' so geht — — aus -*— dadurch hervor, dass
12,0 cyi dxi '

Vi = %i gesetzt und X1 mit X2 vertauscht wird. Die Reihe der Zahlen m-,

besteht also aus denselben Zahlen, wie die der Zahlen mif so dass wir

im Falle | At A -{- X2 A! j = 0 ist, wie bei den symmetrischen Formenschaaren,

nur eine Reihe von Minimalgradzahlen in Betracht zu ziehen haben.

Bedeutet r den Rang von \X1A + X2A'\, q eine Zahl <T r und

DQ den grössten gemeinschaftlichen Theiler aller Subdeterminanten

Qten Grades von | X1A + X2 A' j, so ist D^ eine symmetrische oder eine

alternirende Form der Variabelen Xl9 X2. Denn jede Subdeterminante

QtGn Grades geht durch Vertauschung von X1 und X2 wieder in eine

Subdeterminante pten Grades über. Da DQ durch DQ—i theilbar ist, so

bestehen Gleichungen

Die homogenen ganzen Funktionen E* sind ebenfalls symmetrisch oder
alternirend und zwar ist EQ durch EQ—x theilbar (Theorem I in 5).
Zerlegt man nun die EQ in Faktoren, die Potenzen verschiedener in
Xt | X2 linearer Formen sind, so erhält man alle ET des Systems (4).
Da nun aber die EQ symmetrisch oder alternirend sind, so gehört zu
jedem solchen Faktor (aaXt + baX2)ea von EQ ein Faktor (aaX2 -f baX^0]
diese Faktoren sind verschiedene ET des Systems, wenn nicht

(n \ 2
,- j =)=1 ist, so gehört m jedem El (aa^-f b0X2)ea ein El

(baXL -f aaX2)e°. Wie verhalten sich nun die ET mit der Basis

aaXx + b0X2, wo ( — J *= 1, d. h. die ET mit der Basis Xx + X2 und

X1— X2? Können diese in beliebiger Zahl auftreten oder herrscht auch

Congruente Formen. 145

hier ein Gesetz? Dies ist in der That der Fall; denn setzen wir

vorübergehend wieder A + A1 = S A — A' = T

so ist S symmetrisch, 1 alternirend. Durch die Substitution

A1= A^-f- A2y A,2 = X± A2

wird aber hA+X%J!=X[S + ^T.

Besitzt nun das System von | A, A + X2 A' | den ET (Xx + X2)a [(Xt — A2)a],
so besitzt das von \X[S -\- X'2T\ den ET X[a [X2a]. Ist nun a gerade
[ungerade], so tritt nach Theorem XVII neben jedem ET X[a [X2a]
ein zweiter ET Aj" [A2a] auf; das Gleiche gilt also von dem ET
(aj + X2)a [(aj — X2)a], wenn « gerade [ungerade] ist. Die El von
der Gestalt (ax + a2)2x £m<^ (Ax — a2)2x+1 smd afeo stets paarweise vor-
handen. Dagegen können ET von der Gestalt (Xl + a2)2x+1 oder
(X1 — a2)2* in gerader oder ungerader Zahl auftreten, wie man sich an
Beispielen leicht überzeugt. Z. B. hat man für

■4 — (hVi + ••* XnVn = E, A'= E> und | X,A + X2A' | = (X1 + a2)«
hat den ET (ax + a2) w-mal, wo w gerade oder ungerade sein kann. Für
A = xxyt + a^^j — x±y2 wird J.' = x1yt + ^ 2/2 — xiVu und I *i -^ + X2A' \
hat daher den einen ET (ax — a2)2. Dagegen wird für

^ — foffl + ^22/l - ^l2/2) + (&& + ^42/3 - ^32/4)

die Determinante | XlA -f* Aj-4' | den ET (ax — A2)2 zweimal besitzen.
Fassen wir das Ermittelte in dem Theoreme zusammen:
XIX. Ist XXA + X2A] eine Formenschaar mit conjugirten
Grundformen, so stimmen ihre Minimalgradzahlen
Mi und vhi überein; die Elementartheiler des Systems
von | ax JL -f- A2^lf | sind paarweise von gleichem Grade
und für reciproke Werthe von —■ gleich Null, mit Aus-
nähme derjenigen von der Gestalt (A1+A2)2x+1 oder
{X1— a2)2*, welch' letztere auch in ungerader Zahl auf-
treten können*
75. Setzen wir daher w?=2mt- + i, deuten ferner durch ein über
einen Exponenten ea eines ETs gesetztes Plus- oder Minuszeichen an,
dass derselbe zur Basis X1 + X2 bez. Xt — X2 gehört, so ist, da hier
mt = mi} nach Gleichung (30) in 61

(3) n = ^n? + ^?t + ^ea + ^ea.

Die nQi sind ungerade Zahlen, und zwar fehlen dieselben, wenn
| Xl A + a2 A! | eje 0 ist. Die geraden Zahlen e0 und die ungeraden

* Kronecker, 1. c. S. 441 (S. 476).

Muth, Elementartheiler. 10

146 § io, 75.

Zahlen ~ea treten stets zweimal auf; die Zahlen ea sind immer doppelt
vorhanden.

An die Gleichung (3) knüpft sich die analoge Frage, wie an die
Gleichung (3) in 49, (30) in 61 u. s. w., nämlich die Frage, ob es bei
gegebenem n bilineare Formen A von 2w Yariabelen giebt, zu denen
Schaaren XXA + X2A' mit vorgeschriebenen Krön eck er 'sehen und
Weierstrass 'sehen Invarianten gehören. Dieses ist in der That der
Fall, wie wir sofort nachweisen werden. Wir betrachten nämlich
folgende bilineare Formen*:

1. T? = ^ xkyk+1 (k - 0, 1, . . . 2mt -1, w?=2w,- +1, n?>l),

2. Ta==^(xkyk + 1+cxk+1yk) (Ä-0, 1, . . . 2e0-2\ c2=H),

3. Ga = y](xkyk+1+ (- l)kxk+1yk) (& = 0, 1, . . . 2cff-2; £,«2*),

4** ETff =a?0y04-^(«*y*-i4- (- l)*a*-iy*) (* — 1, 2, . . . eff — 1; ea=2^+l),

5. £a=z02/0 + V(£jfc2/*_i-f (— !.)*#*_ ii/t) (*— 1, 2, . . .~e0— 1; eö = 2>c),

6. Ö, - ^ (s*y4+1 - (- l)*a*+i2fr) (Ä = 0, 1, . . . 2ea- 2; e„ - 2% + 1).

1. Die Form 2;° hängt von 2 m» + 1 = w? Variabelenpaaren
a?0, a?1; . . . JTg^-i, x2m., y0, ylP . . . Sfo^-i, Sfem,

ab, wenn wir #02/0, sc^, ...x%miy2mi als zusammengehörige Variabele
auffassen. Die Variabelen #2m und ?/0 treten dabei in T$ nicht wirklich
auf. Ferner ist die Determinante | X1 Tf + 22 2?f | = 0, der Rang derselben
ist 2mi] es giebt daher nur eine lineare Relation zwischen den Ab-
leitungen von v^T? + X2TV nach den x-t bez. y^ ET treten keine auf;
es ist mithin wegen (3), wenn m\ die zur Schaar gehörige Minimal-
gradzahl bedeutet, n n , , ., a . i

Die Schaar X1T?+ X2Tf besitzt also nur eine Invariante n?— 2f»*-f 1.

2. Die Form Ta hängt von 2e0 Variabelenpaaren x0y0, a^j, . . .
ab. Die ET der Determinante | X1 Ta + *s K | sind

3. Die Formenschaar XlG„ -f X%G,a hängt von 2eff Variabelen-
paaren ab; die ET ihrer Determinante sind

_____ (h+kf; &+**f-

* Kronecker, I.e. 8. 440 (S. 475).

+
•* Für ea = l ist Uo = x0y0 zu nehmen.

Congruente Formen. 147

4- + +

4. Die Schaar XlUa + l%Vo hängt von ea Variabelenpaaren ab:

ihre Determinante besitzt einen ET

5. Die Schaar A16rff+ Ag6ri bangt von e~a Variabelenpaaren ab;
ihre Determinante hat den einen ET

6. Endlich hängt die Schaar X1 TJa -f- A2 £/<£ von 2e0 Variabelenpaaren
ab; ihre Determinante hat zwei ET

Ist nun eine beliebige Lösung der Gleichung (3) in Zahlen
n°i9 cff; . . . der angegebenen Art vorgelegt, und wir bilden zu jedem
n%, das grosser als 1 ist, eine Form T?,. wobei wir in Ti, T°, ... die
Variabelen so bezeichnen, dass je zwei dieser Formen keine Variabele
gemein haben, bilden analog weiter zu jedem Exponentenpaare ea eine
Form Tay wobei wir die c = ca beliebig aber ca ^ 1 wählen, zu jedem

4- + . +

Exponentenpaare ea (ea = 2%) eine Form Gr0} u. s. w., so ist die Summe
aller dieser Formen eine Form B, die von n — q Variabelenpaaren
abhängt, wenn q der Zahlen »J gleich Eins sind. Sind alle Zahlen w?
gleich Eins, so setzen wir B = 0. Da aber die Schaar Xx B + X2Bf
eine zerlegbare ist, so besitzt nach dem Satze S. 112 diese Schaar die
Invarianten n?, (c^-f A2)e°, . . ., wenn wir sie bei q > 0 als von 2n
Variabelen abhängig betrachten, also eine identisch verschwindende
Theilschaar hinzuschreiben. Damit ist unsere Behauptung vollständig
bewiesen.

Bezeichnen wir die Invarianten n% ea, . . ., die zu einer Schaar
XXB -f X2B' gehören, als die Kronecker'schen Invarianten (Minimal-
gradzahlen) und die Weierstrass'schen Invarianten der Form 12
mit cogredienten Variabelen, so können wir das erlangte Resultat
so aussprechen:

XX. Es giebt bei gegebenem n Formen mit 2n cogredienten

Veränderlichen, welche — im Sinne des Theorems XIX

— vorgeschriebene Kronecker'sche und Weierstrass-

sche Invarianten besitzen.

Die Formen 1—6 oben sind nicht zerlegbar, aber auch zu keinen

zerlegbaren Formen congruent. Für die Formen 1, 4, 5 geht dies

unmittelbar daraus hervor, dass zu ihnen nur je eine Invariante gehört.

Für die übrigen folgert man es leicht aus Theorem XIX. Wäre

z. B. Ga zu einer zerlegbaren Form G = G1-\- G2 congruent, so wäre

10*

148 § 10, 76-76.

auch die Schaar XtG + X2G' zerlegbar in die Theile X1G1+ X2G[ = Hx
und XXG2+ l2G'2 = H^ die ET von \X1G-\-X2G'\ sind aber die von
| Ht \ und | H2 1 zusammengenommen; nach Theorem XIX besässe daher
\X1G + X2GI | vier ET, und damit auch

HÄ + Ji&l.

U. s. w.

Die vorhin beschriebene Form R setzt sich also aus lauter ele-
mentaren Formen zusammen, d.h. es ist eine reducirte Form.

Eine der eben angewandten ganz analoge Schlussweise lehrt
(XIX, XX), dass eine bilineare Form mit cogredienten Variabelen dann
und nur dann irreducibel ist, wenn sie entweder eine einzige Kronecker-
sclie Invariante desitzt, oder zwei Weierstrass'sclie Invarianten {X1 + cX2)eo,
(cX1-\- X2)eo, wo c2=f=l, u.s.w., wie in den Fällen 1 — 6 oben.

Ist nun eine beliebige bilineare Form A gegeben, die von
n Variabelenpaaren abhängt, so können wir nach Theorem XX eine
Form R bilden, welche ebenfalls von n Variabelenpaaren abhängt und
dieselben Kronecker 'sehen und Weierstrass' sehen Invarianten be-
sitzt, wie die gegebene Form. Nach Theorem XVIII sind daher die
Formen A und R congruent, jR ist aber eine reducirte Form, und
daher das Problem der Reduktion einer Form A mit cogredienten Variabelen
vollständig gelöst, da man jederzeit die congruenten Substitutionen
wirklich bestimmen kann, die A in R überführen (73).

76. Gehören zu einer Form A mit cogredienten Variabelen die
Invarianten

wj, wg, . . . (x, + Clx2y>, (Clxt + x2y>, . . . & + *2>, ...(*!+ h>, • • .,

so sagen wir, die Form besitze die Charakteristik,

[>?, n%, . . .} ei} et,. . .e9,. . ,ea,.. .].
Auf Grund des Theorems XX klassificiren wir nun die Formen mit
2n cogredienten Variabelen bei gegebenem n nach dem schon öfter an-
gewandten Principe (29, 62, 70). Wir rechnen also zu derselben Klasse
alle diejenigen von n Variabelenpaaren abhängigen Formen, welche die-
selbe Charakteristik besitzen. U. s.w. Zu jeder Klasse gehört eine Normal-
form, die sich aus den Formen 1 — 6 oben zusammensetzt. Wie sich
für ein gegebenes n die Anzahl der Klassen systematisch berechnen
lässt, hat Rosenow angegeben* Derselbe hat auch für die Fälle
n = 1, 2, 3, 4 und n = 10 die Normalformen aufgestellt.**

* Rosenow, Ueber die Anzahl von Klassen bilinearer Formen. Wiss. Beil.
zum Programme der vierten höheren Bürgerschule zu Berlin, Ostern 1891.

** Rosenow, Crelle's Journ. Bd. 108, S.5— 13 (färn = l — 4); Programm
der eben genannten Anstalt, 1892, S. 8 — 21 (» = 10).

Congruente Formen. 149

Um z. B. für n = 1 die Klassen zu bestimmen, hat man die
Gleichung (3) für n — 1 zu lösen. Man hat zwei Lösungen

1. üi-i

2. £-1,

Im 1. Falle wird B — 0.

Im 2. Falle wird Ä = TJU wo in DJ

zu nehmen ist. Daher ist R = x0y0.

U. s. w. Wir stellen im Folgenden die Charakteristiken und
Normalformen für alle Klassen bilinearer Formen von 2n cogredienten
Variabelen für die Fälle n = l, 2, 3, 4 zusammen.

Klassen bilinearer Formen von 2n cogredienten Variabelen

im Falle

a) n = 1.

1. [i]:x0y0.

2.(1} :0.

b) n — 2.

1. [11] : ^o2/i+Ci^i2/o-

2. [2] : <r0y0-f jr^- x0yx.

3. [1 1] : x0y1-x1y0.

I 1

4. [11] : ^02/o + ^i2/i-

5. [Jiji] : I Die Normalformen sind mit denjenigen

6. (11) : I für n =» 1 identisch.

c) n — 3.
J. [111] : oc0 y0 + (&&+% ^2 &)•

2. [12] : ^^0+ (^1 2/i + ^22/i— #!&)•

3. [1 1 1]: ^0 2/o +(^2/2-^2 2/i)-

4. [1 1 1]: ^02/o+^i2/i + ^2/2-

5. [3] : x*y9+xly9 — aBifl + xiyl+-xlyt.
6.(3} : ^0 2/i + ^1 2/2 ♦

150 § 10, 76.

Die Normalformen für die sechs übrigen Klassen sind identisch
mit denjenigen für die Klassen bilinearer Formen, die von zwei
Variabelenpaaren abhängen.

d) n — 4.

1. [l 1 1 1] : (x0yt -f q^o) + 022/3 + c2x3y2).

2. [(n) (n)] : (x0 yt + Cj xx y0) + (x2 y% + q x3 y2).

3. [2 2] : x0yt + c^x^ + x±y2 + cxx2 yx + x2y3+ c^xzy% .

4. [211] : (x0yQ+ x±y0- x0yx) + (xsyi+ CiX^yt).

5. [i i i i] : (x0yt - ^y0) + (a^y8 + ^3 2A>)-

6. [Till] : #02/0+^12/1+ O22/3 + q^32/2>

7. [2 2] : 002/0 + x1y0 - a^yj + feft + x^h ~ x&&

8- [4] : #02/o+*i2/o- *o2/i + ^2/i +^12/2 + ^32/2 — a,ys.

9. [1 1 2] : (^02/i — #1 2/o) + fe2/2 + «kV* - ^22/3)-

10. [112] : x0y0 + ^^ + (x2y2 + x3y»- x2yz).

11. [1111]: 202/o+ ^l2/l + ^22/2 + ^32/3-

12. [im] : ^2/o+^i2/i+ fe2/3-^32/2)-

13. [18] : 202/o + (VJi + ^22/i - «iJfi + ^2/2 + ^ft)-

14. [2 2] : x0yx + xty0 + x1yi— x2yx + x2y3 + £3?/2 .
15 [1 1 1 1] : (x0yt — x1y0) + (^2/3 - ^2/2)-

16. [{3}] 1] : (202/i + ^i2/2) + ^2/3-

Die Normalformen für die 12 übrigen Klassen stimmen mit denen
für die Klassen bilinearer Formen von drei Variabelenpaaren bez.
überein.

Es giebt also in den Fällen » = 1,2,3,4 bez. 2, 6, 12, 28
Klassen bilinearer Formen bei congruenter Transformation der Variabelen.

Die Formen der Klassen [1], [1 1], [1 1 1], [1 l 1 1], [{i}i], • • •
sind symmetrisch , die der Klassen [11], [1 l l 1], [{i}i 1], ■ • •
atternirend.

a) Ist allgemein A = 'S*aikxiyk (i,h — 1,2, . . . n) symmetrisch,

daher sind bei | X±A + U Ä \ = 0 die Zahlen mt alle Null, also die
Zahlen »? alle Eins. Da ferner hier

Congruente Formen. 151

ist, so besitzt das System von \ X1AJr X2A'\ nur ET mit Exponenten 1,
und zwar r Stück, wenn \A\ und somit auch X1AJrX2Ä\ vom
Range r ist. Eine symmetrische bilineare Form

A =^aik Xiyk (i, h — 1, 2, • . , »)

/ja£ daher, wenn r den Rang von | A\ bedeutet, die Charakteristik,

rf i++ +i

[{ll. ..l}l l...l],

w — r Stück r Stück
lässt sich also durch congruente Transformationen stets auf die Form

^l+^ftH + XrlJr

bringen. Hat umgekehrt eine Form vorstehende Charakteristik, so
lässt sie sich congruent in xxyt + • • • + xryr transformiren • sie ist also
symmetrisch.

ß) Analog zeigt man: Eine alternirende, von n Variahelenpaaren
abhängige bilineare Form, deren Determinante vom Range r = 2r' ist
(9, c), hat die Charakteristik

[{n. ..} IT. II],

»-r Stück 2/ Stück

lässt sich daher durch congruente Transformation in

(xxy% - x2y±) + (x3y^ - x±ys) H f- (xr-itjr - xryr-^

überführen. Umgekehrt ist eine Form mit vorstehender Charakteristik
eine alternirende.

Folgerungen: 19) Zivei symmetrische oder alternirende Formen sind
dann und nur dann congruent, wenn ihre Determinanten gleichen Bang
haben.

Und: 20) Eine quadratisclie Form A kann in eine andere qua-
dratische Form B, die von gleichvielen Variabelen abhängt, dann und nur
dann durch eine lineare Substitution mit nicht verschwindender Deter-
minante transformirt werden, ivenn die Determinanten von A und B
gleichen Bang haben (63).

152 §11,77.

§ 11. Aelmliclie und duale Formen.

77. Wir erledigen jetzt für solche Formen die analogen Fragen,
die bei der congruenten Transformation der Formen auftraten.
Sind zwei Formen

Ä = ^aikXiUkj B =^bikXiUk (i,k — lf29... n)

ähnlich, ist also eine lineare Substitution 1 vorhanden derart, dass
symbolisch (13) B = T~1AT

ist, so hat man weiter für

E = sr1w1 + x2u2 + • ' ' + %n Wn

E= T-^ET,
also bei beliebigen X1 X2

XtE+X2B = T-1(A1Z+ h^)1',
die Schaaren X1E + X2A und XXE + X2B sind äquivalent, die ET von

\X1E+XiA\ und \X1E+XiB]
stimmen überein. Hervorzuheben ist, dass (12, Gleich. (16)

! XXE + X2B\ - ! T-1 1 • | X,E + X2A\ • I T | = | X1E+ X2A |.
Stimmen umgekehrt die ET der Determinanten zweier Schaaren
X^E + X2A und X±E+ X2B
überein, so giebt es Substitutionen S, 1 derart, dass bei beliebigen
*i I *a XtE+ X2B=S{X1E+X2A)T

ist (Theorem VIII). Insbesondere ist für X1 — 1, X2 — 0

E^SET,
also S = T-\ B~T~XAT;

d.h. J. und I? sind ähnlich. Setzen wir vorstehend X±= X, A2 = — 1,
so ist [ AJ57 — ^L | die charakteristische Determinante von A, \XE—B\
die von B (16), und es gilt daher das Theorem:

XXI. Zwei Formen sind dann und nur dann ähnlich, wenn
die Elementartheiler ihrer charakteristischen Deter-
minanten übereinstimmen.
Nimmt man in Theorem IX

g = l, h = 0, aa = l, ha — ca, X1 — X, X2= — l,
so besagt dasselbe, dass die Determinante der Form

Aehnliche und duale Formen. 153

a = 1, 2, . . . m

(l - Cl>, (A - c2>, . . . (A - C/n)'m
besitzt. Wir bezeichnen jetzt die Variabelen

der Reihe nach mit Xm0j Xml' ' ' " Xm><m-i

^lt %2> ' ' ' ^«i? ^«i+l> ^1+2; • • • ^«1 + ^7 • * •?

^i + **H r-«m_i + l; ^«k + ^H t-«m_i + 2> • • • #nj

WO

^1 4- e2 H f- em = w;

die Veränderlichen

iio, In, • • • Ii, 4-1; I^o, xji, . . . Y2, ^_i, . . .; imo, I^i • • • Ym, em—1

bezeichnen wir ferner der Reihe nach mit

«**,, Mei_i;...Wi; Uei+e2, w*+*-- i,...f^+i5...; w„, w„_i, ...wÄ|+?a_j h«m— 1+1!

schreiben wir dann noch E für A, A für B, so wird

E — xkut + #2W«H h #nW»,

A = cl(a;1w1+-« •+ a^,J + c2 (a?^+1w,1+1 +. • .+ xei+e2uei + J + • • •

+ fcWj + • • •+ Xei-iUeiy* + (a?ex+lWÄI+2 + ••• + ^ + ^-l^, + 0 +" * '

Da nun, wie oben gezeigt wurde, I^E — A| die ET

(l - ca)e° (a = 1, 2, . . . m)
besitzt, so haben wir in A eine von n Variabelenpaaren abhängige
Form, die, wenn bei gegebenem n die ganzen positiven Zahlen ev

e2, . . . em eine beliebige Lösung der Gleichung: e1 -f- e2 -\ + em — n

vorstellen und die Konstanten c17 c2, . . . cm willkürlich, aber endlich
gewählt sind, eine charakteristische Determinante mit den ETn

(* - Ca)'* (ö - 1, 2, . . . m)
hat. Wir können dieses Resultat so aussprechen:
XXII. Es giebt Formen, die von einer vorgeschriebenen
Anzahl von Variabelenpaaren abhängen, und deren
charakteristische Determinanten vorgeschriebene
Elementartheiler besitzen.
Eine bilineare Form mit contragredienten Variabelen heisst eine
elementare oder irreducibele, wenn sie weder zerlegbar noch einer
zerlegbaren Form ähnlich ist. U. s. w., wie in 25.

* Dieser Klammerausdruck bleibt weg, wenn et = l ist, der folgende, wenn
et = 1 ist, u. s. w.

154 §11,77-78.

Die Form A oben ist zerlegbar, die charakteristischen Determinanten
ihrer einzelnen Theile besitzen nur je einen ET; daher sind diese
Theile selbst irrreducibel (48, Schluss). Also ist A eine reducirte
Form, wenn die #t-, Ui als contragrediente Variabele aufgefasst werden.

Eine beliebige gegebene Form A kann in eine reducirte Form A
transformirt werden, die zu ihr ähnlich ist; die nöthigen Substitutionen
liefert die Weierstrass'sche Theorie, wenn man sie auf die Schaar
X±E -\- X2A anwendet. Man erhält nämlich Substitutionen S, T derart,
dass bei unserer jetzigen Bezeichnung

X±E+ X2A = S&E+ X2A)1

wird bei beliebigen X1 \ X2 5 es ist dann

E = SET, S^T-1;

d.h. S und 1 sind ähnliche Transformationen. Man kann auch zuerst
auf Grund der Theoreme XXI und XXII eine zur gegebenen Form A
ähnliche reducirte Form A herstellen und dann aus den Koefficienten
von A und A die nöthigen Substitutionen T-1 T rational berechnen
(S. 66—67). — Damit ist die Bediiktion einer gegebenen bilinearen Form
mit contragredienten Variabelen wirklich durchgeführt.

A ist irreducibel, wenn \XE—A\ nur einen ET besitzt; besitzt
\XE — A\ mehr als einen ET, so können wir eine zerlegbare Form A
herstellen, die zu A ähnlich ist, d. h. A ist reducibel. Also:

Eine bilineare Form mit contragredienten Variabelen ist dann und
nur dann irreducibel, wenn ihre charakteristische Determinante einen ein-
zigen ElementaHheiler besitzt.

78. Wir nennen die Charakteristik der Schaar XtE -f X2A die
Charakteristik der bilinearen Form

A =^aik Xi uk (i, k «= 1 , 2, . . . n)

mit contragredienten Variabelen und klassificiren die von einer
gegebenen Anzahl von contragredienten Variabelen abhängigen bilinearen
Formen nach dem des öfteren angewandten Principe. Die Normal-
formen der einzelnen Klassen kann man für die Fälle w=l,2, 3, 4
aus 50 entnehmen, indem man daselbst in jeder zweiten Form eines
Paares von Normalformen die oben angegebenen Umbezeichnungen
vornimmt (77). Man hat folgende

Klassen bilinearer Formen von 2n contragredienten Variabelen

im Falle

a) n = 1.
1. [l] : c^jWj.

1.

tu]

2.

[(ii)]

3.

[2]

1.

[Hl]

2.

Kll)l]

3.

Kl 1 l)]

4.

[2 1]

5.

K'2l)]

6.

[3]

Aehnliche und duale Formen. 155

b) n - 2.

• Cl Xi %V-i j* ("> Xa 9 "

: ^(a^Wi + ^M»).

: c^x^ + x2u%) + xxu%.

c) n — 3.

: ötfot^-f-^Wg) + c3^3w3.

: c^u^ x2u.2-\- x3n3).

: Cifau! + ^2^2) "+" c2x3ti3 + 2} flg.

: C^ix^li^ + ^2W2 + #3%) + #1^2-

: c^x^i^ + a?awa + #s%) + (^iw2 + #a%)-

d) »=»4.

1. [l 1 ll] : q^i + c2^2% + c3 x3n3 + c4#4t£4.

2. [(11)11] : cx= c2, sonst wie die Normalforni 1.

3. [(11) (11)]: q = c2, c3-c4, „ „ „ „ 1.

4. [(111)1] : q=c2=c3; „ „ „ „ 1.

5. [(1 111)] :c1=c2=es= cA, „ „ „ „ 1.

6. [211] : c1{x1u1 4- x2u2) + c2 xz%H + C3#A + #1%

7. [(21)1] : c1 = c27 sonst wie Normalform 6.

8. [2(11)] :c2=c3, „ „ „ 6.

9. [(211)] :ct— c^-=^,„ ,, „ 6.

10. [2 2] : cx{x^nx + #2 %) + c2few3+ ^4%) + xilh + #sw4-

11. [(22)] : q= c2, sonst wie Normalform 10.

12. [3 l] : CX(XXU^ 4" X2U2 + #3%) + ^4^4 + (#1^2 + X2 lh)'

13. [(3l)] : c1 = c27 sonst wie Normalform 12.

14. [4] : Ct (#!% -\-x2u2 + ^3 «3 + ^4^4)

+ (^1W24-^2%+^3%)'

79. Nun sei durch

(2) & — aii^ 4- ^2» ^2 H h a«»,a?» (* = 1,2,... »)

eine lineare Substitution gegeben, deren Determinante nicht un-
bedingt von Null verschieden zu sein braucht. Alsdann nennt man
die Determinante

156 § 11, 79.

X — a„

(3)

— un — a12 — an

— a21 A a22 — a2,

#nl — Cf'n2 X — (Xnn j

die charakteristische Determinante der linearen Substitution (2).
Gleich Null gesetzt liefert sie die charakteristische Gleichung der
linearen Substitution (2).
Es sei nun

(4) Xi = lux[ -f 62<#i H h hntxn (i — 1, 2, . . . »)

eine zweite lineare Substitution, deren Determinante nicht Null sein
darf. Wir setzen weiter

(5) fe- &i«gj + fc« £ + — + &.<& (» - 1, 2, ... »)

und führen die congruenten Substitutionen (4) und (5) in (2) aus.
Hierauf lösen wir die transformirten Gleichungen nach den £< auf; wir
erhalten dann eine neue lineare Substitution, die durch

(6) KrttiK+c»** + -" + cm< (»'-i/2, . . .»)

gegeben sei. Geht eine Substitution (2) auf die eben beschriebene
Weise durch lineare Substitution in eine Substitution (6) über, so
nennen wir die Substitutionen (2) und (6) äquivalent.
Wir setzen jetzt

au#i + a2k%2 H h »»*#„ — /*(#)/

cna?i + c2i^2 H r- Cfii ^n = g(%')k

und bilden die bilinearen Formen

-4 = ^?ukf(x)k =^?aikXiUk (£, & «= 1, 2, . . . w),

G=^u'kg(x')k ^yjctkX'iU'k (», fe = 1,2,. .'. n).

Die charakteristische Determinante der Substitution (2) ist identisch
mit derjenigen der bilinearen Form -4; das Gleiche gilt für die Sub-
stitution (6) und die Form G.

Geht nun durch die lineare Substitution (4) f(x)t in f(x')t über,
so wird ^4. durch (4) in

(7) ^V'(*>
übergeführt; setzen wir nun noch in (7)

(8) n[ - hilUl + bi2u2 + • • ■ + &,.«. (t - 1, 2, . . . »),
so erhalten wir ^ , ^ , , a

Nun sind aber vermöge (4) und (8) die Variabelen x-, und u,- contra-
gredient; daher sind A und G ähnliche Formen, weshalb die Sub-

Aehnliche und duale Formen. 157

stitutionen A und G, d. h. die Substitutionen (2) und (6) (vergl. 11)
auch ähnliche Substitutionen genannt werden. Die charakteristischen
Determinanten der Substitutionen (2) und (6) sind aber bez. identisch
mit denen der Formen A und G. Also gilt nach Theorem XXI
der Satz:

XXIII. Zwei lineare Substitutionen sind dann und nur dann
äquivalent, wenn die Elementartheiler ihrer charak-
teristischen Determinanten übereinstimmen.

Aus dem Theorem XXII folgt ohne weiteres, da \IE — A\ mit
(3) identisch ist:

XXIV. Man kann für ein gegebenes n lineare Substitutionen
(2) aufstellen, deren charakteristische Determinanten
vorgeschriebene Elementartheiler besitzen.

Gehören zur Determinante (3) die ET
(9) (X-cayo (<y=l, 2,...m),

so sagen wir, die lineare Substitution (2) habe die Charakteristik

[(elf ...)... (e0, ...).. .]
und Massificiren — unter Zugrundelegung des eben eingeführten
Aequivalenzbegriffes — in bekannter Weise die linearen Substitutionen (2)
bei gegebenem n. Die Normalformen für die einzelnen Klassen entnimmt
man im Falle n — 1, 2, 3, 4 unmittelbar aus 78.

Man hat z. B. für n = 3:

1. [in] : £2 = c2x2,

'3 == C3 ^3 *

2. [(n)]i: Normalform, wie bei 1., aber cx = c2 .

3. [(in)]: „ , „ „ 1., „ Cl = c2=c3.

fei == CA ;

4. [21] : |2 = ^+ q^2,

53 = C2 Xs .

5. [(21)] : Normalform, wie bei 4., aber c1= e2.

6- [3] :i2 = x1+ c±x2 ,

Cl#3

Allgemein wird, wenn (3) die ET (9) besitzt, die Normalform
von (2) gleich:

(t, Tc - 1, 2, . . . n)

158 § n> 79-80.

|2= ^ +c2rr2, ^l+2= #,1+i 4-^^+2, ... |„_ÄOT+2 = flJn-«m+i + cOTa;«_tffll+2,

wobei die Anmerkung S. 153 zu berücksichtigen ist.

80. Die vorstehenden Betrachtungen über lineare Substitutionen
lassen sich noch etwas allgemeiner gestalten. Man definirt nämlich
eine lineare Substitution auch wie folgt: Es seien

$ — ^jPbikXiUt =^Uiil>(x)i

zwei bilineare Formen von je 2n Variabelen; die Determinante von ty
sei nicht Null. Dann ist durch die n Gleichungen

(10) H$)i-<P(x)i (t-1/2,...*)

eine lineare Substitution gegeben; man erhält sie in expliciter Form,
durch Auflösung der n Gleichungen nach den g*. Es werde alsdann etwa

(11) li = CUX! + CtiO* H h CniXn (t — 1, 2, . . . »).

Die Determinante |AX^ + A2qp| heisst die charakteristische Deter-
minante der linearen Substitution (10). Sind ihre ET gleich
(b„Xi + aalja (p — 1, 2, . . . 0»), so sagt man, die Substitution habe
die Charakteristik ^ ) ^ ) -^
Setzt man nun in (10)

(12) Xi = sux[ + s2iX2-\ hs»*a;I) ^ g .

(13) |f - Si,g{ +5»£J + •+**< IJj
wo die Determinante V?-i- s s. . s 4= 0

ist, und componirt das erhaltene System von w Gleichungen w-mal mit
irgend welchen w2 Grössen

fo, */,... 4* (* — 1, 2, . . . w),
deren Determinante nicht Null sei, so erhält man n lineare Gleichungen
von der Gestalt

(14) H5')'-V(a0< (»-1,2,...»).
Setzt man nun weiter

(15) ui - th u[ + tu tti H h t<„ tt* (t = 1, 2, . . . n),

dann geht durch die linearen Substitutionen (12) und (15) die Form
<p in y — ^9(rf)i*h die Form ♦ in ^= ^y(%')iu! über. Da nun

* Vergl. Netto, Acta math. Bd. 17, S. 45.

Aehnliche und duale Formen. 159

die Determinante | ty | nicht Null ist, und ebenso die Determinanten der
Substitutionen (12) und (15) von Null verschieden sind, so ist auch
| iß j nicht Null. Die Determinante j Hjj | ist aber identisch mit der-
jenigen der n linearen Formen p(Jtf)i in (14). Also ist auch durch
(14) eine lineare Substitution gegeben, die explicite

(16) |S — c'uXl + CuXi H h CniXn

lauten möge.

Geht eine Substitution (10) auf die beschriebene Weise durch
Substitution und Komposition — - oder auch umgekehrt, da es auf die
Reihenfolge dieser Operationen nicht ankommt — in eine Substitution
(14) über, so heissen die beiden Substitutionen (10) und (14) äquivalent.

Da die charakteristischen Determinanten der Substitution (10) und
(14) mit den Determinanten der Schaaren Xt1> -{- X%(p und Xt!ji -f- i2<jp
bez. identisch sind, so folgt aus den Weierstrass'schen Theoremen,
dass die Sätze XXIII und XIV auch bei dieser Definition der linearen
Substitutionen und der Aequivalens zweier linearer Substitutionen Wort
für Wort giltig bleiben; ebenso m.m. das Folgende in 79.

Für ty = xtut -f- x2u2 H + xnun, für Xt =2, A2 = — 1 und für den

Fall, dass die Substitutionen (12) und (15) ähnliche sind, gehen diese
Betrachtungen, die namentlich in neueren geometrischen Arbeiten der
italienischen Mathematiker (Segre, Calö, Predella u. A.) über die
Collineationen zur Verwendung kommen, in diejenigen des vorigen
Artikels über.

81. Sind A und B duale Formen, so sind B' und A ähnlich (13),
also die ET von \XE — B'\ und \IE — A\ dieselben (Theorem XXI);
nun ist aber die Determinante \XE — B' | mit der Determinante
\XE — B\ identisch; also stimmen die ET von \XE—A\ und von
\XE—B\ überein. Auch das Umgekehrte ist giltig. Also:
XXV. Zwei Formen sind dann und nur dann dual, wenn
die Elementartheiler ihrer charakteristischen Deter-
minanten übereinstimmen.

Mit Rücksicht auf Theorem XXI gilt also der Satz:

21) Aehnliche Formen sind stets auch dual, und umgekehrt.
Endlich folgt aus XXV:

22) Jede bilineare Form mit contragredienten Variabelen ist zu sich
selbst dual.

Die Resultate dieses Paragraphen werden im Folgenden vielfache
Verwendung finden. Zunächst erledigen wir die Frage, welche be-
sondere Beschaffenheit lineare Substitutionen haben müssen, um ge-
eignet zu sein, eine bilineare Form in sich selbst zu transformiren auf
Grund unserer Untersuchungen über consrruente und ähnliche Formen.

160 § 12, 82.

§ 12. Lineare Transformationen der bilinearen Formen in sich selbst.*
1. Transformationen ohne weitere Beschränkung.

82. a) Es gehe die bilineare Form

A — ^?aikXiyk (?', h — 1, 2, . . . n)

durch die linearen Substitutionen** P und Q in sich selbst über, es
sei also symbolisch a = j> aq

wo c eine Konstante bedeutet, die weder Null noch unendlich ist.
Setzt man

so ist

p,aq.-*±<>-a;

es besteht also dann immer eine symbolische Gleichung

(1) A-PAQ,

wenn wir wieder P für P„, $ für Q„ schreiben.***

Sind nun U und V zwei ordinäre Formen, so folgt aus (1)
(UPU-1){VAV){V-1QV)= UAV
oder, wenn ^F=^ UPU-*-Pu V->QV=Q1
gesetzt wird, P^ft-^.

Geht also ^4 durch zwei beliebige Substitutionen £7, V in ^4X über,
durch zwei Substitutionen P, § aDer m si°n selbst, so wird At durch
zwei zu P und Q ähnliche Substitutionen P1} Qt in sich selbst trans-
formirt.

b) Sei wieder A = FAQ, ferner E = xt yx +t x2 y2 + •'•• %%V*}
dann ist
(X1E+X2P)AQ = X,AQ + X2PAQ - A^Ö + AX2 = A(X1Q + VE);

hieraus folgt für den Fall, dass | A\=\=0 ist,

X,Q + X2E = A-^X^ + X2P)AQ
bei beliebigen Xt\X2. Die Schaaren XXE + X2P und X1Q + X2E sind
also äquivalent. Umgekehrt: Sind diese Schaaren äquivalent, so giebt
es Substitutionen A und B derart, dass

* Vergl. zu diesem Paragraphen: Frobenius, Crelle's Journ. (78) Bd. 84,
S. 29 ff.

** Mit nicht verschwindenden Determinanten. So immer im Flgd., wenn
nichts Näheres bemerkt ist.

*** In der Theorie der linearen Substitutionen werden zwei Substitutionen P und
cP als nicht wesentlich verschieden betrachtet. Dieses ist auch später bei den
Betrachtungen über die orthogonalen und cyklischen Substitutionen zu beachten.

Lineare Transformationen der bilinearen Formen in sich selbst. Ißl

X±E + X2P - ^(Ax § + ^JEI)B
ist, wo J. und B nicht von 2X | X2 abhängen und | A | =4= 0, I? =j= 0 ist.
Daher ist AQB = E, AB = P,

(PA Q)B = P (AQB) = PE = P = AB
und weiter PAQ=A

Also gilt der Satz:

23) Zwei Substitutionen P und Q sind dann und nur dann ge-
eignet eine ordinäre bilineare Form in sich selbst zu transformiren, wenn
die ScJiaaren X±E -\- X2P und XXQ + X2E äquivalent sind.

Ist also in ET zerlegt etwa

(2) \XlE+X2P\ = (X, + ct X2f (X, + c2 A2f . . . (A, + cm X2)e™,

dann hat man für | Ax Q + X2 E | nach Theorem VIII folgende Zer-
legung in ET

\xlQ + x%E\-\Q\-(xi + cl x2y> (x, + c2 x2y* . . . (xt + cmx^.

Vertauscht man nun in der letzten Gleichung X1 mit X2y setzt alsdann
Xl = X, X2= — 1, so erhält man, da

ist, in ET zerlegt ' Q ' ' ^ t^'-c^s=1

(3) |X*-«|-(»-ij*(*-l)*...(x-^.

Setzt man aber in (2) Xt = A, X2 = — l und vergleicht die so erhaltene
Gleichung mit (3), so ergiebt sich das Theorem:*
XXVI. Damit zwei Substitutionen P und Q geeignet seien,
eine ordinäre bilineare Form in sich selbst zu trans-
formiren, ist nothwendig und hinreichend, dass die
Elementartheiler ihrer charakteristischen Deter-
minanten einander so zugeordnet werden können,
dass die entsprechenden von gleichem Grade sind
und für reciproke Werthe von X verschwinden.
83. Es sei nun A eine singulare bilineare Form, \ A\ sei vom
Range r und P, Q seien Substitutionen, welche A in sich selbst trans-
formiren. Wir setzen

-#i — Si&H V ocryry E2 = xr+1ijr+1-\ \-xnyn,

sodass also

(4) E = El + E1
ist. Alsdann bestehen die Gleichungen

(5) E\=.EU EI = E2, E.Et-J^E.-O.

Die Form A lässt sich so in A transformiren, dass n — r Variabelen-
paare wegfallen (vergl. 53, Schluss); als Form von r Variabelenpaaren

* Frobenius, 1. c. S. 31.

Muth, Elementartiieiler. U

162 § 12, 83.

ist A ordinär, lässt sich also in xxy%-\- x^y -\- • - • -\- xryr transformiren,
wie an sich klar ist. Es giebt daher Substitutionen JJ, V derart, dass

E1 = VA V
ist, und daher giebt es nach 82 a) zwei zu P und Q bez. ähnliche Sub-
stitutionen P0, Q0, die E1 in sich selbst transformiren ; wir haben also
eine Gleichung P^Q^ Eu

aus der wegen (5) die Gleichungen

(6) {E^E^E, QtEt) - Elt (E^E^E, Q0Ea) = 0

folgen, wo q, 6 = 1, 2 sind, aber nicht gleichzeitig gleich 1 sein
dürfen. Setzt man kurz allgemein

so hat man daher nach (6)

(7) PnQn-Ei, P«l&a = 0;

dabei ist Pn der Theil von P0, welcher die Variabelen

xly . . . xn yly . . . yr
enthält, P12 derjenige, der die Variabelen

xly . . . xr, ?/r-|_i, . . . y%9
P21 derjenige, welcher die Variabelen

a?/-+i> • • • &H) Vij • - • Vr
enthält, u. s. w.; Analoges gilt von Q1U Q12, . . .

Nun ist für die Formen Pn, Qn, aufgefasst als Funktionen der
Variabelen xly . . .xr, yu . . . yn wegen (7)

lAiöui-iPui-ieui-ii

alsoist IAil+0, |Gul + o. ■

Ferner folgt aus der Gleichung Pn Q12 = 0, da | Pn j =j= 0 ist,

Die Gleichung Pn §12 = 0 repräsentirt nämlich das Gleichungssystem

(8) pMiqi* + Pfiiq**-\ hPttrqrv — 0

für p — 1, 2, . . . r, v = r + 1 , r -f 2, . . . n nach Satz a) in 22 und
Gleich. (5) in 10, wenn

gesetzt wird. Nimmt man aber für ein bestimmtes v in (8) der Reihe
nach f* — 1, 2, . . . r,

so hat man für &,, . . . gr„ als Unbekannte r homegene Gleichungen mit
nicht verschwindender Determinante ^±pn, Pn • • • Pti daher muss

Lineare Transformationen der bilinearen Formen in sich selbst. 163

qlv = q2v = ... = qrv = 0
sein. Dies gilt für v = r + 1, . . . n} d.h. Q12 ist identisch Null. Ana-
log zeigt man, dass wegen | Qn | =j= 0 aus der Gleichung P21 Qn — 0

p„-o

sich ergiebt.

Wegen P21 = 0 hat man aber

(9) ' \XE-P\ = \XE1-Pll\-\IE,-P2,\,

wegen §12 = 0

(10) i^-öhi^-^H^-fel.

Aus (7) folgt weiter

Qn ist also eine rationale Funktion von Pn (15); sind daher ct, c2,. . . cr
die Wurzeln der Gleichung

la^-Pn-l-o,

so sind nach 16, Schluss

11 1

_, _, ... —

die Wurzeln der Gleichung

Nach (9) und (10) sind aber cly c2, . . . cr auch Wurzeln von | iE— P
und — ? — 7 auch solche von \IE— Q I. Also gilt der Satz:

Cx C2 Cr 1 x> , ö

£4) is£ A singulär, \ A \ vom Bange r, und sind P, Q Substitutionen,
die A in sich selbst transformiren, so besitzen die charakteristiscJien Gleich-
ungen von P und Q r reciproke Wurzeln.

Folgerung: Ist die Gesammtzahl der reciproken Wurzeln dieser
Gleichungen r', so ist r <V

Oder in Worten:

25) Wird eine Form durch zwei Substitutionen in sich selbst trans-
formirt, so kann der Rang ihrer Determinante nicht grösser sein, als die
Anzahl der reciproken Wurzeln, welche ihre charakteristischen Gleichungen
haben.

Daraus folgt aber sofort der für uns sehr wichtige Satz:

26) Wird eine Form durch zwei Substitutionen in sich selbst trans-
formirt, deren charakteristische Gleichungen keine reciproken Wurzeln haben,
so muss sie identisch verschwinden.

2. Congruente Transformationen allgemeiner Formen.

84. Die Form A gehe durch die congruenten Substitutionen P\ P
in sich selbst über; dann können wir wieder symbolisch geradezu

11*

164 §12,84-85.

(11) A-P*AP

setzen (vergl. 82, Anfang).

Ist nun G eine beliebige Form, ist ferner | G | =4* 0, so folgt

aus (11) (G'P'Gt-i)(G'AG)(G-iPG) = G'A&\

setzt man hierin &AQ _ ^ Q_ipG _ ^

aus welch' letzterer Gleichung

folgt, so erhält man P' A P = A

Wenn eine Substitution P eine Form J. in sich selbst transformirt,
so transformirt jede zu P ähnliche Substitution eine zu A congruente
Form in sich selbst.

Ist A=\=0} so ist vorstehend auch J.0=j=0; ist A symmetrisch
oder alternirend, so gilt das Gleiche von Aq.

Aus A = P'AP folgt ferner

Q^E + X2P')AP -A&P+ X2E);

ist daher |J.|=(=0, so sind die Schaaren XXE + X2P' und XXP + X2E
äquivalent; nach Theorem VIII sind aber auch die Schaaren X1E+X2Pr
und XiE-\-X2P äquivalent; deshalb sind auch die Schaaren XXP+ X2E
und X1E+X2P äquivalent. Daher gilt der Satz* (vergl. den Beweis
von Satz XXVI in 82):

XXVII. Damit eine Substitution geeignet sei, eine ordinäre
bilineare Form in sich selbst zu transformiren, ist
nothwendig und hinreichend, dass dieElementartheiler
ihrer charakteristischen Determinante paarweise von
gleichem Grade sind und für reciproke Werthe von X
verschwinden, mit Ausnahme derjenigen, welche zur
Basis (X + l) oder (X— 1) gehören.
Der Vollständigkeit halber wollen wir noch einen Satz auf-
führen, der sich auf die Transformation einer singulären Form in sich
selbst bezieht, obwohl derselbe keine weitere Verwendung findet. Er
folgt unmittelbar aus Satz 24 in 83 f ür Q = P, P = P' und lautet:

27) Ist A singulär, \ A \ vom Range r, und geht A durch die lineare
Substitution P in sich selbst über, so ist die clmraltteristisclie Determinante
von P durch eine reciproke Funktion rten Grades tlwilbar.

85. Im Folgenden bedürfen wir noch gewisser Betrachtungen über
zerlegbare Substitutionen.

* Frobenius, 1. c. S. 34

Lineare Transformationen der bilinearen Formen in sich selbst. 165

Sei P'AP = i und P in die Theile P1} P2 zerlegbar; Pt ent-
halte die Variabelen . .

*ßi Jfc(f* — 1| 2>- • •»•),

Po die Variabelen „ Mt , , -, . 0 N

2 av, yv (y = m + 1, m + 2, . . . »).

Setzen wir dann F±=^xM yM (jt - 1 , 2, .. . w),

E2=^xv yv (v — w -f 1, m + 2, . . . w),

so ist für p — 1 , 2

P«, = ^P - PJ% = ii'oP^o - ^Pv - P^.

Aus P'ÄP=A folgt daher, da P' und P in gleicher Weise zer-
legbar sind (22), für q, a =1, 2

EQAEa = EQ(P'AP)Ea - (FQP')A(PFa) = (P^EQ)A{P0Ea),

oder'wenn ^ä-.^.

gesetzt wird,

Wir machen nunmehr die weitere Annahme, dass keine Wurzel
der charakteristischen Gleichung von Pt zu einer Wurzel derjenigen
von P2 reciprok ist. Die charakteristischen Gleichungen von P1 und
P/, ebenso die von P2 und P2 sind aber identisch; aus der Gleichung

folgt daher

aus der Gleichung

nach Satz 26) in 83. Die Gleichungen A12 = A21 — 0 besagen, dass
A in die Theile Atl und A22 zerlegbar ist (vergl. 83). Also:

28) Wird eine Form durch eine zerlegbare Substitution in sich selbst
transformirt, und haben die charakteristischen Gleichungen der beiden
Theile der Substitution keine reciproken Wurzeln, so ist die Form in der-
selben Weise zerlegbar, wie die Substitution.

Noch zum Schlüsse eine für das Folgende wichtige Bemerkuno-!
Ist | A | =|= 0, und man setzt

U=A-1A',

SOi8t ü>=AA'-i,

U'AU= (AA'-i) A(A~1A') = A.

Jede ordinäre Form A wird also durch die Substitution

A-iA'
in sich selbst transformirt.

P\ A12 P2 —

: -"18

■"12 =

= o,

^^A21P1 =

■ A21

-"21 =

0

166 § 12> 86-

3. Congruente Transformationen der symmetrischen
nnd alternirenden Formen.
86. Wir beweisen zunächst den Satz:

29) Jede Substitution U, welche eine symmetrische Form S [alternirende
Form T] mit nicU verschwindender Determinante in sich selbst überführt,
und für welche die Determinante von E + U [E — U] nicht Null ist,
lässt sich, und zwar in nur einer Weise, auf die Gestalt

(12) Ü=(S+T)-*(S-T)

bringen, tvo

dB) '-«fcS [«-*£?]

eine alternirende [symmetrische] Form bedeutet.

Seien zunächst S und T beliebige Formen, sei \8 + T\ 4= 0 und
U durch (12) definirt. Dann ist wegen (12)

(fl + T)(E + ü) - 8 + T+ (8 + T) U- S + T+ 8 -T,

(14) {8 + T){B+Ü)-28;
analog findet man

(15) (8 + T)(E-ü)-2T.

Setzen wir weiter voraus, dass |fif| + 0 [| T\ + 0] sei, so ist
auch wegen (14) [(15)]

\B+U\=^=0 [\E-V] + 0.
Nun folgt aus (12)

(ß + T) 1/ - S - T,

SU+ TU = S-T,
T + TU -S-SZ7,

(16) T(£+10 =S(E-Ü) ,

und hieraus, da | # -f *7 j 4= 0 [| jE - 17 1] + ° ist> die Gleichung (13).

Umgekehrt folgt, wenn

#4*0, |.E+£/i4=0 0^1 + °. |Ä- l7| + 0]
ist, aus (13) die Gleichung (12).

Wir setzen nun endlich voraus, dass die Substitution U die
symmetrische bilineare Form 8 in sich selbst überführe, dass also
symbolisch

(17) S=U'SU

sei; ferner nehmen wir an, dass \E+ U\ 4=0 sei. Dann können wir
nach dem Vorhergehenden eine Form T bestimmen derart, dass

U^^S + T)-1 (S + T)
wird. Wir behaupten, dass unter der über U gemachten Voraus-
setzung T eine alternirende Form ist. Denn die Formen T und

Lineare Transformationen der bilinearen Formen in sich selbst. 167

10=(E+ U')T(E+Ü)
sind congruent; nun folgt aber aus (13) die Gleichung (16); daher ist

TQ=(E + Ü')S(E- U)-S + Ü'S-SÜ- ü'Sü
oder wegen (17) ^ _ Ü'S-SÜ',

aus dieser Gleichung folgt aber, da Sf = S ist,

Tl = SU- U'S,
aus den beiden letzten Gleichungen endlich

T = — T

Also ist T0 alternirend, dasselbe gilt von dem zu T0 congruenten T,
und damit ist die Behauptung bewiesen.

Ganz analog beweist man den auf ein alternirendes T bezüglichen
Theil des Satzes 29) mittelst der Gleichung

S0=(E- Ü')S(E- Ü) = (E- Ü')T(E+ U) = TU- ü' T;
hier wird S^ - ü! T + TU = S0.

87. Wir benützen das Vorhergehende, um den Charakter der
Substitutionen zu ermitteln, welche geeignet sind, eine symmetrische
falternirende] ordinäre Form in sich selbst zu transformiren.

Angenommen P genüge den Bedingungen des Satzes XXVII.
Dann giebt es eine Form A derart, dass

A = P'AP

ist. Hieraus folgt aber

A'-P'A'P, A + A'=P'(A + A')P, A-A!=P'(A-A')P.
Es giebt mithin unter gemachter Voraussetzung auch immer eine
symmetrische Form S = A-\-Af und eine alternirende Form T=A — A'}
welche durch P in sich selbst übergehen. Aber es kann die Deter-
minante von S oder von T Null sein, ja es kann sogar vorkommen,
dass S oder T identisch Null ist. Es fragt sich aber, welches der
Charakter einer Substitution ist, welche eine ordinäre symmetrische
[alternirende] Form in sich selbst transformirt.

a) Um diese Frage zu beantworten, nehmen wir zunächst einmal
an, dass die charakteristische Determinante \IE — P\ von P nur für
einen Werth X = s verschwindet, dessen Quadrat gleich Eins ist.
Alsdann ist \ sE 4- PI 4=0

Ist nun S [T] eine ordinäre symmetrische [alternirende] Form, die
durch P in sich selbst übergeht, so ist auch

U=eP [ü = -eP]
eine Substitution, welche S [T] in sich selbst transformirt. Diese
Form U hat aber die weitere Eigenschaft, dass

168 § 12. 87.

|JB+I7|+0 [\JS-U\+0]
ist. Daher kann man nach Satz 29) in 86

U=(S + T)-i (5-10
setzen, wo T [S\ eine alternirende [symmetrische] Form bedeutet. Setzen
wir nun S + T = A,

so wird, da S — 1 — A\

eP^A-tA' [-sP-A-tA']
und weiter
(18) A(XE - P) - XA - bA> [A(XE -P)-XA + sA'].

Nun hat aber nach Theorem XIX die Determinante \XA — sA'\
[\XA + eA'\] die ET von der Gestalt

(X - £f* [{X - f)2^1]
stets zweimal] wegen (18) gilt das Gleiche von \Xe — P\. Also: Die
ET der Determinante \XE—P\ von der Gestalt

(X-af* [(A-f)2**1]
sind stets paariveise vorhanden.

b) Es sei nun P irgend eine Substitution, welche eine ordinäre
symmetrische Form S in sich selbst überführt, und in ET zerlegt

9P(A)H*-E--P|-9>i«V.(A),

wo (f1(l) das Produkt aller ET vorstellt, die für X = s (£2=1) ver-
schwinden; es ist also , N , ~

?,(«) + 0,

dagegen kann cp2(— s) = 0 sein. Ist der Faktor (pt(X) von tp(X) vom
mten Grade in X, dann sei P1 eine Form der Variabelen

*m V^=\ 2, ...w)
derart, dass für Ei-= x1y1-\- x2y2-\- • • • + xmym, in ET zerlegt,

|X^-P4 1-^(1),
und P2 eine Form der Variabelen #„, y, (v — I» + 1, m + 2, . . . n)
derart, dass für E2 = xm+ iym+i + • ■ ■ + ocnyny in ET zerlegt,

\XE2-P2\ = <p2(X)
wird (Theorem XXII). Dann ist nach Theorem V, wenn

gesetzt wird, in ET zerlegt,

daher sind die Formen P0 und P ähnlich (Theorem XXI); | P0 j ist
nicht Null, weil | P | =(= 0 ist; also sind wegen

IPol-IPiH-Ptl

auch | Px ■ und P2 von Null verschieden.

Lineare Transformationen der bilinearen Formen in sich selbst. 169

Da aber P0 und P ähnliche Formen sind, so giebt es nach 84
eine zu S congruente Form #0, welche durch P0 in sich selbst trans-
formirt wird. P0 ist aber zerlegbar, die charakteristische Determinante
des einen Theiles P1 verschwindet für 1 — e, die des anderen aber
nicht für l= — = e7 also sind die Formen P0 und 80 nach Satz 28)
in 85 in derselben Weise zerlegbar. Es sei nun S0, so zerlegt wie
P0, gleich S± + S2. Dann sind wegen | S0 | =)= 0 auch | St | =j= 0, | S2 | =)= 0.
Da 8 symmetrisch ist, so ist es auch S0, und zwar müssen beide
Theile von S0 symmetrisch sein. Weiter ist (22)

P^S0P0= (PJ + PQfa + Si)(P1 + P2) = PIS^^ P'2S,P2

^o^o Po = S0 = St + S.2,
P^P.+ P^P^S.+ S,.

Aus der letzten Gleichung folgt aber, da S± und S2 keine Variabele
gemeinsam haben, p,^ _ ^ p,^ = ^

Die ordinäre symmetrische Form 8t geht also durch eine Substitution
Px in sich selbst über, deren charakteristische Determinante nur für
X = s Null ist. Nach dem oben unter a) Gezeigten sind daher die
ET dieser Determinante von der Gestalt (X ~~ e)2* doppelt vorhanden;
das Gleiche gilt für die Determinante \Xs — P|, s kann +1 oder — 1
sein, also sind die ET der Determinante \Xe — P\ von der Gestalt
(l — l)2x und (A + l)2x paarweise vorhanden.

Für eine alternirende Form T beweist man analog mittelst des
Resultates unter a) oben, dass, wenn

T=P'TP, |T;4=0
ist, die charakteristische Determinante \Xe— P\ von P die ET von der

Gestalt (a-iy+s (i+iy+*

doppelt besitzt.

c) Wir behaupten nun, dass die unter c) gefundenen Bedingungen
zusammen mit denen des Satzes XXVII nicht nur nothwendig, sondern
auch hinreichend dafür sind, dass die Substitution P eine ordinäre
symmetrische [alternirende] Form in sich selbst transformirt, dass also
folgender Satz von Frobenius gilt:*

XXVIII. Damit eine Substitution geeignet sei eine ordinäre
symmetrische [alternirende] bilineare Form in sich
selbst zu transformiren, ist nothwendigundhinreichend,
dass die Elementartheiler ihrer charakteristischen
Determinante paarweise von gleichem Grade sind

* 1. c S.41.

170 § 12, 87.

und für reciproke Werthe verschwinden, mit Aus-
nahme derer, die für die Werthe -j- 1 oder —1 Null
sind und einen ungeraden [geraden] Exponenten haben.
Wir können uns beim Beweise auf die symmetrischen Formen
beschränken , da derselbe für alternirende ganz analog ist.
Es sei, in ET zerlegt,

cp(X) = \XE-P\ = <p1(X)-<p2(X),
wo qpj(A) das Produkt aller ET vorstelle, die für

X = -l
Null sind; cp(X) sei vom mten Grade in X* Dann giebt es eine Form
XA± + A[ der Veränderlichen

3/»! |fri(f* =1, 2, ... m)
derart, dass, in ET zerlegt,

\lA1 + A[\=<flQ.),
und eine Form XA2 — A'2 der Variabelen

%v, y*(v — m + 1, m + 2, . . . n)
derart, dass, in ET zerlegt,

\XA2-At2\=(p2(X)

wird. Denn wird z. B. <p2(X), wenn X — — y- gesetzt und dann mit A£~m

2
multiplizirt wird, zu <p[(Xly A2), so sind die Faktoren von y[(X{, X2)

— bei der durch y2{X) gegebenen Zerlegung — paarweise gleichen

Grades und für reciproke Werthe von -+ gleich Null, die Faktoren

von der Gestalt {Xl -f X2)2x sind doppelt vorhanden, die von der Gestalt

(Aj + A2)2x+1 in gerader oder ungerader Zahl; daher giebt es nach

Theorem XX eine Form A^ derart, dass, in ET zerlegt,

[X^-h X2A^\^<p^Xu X2)

ist. Nun ist |^|=4=0, da <p(0)=f=0 ist; ferner wird für Xx= X,

X2 = -l \XA2-A^\ = cp2(X)f

und zwar ist, in ET zerlegt, | XA2 - A'2 1 = y2(X) (37). — Auch j Ai \

ist nicht Null, ferner nach Voraussetzung

und somit, wenn wir

Ai + A[ = Sl, A2 + A'2 = S2

setzen> S0=SL + S2

eine symmetrische Form, deren Determinante nicht Null ist. Setzen

wir daher weiter

* Für m = 0 "bleibt das Folgd. mit selbstverständlichen Modifikationen be-
stehen.

Lineare Transformationen der bilinearen Formen in sich selbst. 171

-A-iA{ = Pl, ^Al-P9, PX + P2=PQ,

so wird

Äi(XE1 - Px) = AJL, + 4[, 4>(>lJ?2 - P2) - XA2 - A'¥

Daher sind die Determinanten \XEl—P1\ und \XE2 — P2j, in ET
zerlegt, gerade gleich (px(X) bez. g?2W; mithin ist, in ET zerlegt, nach
Theorem V

Die Formen P und P0 sind also ähnlich (Theorem XXI), woraus zu-
gleich folgt, dass | P0 1 =}= 0 ist. Nach 85, Schluss, hat man aber

P'1A1P1 = Alt

folgt. Daher wird pf ~ _ _ Q

■*i ^i "i — "i
und analog p,nP _ Q

^r2o2^2 — o2,

woraus endlich (P{ + Pi)(S1 + ^2)(P1 + P2) - 8t + S2 (22) oder

•*0 ^0 *M) == ^0

sich ergiebt. Es existirt also eine ordinäre symmetrische Form S0>
die durch P0 in sich übergeht. Nach 84 transformirt daher auch
die zu P0 ähnliche Substitution P eine zu S0 congruente Form, also
ebenfalls eine symmetrische Form mit nicht verschwindender Deter-
minante in sich selbst, w. z. b. w.

88. Ist nun cp(X) ein Produkt von Potenzen linearer Funktionen
von 2, welche die in dem Theoreme XXVIII — soweit es sich auf
symmetrische Formen bezieht — für die ET von \XE—P\ an-
gegebene Beschaffenheit zeigen, dann giebt es, wenn cp(X) vom Grade
n in X ist, nach Theorem XXIV in 79 eine lineare Substitution P:

(19) Xi = SUX[ -f S2i%i H YSniXn (i — 1, 2, . . . »),

deren charakteristische Funktion, in ET zerlegt, gerade <p(X) ist.
Daher giebt es nach dem eben bewiesenen Satze XXVIII eine sym-
metrische Form S von 2n Variabelen xi} yiy welche durch die Sub-
stitutionen (19) und

(20) yi — sliy[ -f s2iy'2 H h Smyl

in sich selbst transformirt wird- dabei ist j#|=|=0. Es sei nun S0
irgend eine andere ordinäre symmetrische Form von 2w Variabelen;
dann sind nach 76, Satz 19) die Formen S0 und $ congruent, und
es giebt daher (nach 84) zu (19) bez. (20) ähnliche Substitutionen,
welche S0 congruent in sich selbst transformiren. Da nun aber die

172 § 12,88 u. § 13, 89.

charakteristischen Determinanten dieser Substitutionen mit denen von
(19) und (20) in den ETn übereinstimmen , so gilt der Satz:
XXIX. Es giebt Substitutionen, die eine gegebene ordinäre
symmetrische [alternirende] bilineare Form in sich
selbst transformiren, deren charakteristische Deter-
minanten vorgeschriebene Elementartheiler — im
Sinne des Theorems XXVIII — besitzen.
Für alternirende Formen erledigt sich der Beweis ganz analog.
In den Theoremen XVIII und XXIX kann man für „symmetrische
bilineare Form" sagen „quadratische Form" (63) und erhält so zwei
TJieoreme über quadratische Formen, die namentlich für die Geometrie
von ausserordentlichem Interesse sind.

Man kann auf Grund des Theorems XXIX die Substitutionen Idassi-
ficiren, die eine gegebene symmetrische bilineare (quadratische) oder alter-
nirende Form in sich selbst transformiren, indem man sich eines wieder-
holt angewandten Principes bedient. Man setzt dabei in der Charakteristik
einer Substitution (79) über die Exponenten, welche sich auf die Basis
X + 1 (X — l) beziehen ein — (+) Zeichen. Die zu den einzelnen
Klassen gehörigen Normalformen erhält man aus 79.
Zum Beispiel hat man folgende
Klassen der Substitutionen, welche eine ordinäre ternäre quadratische
Form in sich selbst transformiren.

1.

[nt]*

r+++n

: x1 = ctxlf

1 r

X2 ~~ c X2>

f

%3 — %S'
i

2.

[lll]

: xL = xlf

x2 = x2f

X^ — X^.

3.

[lll]

: xx = x1}

2 === 27

x§ = — xs

4.

[t]

: x± = xlf

X2 — X-t ~j~ i

X2y

Xq == X ~~\~

Man kann hier leicht ternäre quadratische Formen angeben, die
durch vorstehende Substitutionen bez. in sich selbst übergehen. Durch
1. — 3. wird die Form xix2-\- x\, durch 4. die Form

X< -| *J X a ^ X-t Xq T: Xi JCq

in sich selbst transformirt. U. s.w.

§ 13. Orthogonale und cyklische Formen.

89. Zu den Substitutionen, welche eine ordinäre symmetrische
bilineare Form in sich selbst transformiren, gehören die orthogonalen
Substitutionen. Ist nämlich R eine solche Substitution, so hat man
symbolisch (13)

. * Man kann auch [1 lT] schreiben, da zwei Substitutionen P und — P
nicht wesentlich verschieden sind.

Orthogonale und cyklische Formen. 173

JS'-Jß-1, R'R = RR'=E, B*ER = E\

R transformirt also die symmetrische Form E = x1y1-\- ••• -f xnyn in
sich selbst. Daher folgt sofort aus Theorem XXVIII:*

XXX. Die Elementartheiler der charakteristischen Deter-
minante einer orthogonalen Substitution sind paar-
weise gleichen Grades und für reciproke Werthe
gleich Null, mit Ausnahme derjenigen, die für + 1
oder —1 verschwinden und einen ungeraden Ex-
ponenten haben.
Aus Theorem XXIX aber folgt unmittelbar der Satz:**
XXXIa. Es giebt bei gegebenem n orthogonale Substitutionen
für wVariabele, deren charakteristische Determinanten
vorgeschriebene Elementartheiler — im Sinne des
Theorems XXX — besitzen.

Auf Grund dieses Theorems kann man die orthogonalen Sub-
stitutionen Massificiren. Zu Normalformen für die Substitutionen der
einzelnen Klassen gelangt man mittelst der in § 12 angegebenen
Normalformen. Man ermittelt zunächst eine quadratische Form S,
die durch eine solche Substitution P in sich übergeht (S. 170— 171);
alsdann sucht man diejenige Substitution G, die S in E überführt,
und findet dann aus P und G eine Substitution P0, die E in sich
selbst transformirt (84, Anfang).

90. Von besonderem Interesse sind die reellen orthogonalen Sub-
stitutionen, die wir in 90 ausschliesslich in Betracht ziehen.

Es sei*** R eine reelle orthogonale Form von 2n Variabelen xiy y{,
ferner wieder E = x1yl -f • • ■ + xnyn und c eine Wurzel der Gleichung
\XE — R\ = 0. Sind dann, nach fallender Grösse geordnet, a} ß, y, . . .
die zur Basis X — c gehörenden ET von \XE—R\y so hat man für
(iE — R)—1 eine Entwickelung nach steigenden Potenzen von X — c
von der Form

(1) (IE - R)-i-A(X- c)-°+ B(X-c)-a+1-{----

Vergl. 71. Setzt man nun die rechte und linke Seite dieser Gleichung
mit (XE — R) zusammen, so kommt

woraus

* 1. c. S. 48 — 49.
** 1. c. S. 49.

♦** 1. C. S. 51 flcr

174 §13,90.

(X -c)"E- Ä(XE -R) + B(XE-R)(X-c) + .-->
und für X — C,

(2) A(cE-R) = 0

folgt. Ist nun für ]/— 1 = i, c = a + i&, so sei a — ib = c; ist

Ä^Al + iBu
so sei J.1— iJBj «=-4, wobei a, &, J.1? B, reelle Zahlen und Formen
bedeuten. Dann folgt aus (2) durch Vertauschung von i mit — i

(3) Ä(cE - R) = 0.
Es ist also nach (2) und (3)

JL22 = cA, AR = cZ

Aus der letzten Gleichung folgt weiter

B'Z'-cÄ'

und hieraus , * «www Ti\ - a Ti

(AR)(R'A') — ccAA';

nach Voraussetzung ist aber RR' >= E, sodass sich

AÄ' = ccAÄ', AÄ'{\ - cc) = 0
ergiebt. Nun kann aber AA' nicht Null sein (11, 5), also ist

\-cc = 0, cc = l, a2+b2=l.
Daher gilt der Satz*:

30) Die Wurzeln der cMraMeristischen Gleichung einer reellen
orthogonalen Substitution haben sämmtlich den Modul 1.

Wir benutzen jetzt die bekannte geometrische Darstellung com-
plexer Zahlen durch die Punkte einer Ebene. Die Reihe (1) convergirt
innerhalb eines gewissen, um c beschriebenen Kreises (Convergenz-
kreis), c selbst liegt nach Satz 30) auf dem Einheitskreise. Wir be-
schränken jetzt die Veränderliche X auf das Stück der Peripherie des
Einheitskreises, welches innerhalb des Convergenzkreises liegt. Nun
ergiebt sich aus (1) durch Zusammensetzung mit

mit Rücksicht auf 12, Schluss,

(R! - X^E)-1 = XRA{X - c)-° + ■ • •
Bildet man rechts und links die conjugirte Form, so wird

(B - X-'E)-1 = XA'R' (X - c)~a + • • •
Vertauscht man hierin i mit — i, so erhält man, da nach Voraussetz-
ung X-1 zu X und nach (54) Satz 30) r1 zu c conjugiert complex ist,

* Brioschi, Liouv. Journ. (54) Bd. 19, S. 253; Schläfli, Crelle's J. (66) Bd.65,
S. 186; Frobenius, Crelle's J. (78) Bd. 84, S. 52; Stickelberger: üeber reelle
orth. Subst., Progr. der eidgen. polyt. Schule für das Schuljahr 1877/78 (erstes
Halbjahr), Zürich 1877, S. III.

Orthogonale und cy Mische Formen. 175

(B -XE)-1=X-1Ä'B,(X~1 -c-1) -•+...
Hieraus folgt durch Multiplikation mit — E

(kE-B)-l = A'Br(r-l)a-teaX°-1(X-c)-a+--.

Jetzt entwickelt man noch Xa~ 1 nach Potenzen von X — c und setzt

(-l)a-1c2a-1=d',
alsdann erhält man die Gleichung
(4) (XE - E)-1 - dZ'R' (l -€)-«+•• •

Der Vergleich von (1) und (4) lehrt, dass

A = dl'R',

also _

ist. Nun ist aber AÄ' =|= 0, | Ä' | -j- 0, afco &* auch A2 ä= 0. (12, Anf.)
Differentiirt man die Gleichung (1) nach 2, so erhält man (21)
- (XE -B)-2 = - aA(X - c)-"-1 + • • -J
durch Zusammensetzung aber erhält man aus (1)

(XE - B) ~2 = A\X - c) ~2a + ■ • •
Der Vergleich der Exponenten von X — c in den Anfangsgliedern dieser
beiden Entwickelungen von (XE — 2t) ~~2 zeigt, dass

-2«=-«-l
oder

a = 1

ist; nach Theorem I ist dann auch ß = <y = . .. = 1. Also gilt das
Theorem:*

XXXII. Die charakteristische Determinante einer reellen
orthogonalen Substitution besitzt lauter lineare
Elem entartheiler.

Haben zwei reelle orthogonale Formen B1 und B2 dieselbe
charakteristische Determinante, so stimmen nach XXXII die ET von
\XE — RL\ und | XE — R2 1 überein. Denn steckt (X — c) zur aten Potenz
in | XE — RL | — | XE — B2 1, so hat jede dieser Determinanten den ET
(X — c) «-mal. Also:

31) Zwei orthogonale Formen mit reellen Koefficienten sind dann
und nur dann ähnlich, wenn sie dieselbe charakteristische Determinante
haben.**

* Frobenius, I.e. S. 53; Stickelberger, I.e. S. VII.

** Stickelberger, 1. c. Man kann eine reelle orthogonale Form in eine zu
ihr ähnliche reelle orthogonale Form durch eine reelle orthogonale Substitution
überführen. Denn es gilt der Satz:

Sind zwei (reelle) orthogonale Formen ähnlich, so sind sie auch congruent und
können durch eine (reelle) orthogonale Substitution in einander transformirt werden.
(Frobenius, Crelle's Journ. (78) Bd. 84, S. 59, SB 1896, S. 15.)

176

§ 13, 90.

Ist R eine reelle orthogonale von 2n Variabelen abhängige Sub-
stitution (Form), so ist nach den Sätzen XXX — XXXII, wenn e die
Basis der natürlichen Logarithmen bedeutet, in ET zerlegt,

(5)

WO

(6)

lE—B\ — (l — 4**)(X — e)-t*)...(l--**i)(l—e--i*i)

2$ Stück
(X-1)(X-1) . . . (X -1)(X + 1)(X + 1) .

(A + l),

o Stück

Stück

(?)

Wir wollen die rechte Seite von (5) mit gp(A) bezeichnen; es
fragt sich dann, ob es, wenn man bei gegebenem n in <p(A) die Zahlen
q, a, x beliebig, aber so wählt, dass (6) erfüllt ist, eine reelle ortho-
gonale Substitution B für 2n Variabele giebt derart, dass, in ET zer-
legt, gerade \XE-R\ = <p(X)

ist. Dieses ist in der That der Fall. Man betrachte nämlich die

folgende reelle orthogonale Substitution

xx = cos^i^— sin d-^2) ■ - -} x2Q-i = cos#£#2()_i— smdyXzQ,

.r2= sin^^-f cosO-j^, . . ., x2q = sin^ar2?-i-f- cos^xif,,

#2£ + l — #2^ + 1 ? t %2q + o = %Zq + o,

X^Q+a + l = — #2p + a + l> • • •) Xn = %n •

Das System der charakteristischen Determinante derselben ist zerleg-
bar; die ET von ix-cosfrj sin^

— sin ^ X — cos ^
sind
X — (cosO-j-f isin^) — l— eiSi und X — (cos&1 — ismd'1) = X — e-

u. s. w.; daher hat nach dem Satze V die charakteristische Deter-
minante von (7) die gewünschten ET. Also:

XXXIb. Es giebt bei gegebenem n reelle orthogonale Sub-
stitutionen für n Variabelen, deren charakteristische
Determinanten n vorgeschriebene Elementartheiler
besitzen.
Nach dem Satze XXIII kann jede reelle orthogonale Substitution
durch reelle* lineare Substitution auf die Normalform (7) gebracht
werden.**

t^j

* Und zwar durch reelle orthogonale Substitution. Vergl. 39 u. S. 175, Anm.
** Stickelberger, I.e. S.V.

Orthogonale und cyklische Formen. 177

91. Wir nennen eine Form (Substitution)

A = ^autxiyk (i, Je — 1, 2, . . . n)

eine cyklische Form (Substitution) mten Grades, wenn es eine
positive, ganze, endliche Zahl m giebt derart, dass die mte Potenz vonA
(15) gleich* E ist. A heisst eine primitive cyklische Form (Sub-
stitution) mten Grades, wenn es keine Zahl Km giebt, für die^=_E ist.
Ist A cyklisch mten Grades, P eine beliebige ordinäre Form, so
ist B = P~lAP gleichfalls cyklisch mten Grades. Denn es ist

B'n^ (P"liP)(p-llP) . . . (P-1AP)

- P~^AmP - P-'EP = E.

32) Ist A eine cyklische Form mten Grades, so ist jede m A ähn-
liche Form ebenfalls eine cyklische Form mten Grades.

Die cyklische Form mten Grades A genügt der Gleichung

Am-E = 0.
Die Gleichung ^-1=0

hat aber bekanntlich lauter verschiedene Wurzeln; folglich hat die
Determinante \XE — A\ nur lineare ET (17, Satz 8). Sei X — c ein
solcher, also c eine Wurzel der Gleichung | XE — A \ = 0, dann ist
nach dem Satze am Schlüsse von 16 cm eine Wurzel der Gleichung

| XE- Am\ ~\XE-E\ = (X- l)m=0;
also ist . "V-

cm=i, c = yi.

Besitzt umgekehrt die charakteristische Determinante einer Form A
nur lineare ET und zwar nur solche, die für mte Wurzeln aus 1 Null
sind, so ist A cyklisch mten Grades. Denn ist, in ET zerlegt,

\XE-A\ = (X-€l)(X-e2)...(X-£n),
wo e f = 1 (i = 1 , 2, . . . n) , so ist für

B = *!«!& + s%xiyl H h snxnyn

die Determinante \XE—B\, in ET zerlegt, ebenfalls gleich

(X-e1)(X-e2)...(X-en).

Also sind A und B ähnliche Formen (Th. XXI), B ist cyklisch mten
Grades, folglich auch A nach dem Satze 32.

XXXIII. Die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen
dafür, dass A eine cyklische Form mi6n Grades ist,

* Ist E = cAmi so ist für B=ycA geradezu Bm = E. Vergl. die Anmerk.
S. 160.

Muth, Elementartheiler. 12

178 § 13> 91-92.

bestellen darin, dass die charakteristische Deter-
minante von A nur lineare Elementartheiler besitzt,
und dass diese nur für mte Wurzeln aus Eins ver-
schwinden.*
Man erkennt leicht, dass A primitiv cyldisch mten Grades ist, wenn
\XE — A\ nur lineare ET hat, alle Wurzeln von \XE-A\ = 0
mte Wurzeln aus Eins sind, und wenn sich unter diesen Wurzeln
mindestens eine primitive Wurzel befindet; und umgekehrt. Ferner
geht aus dem Beweise von Theorem XXXIII hervor, dass man cyklische
Formen mten Grades von 2n Variabelen bilden kann, die — im Sinne
des Theorems XXXIII — vorgeschriebene ET besitzen, was wiederum
zu einer Klassifikation der cyldisclien Formen (Substitutionen) bei ge-
gebenem n und m führt. Wir gehen hierauf jedoch nicht näher ein,
sondern geben noch einige Sätze über Formen**, die zugleich orthogonal
und symmetrisch oder zugleich orthogonal und alternirend sind, welche
sich mittelst des Satzes XXXIII einfach beweisen lassen.

92. Sei zunächst (symbolisch) zugleich

A!=A~l

und A'- A

Dannist A'-AA'-AA-i-E;

A2 ist also cyklisch zweiten Grades (91) und folglich hat \XE — A\
nur lineare ET, die für

verschwinden (XXXIII). Also:

XXXIV. Ist eine Form zugleich orthogonal und symmetrisch,
so sind die Elementartheiler ihrer charakteristischen
Determinante alle linear und verschwinden nur für
+ 1 oder -1***
Hat man aber gleichzeitig

A'-A-1, A'--A,

so lst 48-- AAZ AA-i E.

Setzt man daher iA = B, so ist

* Diesen Satz giebt Segre, Meni. d. R. Acad. d. Scienze di Torino(85), Ser.II,
Tom. 37, S. G Anm. ohne Beweis. Vergl. auch Frobenius, Crelle's Journ. (78)
Bd. 84, S.16, Satz VIII.

** Reelle oder nicht reelle.
*** Frobenius, Crelle's Journ. Bd. (78) 84, S. 26.

Definite Formen. 179

B also eine cy Mische Form zweiten Grades; die ET von \X1E+X2JB\
haben nach XXXIII die Gestalt X^ X2 oder Xi — X2y also haben die-
jenigen von \XE — A\ die Gestalt X — i oder X + i, wie sich sofort er-
giebt, wenn man Xx = X, X2 = i setzt. Nun gehört aber nach XXX zu
jedem ET X-i ein ET X + i. Also:

XXXV. Ist eine Form orthogonal und alternirend, so sind die
Elementartheiler ihrer charakteristischen Deter-
minante alle linear und verschwinden zur Hälfte für
+ i% zur Hälfte für — i*
Im Folgenden wird uns ein weiterer Fall entgegentreten , wo eine

Determinante nur lineare ET besitzt.

§ 14. Definite Formen.

93. Eine quadratische Form

D — 5%* XiXk (*, & — 1, 2, . . . n)

mit reellen Koefficienten a;jc=aki heisst definit, wenn sie für reelle
Werthe der homogenen Veränderlichen x1\x2\ . . .\xn stets Werthe
von demselben Vorzeichen annimmt-, sie heisst positiv oder negativ, je
nachdem dieses Vorzeichen -f oder — ist. Ueber defmite Formen gilt
folgender bekannte Satz von Kronecker:**

33) Verschwindet die definite Form D für ein reelles Werihesystem

ct | c2 ] . . . | cn, so bestehen die n Gleichungen

(1) Otid + ai2c2 H h (*inC* = 0 (i — 1,2, ... »).

Diese Eigenschaft der definiten Formen ist für alle Untersuch-
ungen über Schaaren quadratischer Formen, die eine definite Grund-
form besitzen, von fundamentaler Bedeutung. Mit Hilfe des Satzes 33)
beweist man z. B. sehr einfach, dass, tvenn A eine beliebige reelle,
D eine definite quadratische Form von n Variabelen ist, die Gleichung

\XA+ D|=0

nur reelle Wurzeln hat***, vorausgesetzt, dass | XA~\- D j =|= 0 ist.

• Frobenius, 1 c.
** Kronecker, BM1868, S. 339.

*** Weierstrass, BM.1858, S.213; BM1868, S.338; Gundelfinger in
Hesse's Raumgeometrie, 3. Aufl. (76), IV. Suppl. u. in Gundelfinger-Dingeldey,
Vorl. a. d anal. Geom. d. Kegelschn., Leipzig 1895, S. 66 — 67.

12*

180 § 14, 93.

Wir gehen auf die Beweise dieser Sätze nicht näher ein, da sie
bereits unter verschiedenen Gesichtspunkten in Lehrbüchern behandelt
sind*

Ueber die ET der Determinante einer Schaar der eben beschriebenen
Art gilt nun folgendes Fundamentaltheorem:**
5XXVI. Verschwindet die Determinante einer Schaar

XXA + X2B
von quadratischen Formen nicht identisch, und ist
eine ihrer Grundformen, etwa D, definit, so haben
die Elementartheiler der Determinante der Schaar
alle den Exponenten 1, mit Ausnahme der zur Basis Xt
gehörigen ET, welch' letztere auch den Exponenten 2
haben können.
Wir setzen Xt = gX, X2 = liX — 1, wodurch

X,A + X2B - (gÄ + hD)X - B = BX - B
wird; dabei wählen wir g und h so, dass </ =4= 0 ist und \gA -f kB | =)=0
wird. Alsdann entspricht jedem ET (aXl -f bX2)e von \XiA + X2B\
ein ET (a' X - b)* von\BX-B\ (37).

Wir untersuchen jetzt die ET von \XB — D|, und zwar wollen
wir von nun an unter B und B die Polarformen der quadratischen
Formen B und B verstehen; wir setzen also (63)

Zur Basis X — c, wo c 4= 0 sei, mögen die E T (X — c)% {X — c)/, . . . ge-
hören, wo e>f>--- Dann hat man, wenn wieder das symbolische
Rechnen mit Formen benutzt wird, eine Entwicklung (71)

(2) (aa_i0-._^ + 5-|=I + ^+...| ^

da die Formen B und B symmetrisch sind, gilt das Gleiche von

F, G, H, . . . Aus (2) folgt für E = xxyx + • • • + xnyn

* Baltzer, Determinanten, 5. Auflage, Leipzig (81), S. 177 ff. Gundel-
finger-Dingeldey, 1. c. S. 65 — 67.

** Weierstrass, BM 1858, S. 207 ff. (Ges. W. Bd. I, S. 233). Vergl. auch
Nachtrag zu dieser Abhandl. BM 1879, S. 430; BM 1868, S. 336 ff. (Ges. W.
Bd. II, S.42). Frobenius, Vierteljahresschrift der Naturf.-Gesellschaft in Zürich,
Jahrg. 41, 1896, S. 20 ff. Gundelfinger im IV. Suppl. von Hesse's Raum-
geometrie, 3. Aufl. (76) und in Gundelfinger-Dingeldey, Vorles. a. d. anal.

G. der Kegelschn., Leipzig (95), S. 67 — 68. Obiger Beweis ist mit geringen
Modifikationen der, den Gundelfinger am zuletzt citirten Orte gegeben hat. —
Ueber verwandte. Sätze vergl. Christoffel, Crelle's Journ. (64) Bd. 63, S. 256
bis 272 und Gundelfinger-Dingeldey, 1. c. S. 70 — 75.

Detinite Formen. \g{

(X - c)«E = F{XB - 2>) + G(1>B -D)(X-c) + --
und hieraus, wenn man X = e + X* setzt ,
(ß)EX'e={(c + X')FB-FD} + X'[(c + X')GB-GD} + X,2{(c + X')HB-HD}+'
Wäre nun e > 1, so müsste

(4) cFB-FD = 0, FB+cGB- GD = 0

sein. Da ferner (FB + cGB - GD)' = BF + cBG - DG ist, so
folgt aus (4)

(cFB - FD)G- F(BF+ cBG - DG) = 0
oder

FBF=0;

wegen der ersten Gleichung in (4) müsste also auch

FDF=0
sein. Setzen wir aber

jP= axxx + a2x2 H (- «„#„ = o{yi + »22/2 H V a'nVn,

wo die at- dieselben Funktionen der yt bedeuten, wie die a\ der xly so
ist per def. ai) aF ai)

daherist F'D< = FD-D(ya<)

und somit FDF=JD(aa>).

Unter der gemachten Voraussetzung wäre also D{aar) = 0. Für Xi = ifi

wird aber at= o/9 sodass die definite Form D für #»• = et/ Null wäre;

nach Satz 33) wäre folglich auch D(xa) = DF = 0, und somit auch

nach (4) BF=0.

Da aber _F e|= 0 ist, so müsste \B\ = 0 sein, gegen die Voraussetzung.

Also ist e = /•=•••= 1 (Theorem I); die ET von \XB-D\ mit der

Basis X — c, wo c =(= 0, sind alle linear, mithin auch die ET von

| Aj-4 4- A2D | mit der Basis aXx -f bX2, wo 6 =J= 0.

Wir nehmen jetzt weiter an, dass zur Basis X die ET X% Xf, . . .
von \XB — D\ gehören, wo e^>f^l ••• Angenommen e wäre grösser
als 2! Indem wir vorstehend c — 0 setzen, gelangen wir, wie daselbst,
zur Gleichung (3). Unter der gemachten Voraussetzung muss dann

FD = FB-GD=GB-HD = 0
sein. Aus FD — 0 und £5 - ED — 0 folgt aber, da J?Z> — DF u.s. w.

Z££ - 0,
sodass, wegen .FZ? — 6rD = 0,

GDG = 0

wird. Aus der letzten Gleichung folgt aber, wie oben, GD = 0 und
hieraus BF=0, was nicht sein kann. Daher ist e < 2, und das
Gleiche gilt für f, g, . . . nach Theorem I. Die ET von \XB- D\

182 §14,93 — 94.

mit der Basis X haben nur Exponenten „1" oder „2", und dalier auch
die ET von \X1A-\- X2B\ mit der Basis kv — Damit ist Satz XXXVI
vollständig bewiesen.

Der Satz über die Realität der Wurzeln , sowie das Theorem XXXVI
gelten auch, wenn unter den Formen der Schaar XXA -f X2B eine definite
ist, etwa gA + hB, nur muss es dann im Theoreme statt „2X" heissen

„ia.-9hu- (37.)

Treten in einer Schaar zwei definite Formen Z), und B2y wo
nicht Dj = const. B2y auf, so bringe man sie auf die Gestalt

X.B.+ X.B,.
Hätte nun ein ET von \X1Bl+ X2B2\ mit der Basis X1 den Ex-
ponenten 2, so wäre X{B2+ X£Bi eine Schaar mit definiter zweiter
Grundform derart, dass \X[B%-\- X%DX\ einen ET X'22 besässe, was
nach XXXVI unmöglich ist. Also:

XXXVII. Enthält eine ordinäre Schaar von quadratischen
Formen zwei (nicht blos um eine Konstante ver-
schiedene) definite Formen, so besitzt ihre Deter-
minante lauter lineare Elementartheiler.
94. Da die Determinante einer Schaar XlA -\- X2B bei definitem B
ET von der im Theorem XXXVI angegebenen Beschaffenheit besitzt,
so können in der zu X^A + X2D gehörigen Weierstrass'schen
reducirten Schaar (65, Satz 15) nur Theilschaaren von der Gestalt
Tx = Xl(i0Xl + X2b«Xl Q)a 4= 0, ET : a0Xl + M2),

T2 = XlaaX2ü (ET:^),

T^X^aaXaXa^-hX'a) + X2gXa (ET : XI)
auftreten.

Ist | B | 4= 0, so treten Theilschaaren T2 und T3 in der Reducirten
nicht auf; ist aber | B | = 0, so können wir g = + 1 nehmen; h soll
ebenfalls stets reell gewählt werden.

Da nach dem in 93 aufgeführten Satze die Determinante

\11A + X%D\
nur reelle ET besitzt, so wird nach dem zu Gleichung (6) in 65 Be-
merkten hier

(5) Xa^YVo'fcö,

wo 3£a eine reelle Form der Variabelen x{ vorstellt und ea entweder
-f- 1 oder — 1 ist. In einer Theilschaar Ts ist sc = £a+i-

Nun setzen wir weiter Xa für y~baXa, was einer neuen linearen
Substitution entspricht. Aus der Substitution, welche die Schaar
XlA-\-X2B in die reducirte AXA + X2A überführt, und dieser zweiten
Substitution resultirt eine dritte, bei welcher die neuen Variabelen mit

Definite Formen. 183

den alten wieder durch lineare Gleichungen von der Gestalt (5)
zusammenhängen. Wir können also gleichzeitig durch lineare Sub-
stitution A und I) auf die Gestalt

A ~^XJ +^a„ XI +^?(2a€XtXt+1 - ÄX*),

bringen, wo die aQ, aa, at und h reell sind, und wo betreffs der X,
das oben Bemerkte gilt. Setzen wir nun schliesslich

Xi-VTiX'i (t-1, 2,...n),

so erhalten wir A und A als reeße Funktionen der X}, die selbst
reelle, unabhängige Funktionen der Xi sind. Man kann, mit anderen
Worten, durch eine reelle lineare Substitution A und D gleichzeitig
bez. auf die Gestalt

A =^X^+^a„XJ2±^(2arX^+1- »X,"),

bringen. Die E; in A müssen aber alle entweder -f- 1 oder — 1
sein. Denn durch eine reelle Substitution geht eine definite Form
wieder in eine definite Form gleichen Zeichens über. Ist nun z. B.
D positiv, so ist auch A positiv, und alle st müssen + 1 sein. Denn
wäre etwa sx — — 1, so wäre für X' — 1, X[ = 0, Xg = 0, . . . A = — 1
gegen die Voraussetzung. Setzt man schliesslich noch

Xt = Xt , atXt+i = — Xt -f- 2rVii

so wird

2a,x;xj+! - Äis1- 2zyz,v, x;*= x?2,

sodass wir zu folgendem Resultat kommen:

7s£ J. eme beliebige reelle, D eine definite quadratische Form, so
kann man durch eine reelle* lineare Substitution A und B gleichseitig
auf die Gestalt

A -Jg^XJ +^?baXl + 2^?XtXt+1,

±A=^X* + ^?Xl

bringen, tvo in ± A r Quadrate auftreten, wenn \ D \ vom Bange r ist.

* Die Realität der Substitution lässt sich auch, wenn man die W.'sche

Formel (6) in 65 nicht benutzen will, mittelst eines Satzes von Frobenius (SB

1896, S. 15. Vergl. die Anmerk. 2, S. 175 oben) darthun. (Briefl. Mitth. des H.
Frobenius vom 5. Sept. 1896.)

184 §14,94-95.

Einfache Folgerungen sind:

a) Ist A eine beliebige reelle, D eine ordinäre definite Form, so

kann man durch reelle lineare Substitution gleichzeitig A und I) auf

die Form

A = ax XJ + «a ^1 H \- arX2r,

±A = X^ + X1+ + XI

bringen , wo r den Bang von | A \ bedeutet.

Hieraus geht hervor, dass sich die Schaar Xi A + Ä22?, wenn eme
Form derselben zugleich ordinär und definit ist, durch eine reelle Sub-
stitution auf die Gestalt

AXA + X2B = (X& + X2b,)Xl+ • • • + (XLan + X2bn)Xl
bringen lässt (37) *

b) Sind in zwei äquivalenten Schaaren reeller quadratischer Formen

X1A+ X2D und X^A + X2D

die Formen D und 1) ordinär und definit gleichen ZeicJiens7 so kann
man die eine Schaar durch eine reelle, von X1 \ X2 unabhängige lineare
Substitution in die andere transformiren.

Schliesslich bemerken wir, dass man bei gegebenem n aus Theil-
schaaren

1^X^X1 + X2X*, l2=Xxb0Xl, l3=2X1XtXt+1+X2Xl

eine Schaar >l1 A + 22 A zusammensetzen kann, in welcher A definit ist, und
deren Determinante vorgeschriebene E T — im Sinne des Theorems XXXVII
— besitzt. Hierauf lässt sich dann wieder eine Klassifikation der ordi-
nären Formenpaare A, D7 bei definitem D, gründen, welche von einer
gewissen Zahl von Variabelen abhängen. U. s. w.

95. Wir haben bisher nur ordinäre Schaaren X1A-\- X2B mit
einer definiten Grundform D betrachtet. Zeigen nun, im Falle
X1AJr X2B eine singulare Schaar ist, bei definitem D die Kronecker-
schen und Weierstrass'schen Invarianten der Schaar ein besonderes
Verhalten, und welches? Diese Frage beantwortet folgendes Theorem:
XXXVIII. Ist cp eine beliebige reelle, a eine definite qua-
dratische Form von n Variabelen x1...xn, und es ver-
schwindet die Determinante der Schaar XLcp + X2a
identisch, dann sind die Kronecker'schen Invarianten
der Schaar sämmtlich gleich 1, die Elementartheiler
des Koefficientensystems der Schaar sind mit

* Weierstrass, BM1858 und 18G8 [Ges W.] a. c. 0.

Definite Formen.

185

Exponenten 1 versehen, mit Ausnahme der zur Basis
Xx gehörigen, welch' letztere auch Exponenten 2
haben können.

Beweis. Sei die Schaar Xt(p + X2co= ip singulär, | ijj | vom Range r;
cp und cd sollen die im Theoreme angegebene Beschaffenheit besitzen.
Da |^| = 0 ist, so sind die n Formen

*«- 8ft% + *2a) - Kv + hm (»-1, 2, . . . n)

durch n — r = x unabhängige lineare Relationen verknüpft. Sei

(6) 0^+0^+ ... + Cn1>n-0

eine dieser Relationen, und zwar sei dieselbe vom Grade m in lt \ X2,

also etwa

d = o/A™4- aUT^h + ••• + c^+^Xf (i = 1,2,... n).

Führen wir die d in (6) ein, so erhalten wir, da ^ : = Xl cp{ + X2 caf,

+(X1%+ ^[aj^ + a^y-% + < X?-n\+ • • • + 4-+D^]

CO

=o.

Diese Gleichung besteht aber für beliebige Werthe von X^X^ es
muss daher, wenn noch

™(%y) = 2/iwi H Yynnn

(p(a'x) = 0,

9>(a"a?) + €o(a'x) = 0,

gesetzt wird,

(8)

<5p(a(m+%) + G>(aWx) = 0,
«(a^+i)^) = 0

sein, und zwar für beliebige Werthe von xly . . . xr
halten wir aber wegen der ersten Gleichung in (8)

(p(a'a") = 0,
wegen der zweiten für Xi = a\

(p(a'a") + a(a'a') = 0',
co (a a) = 0.

Für Xi = a" er-

daher ist

186 § U, 95.

Hieraus folgt aber (93, Satz 33)

a(a'x) = 0,
sodass wegen der zweiten Gleichung in (8)

(p(a"x) = 0

ist. Ferner ist analog

(p(a"a"') = 0, ü)(VV') = 0, co(a"x) = 0, u.s.w.,

sodass also

cp(a!x) = <p(a"x) = • • • — (p(alm+V x) = 0,

a(arx) = co(a"x) = • • • = co(a^m+^x) = 0
ist. Der Relation (7) zu Folge bestehen also die Gleichungen

( oi^j + «2^2 + + a>„ — 0

'fljft + fl{'ft+ + a>n=0

(?)

Da nicht alle a^ in (7) Null sind, so ist also jede lineare Relation
(7) zwischen den ipf> die in Xx \ X2 höheren als nullten Grades ist, selbst
eine lineare Verbindung solcher linearen Relationen (9) zwischen den
ifrij die von Xx \ X2 unabhängig sind. Sind nun R^ — 0, R.2 — 0, . . . 14' — 0
t' unabhängige Relationen zwischen den pi} die von At | A2 nac7i£ ab-
hängen, alle anderen linearen, von X1 \ X2 unabhängigen Relationen
zwischen den ty aber lineare Verbindungen dieser t' Relationen, so ist
nach Voraussetzung t! nicht grösser als r; r' kann aber auch nicht
kleiner als r sein, da sonst alle zwischen den qfr< bestehenden linearen
Relationen sich durch weniger als r unabhängige Relationen linear
ausdrücken Hessen. Folglich ist t'= r; die Minimalgradzahlen der Scliaar
Xx(p -f X2a sind mithin alle gleich Null, die Kronecker'schen In-
varianten der Schaar gleich Eins.

Das Gleiche gilt für die singulare Schaar von symmetrischen
bilinearen Formen Xtq)(xy) + X2a(xy) — ip{xy) (63). Man kann daher
cp(xy) und a(xy) gleichzeitig linear so transformiren, dass z Variabele
aus jeder Reihe von Veränderlichen wegfallen. Die hierzu nöthigen
Substitutionen sind reell und in Folge der Symmetrie von p{xy) con-
gruent (53). Man kann also die singulare Schaar von quadratischen
Formen XY(p + X2co durch eine reelle, von X1\Xi unabhängige Substitution
in eine solche transformiren, die nur noch n — t = r Variabelen ab-
hängt. Die letztere wollen wir mit XLcp + X2öj = p bezeichnen; die
Schaar p ist, wenn man sie als eine von den wirklich in ihr auf-
tretenden r Variabelen abhängige Schaar auffasst, ordinär, ä ist

Lineare Elementartheiler. 137

definit, weil co definit ist, also haben alle ET von \XX^ -{- X2~cö\
Exponenten 1, bis auf die zur Basis XL gehörigen, welche auch
Exponenten 2 haben können. Nun sind aber die ET des Systems von
\ X±cp -{- X2 co \ identisch mit den ETn von | ^qp + X^cS |; daher haben
dieselben in der That die angegebene Beschaffenheit.

Man kann nach 94 singulare Schaaren X1cp + X2 ca mit definitem co
bilden, die von einer gegebenen Anzahl Variabelen abhängen und
— im Sinne unseres Theorems XXXVIII — vorgeschriebene Kron-
ecker'sche und Weierstrass'sc/^e Invarianten besitzen, sodass eine
Klassifikation der singulären Paare quadratischer, von einer gegebenen
Anzahl von Variabelen abhängiger Formen qp, co bei definitem co
möglich ist. Die Paare jeder Klasse ordinärer Formenpaare (94) sowohl,
als singulärer Formenpaare können durch reelle lineare Substitution
auf eine Normalform gebracht werden, die aus 94 zu entnehmen ist.

§ 15. Lineare Elementartheiler.

96. Wir sind im Laufe unserer Untersuchungen wiederholt Formen-
schaaren begegnet, deren Determinanten nur lineare ET besassen. Im
Folgenden wollen wir uns nun mit solchen Schaaren befassen, deren
Determinanten (Koefncientensysteme) überlmupt lineare ET haben.
Wir werden dabei eine, im Wesentlichen von Cauchy* herstammende,
Methode kennen lernen, die Stickelb erger** benutzt, um von einer
beliebigen Schaar quadratischer oder bilinearer Formen diejenigen
elementaren Schaaren abzusondern, welche den linearen ETn der
Determinante (des Koefficientensystems) der Schaar entsprechen.

Nach dem in 37 Auseinandergesetzten kann man Untersuchungen
über die ET der Determinante einer Schaar XiA + X2B zurückführen auf
solche über die ET der Determinante einer Schaar f— Xg. Man kann
dabei die Umformung der Schaar so vornehmen, dass jedem zu einer
bestimmten Basis aXt+bX2 gehörenden ET des Systems von

\XlA + X2B\
ein zur Basis X gehörender ET gleichen Grades desjenigen von

\r-i9\

entspricht. Dadurch werden viele Untersuchungen über ET bedeutend
vereinfacht. — Noch eine zweite Bemerkung werde vorausgeschickt,
ehe wir die S t icke lb er g er 'sehen Entwickerungen vorführen. Ist

f(?y) - 1?,°*«? x«yß («i ß = !> 2> • • • n)

Zj

* Cauchy, Exerc. de math. IV (1829), p. 140.

** Stickelb erger, a. S. 174 c. 0. § 7. Vergl. auch die Einleitung zu dieser
Arbeit.

188 § 15, 96.

eine bilineare Form von 2n Variabelen, bedeutet ferner ft{xy) die-
jenige Form von 2m Variabelen, welche aus f dadurch hervorgeht,
dass man

Xm + i = Xm + 2 = • ' ' = %n = V,
2/m + l = 2/m + 2 — ' • ' = V% — 0

setzt, dann kann man, wenn die Determinante von fx{xy) nicht Null
ist, m lineare Formen $1} . . . |m von a?m+i, . . . xn und m lineare Formen
rj19 . . . rjm von 2/m+i, ■ • • y% so bestimmen, dass

C1) /X^y) — /10^+6ij • ■•3>+fc»5 üi+yu- ■•yfn+ym)=f2(xy)
von xtf . . . xm} yiy . . . ym unabhängig ist.

Dazu ist nämlich erforderlich, dass die 2m Gleichungen

i£-0, 1^ = 0 (,» = 1,2, ...w)

erfüllt sind. Führt man die Differentiation aus, so erhält man aus
ihnen

a = m

/ &a/j, bcc — / tta[.i Xa
a = 1 a = m + 1

(f* — 1, 2, ...m);

a = 1 « = m -f" 1

da aber ^?± aua22 • • • °W "i° 0 ist, so kann man hieraus die £tt(jla)

als lineare Formen der xa(ya) berechnen; diese %a(jla) erfüllen die ge-
stellte Forderung. Ist aaß = aßa, so werden die %x . . . %m dieselben
Funktionen der #m + i, . . . xn, wie die *iu . . . 7ym der ym-t-i> • • • 2/n-

a) Dies vorausgeschickt, sei nun /" eine bilineare Form von
2n Variabelen mit einer Determinante \f\ vom Range n— 1; ist alsdann

(2) 0 =^?baßxa yß («, /3 - 1, 2, . . . »)

eine weitere beliebige bilineare Form von 2w Variabelen, so ist wegen
| f\ — 0 die Determinante 1 /._ ^ 1

für A = 0 gleich Null. Setzt man in \f\

adj. aa/?= J-«^,
so wird die Ableitung von | f— Xg | nach X für X = 0 gleich

(3) -^baßÄap («, 0 = 1,2,...*).

Die Determinante | /* — A# I ist also durch eine höhere Potenz von A
als die erste theilbar oder nicht, je nachdem (3) Null ist oder nicht.
Genügen nun xu x2, . . . xn, yu y%, . . . Jfe den 2n linearen Gleichungen

Lineare Elementartheiler. Jg9

w wr0' s£-° c—i, «,-»),

so sind, wie leicht einzusehen ist, die Produkte xaijß proportional zu
den Aaß. Ist daher für diese xa, ya

so ist auch (3) gleich Null, und X steckt zu höherer als erster
Potenz in \f-Xg\-, ist aber ^?baßXayß^ 0, so verschwindet (3) nicht,

und X steckt in \f—Xg\ nur zur ersten Potenz. Dieses benutzen wir
sofort zum Beweise des Satzes von Stickelber^er.*
34) Wenn die Determinante der bilinearen Form
f=^aaßXayß verschwindet, und die Form g =^baßxayß für jede

(a,/* = 12,...n) («,,* = 1 2, . . . n)

Lösung der Gleichungen

Null ist, so hat die Determinante \f—Xg\ (das System von \f—Xg\)
Jceinen zur Basis X gehörenden linearen Elementartheiler.

Beweis. Der Rang von \f\ sei gleich m- 1; dann sind nicht alle
Subdeterminanten (m — l)ten Grades von \f—Xg\ durch X theilbar.
Verschwinden daher alle Subdeterminanten mten Grades von \f—Xg\
identisch, so besitzt das System dieser Determinante überhaupt keinen
zur Basis X gehörigen ET. Ist aber \f—Xg\ vom Rangern oder
einem höheren Range, so beweisen wir den Satz, wie folgt. Wir
greifen eine Subdeterminante mten Grades des Systems von \f\ heraus,
deren Subdeterminanten (m — l)ten Grades nicht alle Null sind; durch
passende Anordnung der Yariabelen xay yß können wir bewirken, dass
diese Determinante mten Grades gerade V±ana22 .. .amm wird. Seien
ferner ft und gx die Formen, welche man erhält, indem man in f und
g die Variabelen xm + 1,...xny ym+1,...yn Null setzt. Verstehen wir
jetzt unter xt, . . . xmy ytf . . . y/n diejenigen Werthe von xa, ya, welche
die Gleichungen

befriedigen, dann verschwinden für diese Werthe von xu...xm, yu...ym
und für xm+1 = ■ • • = xn = 0, ym + 1 = ■ • • = yn = 0 die Ableitungen von
f nach den x0> ya(cc — 1, 2, , . . n). Wir haben damit also eine Lösung
der Gleichungen (4). Für diese muss nach Voraussetzung g = 0 sein,

* Stickelberger, 1. c. S.XIII, Satz VI.

190 § 15, 96.

sodass gx für die eben bestimmten Werthe von xi7 . . . xm, yl} . . . ym Null
sein muss. Nach dem oben zu Anfang dieses Abschnittes a) Gesagten
steckt also X in | fx — XgL \ zu höherer, als erster Potenz. Zum gleichen
Resultate gelangen wir, wenn wir unter ^x <*n ••• <hmm eine Sub-

determinante mten Grades von \f\ verstehen, deren sämmtliche Sub-
determinanten (m— l)teu Grades Null sind, da alsdann der für fx und
gx gebildete Ausdruck (3) Null ist.

Ist daher Xe die höchste Potenz von A, welche in allen Subdeter-
minanten mten Grades von \f— Xg\ auftritt, so ist e>l; in allen Sub-
determinanten (m — l)ten Grades von \f—Xg\ kann aber nach Voraus-
setzung X nicht auftreten; daher besitzt das System von \f—Xg\ den
ET Xe von höherem, als vom ersten Grade. Besitzt dasselbe noch weitere
ET mit der Basis X, so sind dieselben nach Theorem I in 5 vom
Grade e oder von höherem. Damit ist unser Satz bewiesen.

b) Derselbe ist ein Specialfall des allgemeineren Theorems von
Stickelberger:*

XXXIX. Ist der Rang der Determinante der bilinearen Form
f=^aaßxay(i (a, 0 — 1, 2, . . . n) gleich n- l(l>0), sind
(5) xlif . . . xmi, yiX, . . . y%i (X — 1, 2, ... V)

je / unabhängige Lösungen der Gleichungen

(4) -££. = 0,^-0 («-1, 2,...n),

und ist m der Rang des Systems der l* Grössen

^-J \a,ß — 1, 2, . . .n'

so hat die Determinante (das System der'Determinante)
\f-Xg\, wo g=^?baflXayp (a, /5 -1,2, . . . n), genau
m lineare Elementartheiler mit der Basis X.
Vor Allem ist zu bemerken, dass die Zahl m unabhängig davon
ist, welche l linear unabhängigen Lösungen der Gleichungen (4) ge-
wählt werden. Wenn man nämlich statt der ursprünglich gewählten
Lösungen l andere einführt, so ist dies gleichbedeutend mit einer
linearen Transformation der bilinearen Form

^xxUy.vx («, X — 1, 2, . . . Z);

durch eine solche bleibt aber der Rang von | gKx \ ungeändert.

Ist m — 0, d.h. verschwinden alle gy.x, so behauptet unser Satz,
dass das System von \f—Xg\ keinen linearen ET mit der Basis X

* Stickelberger, 1. c. Satz VII.

2

Lineare Elementartheiler. 191

besitze. Da alsdann ^?baß xa y? für alle Lösungen von (4) Null wird,
so ist dies in der That nach Satz 34) der Fall. Unser Satz XXXIX ist
daher für m = 0 schon bewiesen; wir setzen nunmehr m > 0 voraus.

Geht durch lineare Substitutionen P, Q} welche für die xa lineare
Formen der x'a, für die \jß lineare Formen der y'ß einführen, die Form f
in F=^a'aßCCayß, die Form g in G ^^ybaßxLyJi über, so bleibt
die Zahl m ungeändert. Denn setzen wir für den Augenblick

JJr- /-(*), %-=fU)*

und die linearen Formen, in welche die fa(x) und f(y)a übergehen,
bez. gleich /"«(#') und f (#')«, so sei für

(« - 1, 2, . . . »),

F(y')a - d«i/V)i + <W (A+ ••• + «WV).

wo die Determinanten ^± Cu . . . Cnn und ^± d^ . . . dnn nicht Null
sind. Nun hat man doch, um Gxx, d. h. um gxx für die transformirten
Formen F und G zu bilden, zunächst die 2n Gleichungen Fa(x') = 0
und F(y')a = 0 zu lösen. Der Rang ihrer Determinanten ist n — l,
ebenso sind die Determinanten der Gleichungen fa [x ') = 0 und/,'(2/')a = 0

vom Range n — Z, da z.B./" in &/][(#') H h ynf!i(x!) durch die

lineare Substitution P übergeht. Wir können und wollen daher als
Lösungen fcjj, . . . y[X} . . . der Gleichungen ^(V) = 0, F(y')a = 0
diejenigen Werthe von #«, y<£ wählen, welche den Werthen (5) ver-
möge der linearen Beziehungen P und Q bez. entsprechen. Dann ist
aber geradezu

Gy.x =^Kßxixy'ßz ~^?laßXaxyßx = g*x;

die Zahl m bleibt also in der That ungeändert.

Da ferner die ET der Systeme von \f—Xg\ und \F—XG\
übereinstimmen, so ist evident, dass unser Satz XXXIX bewiesen ist,
wenn er für irgend eine zu f — lg äquivalente Form F — IG bewiesen
ist. Nun zum Beweise selbst!

Sei von den Subdeterminanten des Systems der gxx gerade die
Determinante ^± 9n9n • • • 9mm von Null verschieden. Dies kann
durch passende Anordnung der Lösungen (5) stets erreicht werden.
Sind die Formen f und g symmetrisch, so kann man in (5)

/A-l, 2,... l\

ai = yax ( ' ' )

\« = 1, 2, ...w/

nehmen. Dann wird

192 §15,96.

gy.X = *S]bapXaxZßX, 9l* — /}><*$ X"l Xß* = ">^^« XuX%ßx =sfiaßXa*xß*>

also

0x2 = 9lx\

d. h. das System der gxx wird symmetrisch. Ist nun von vornherein die
Determinante ^± gn • • • 9mm nicht von Null verschieden, so kann man
die bilineare Form ^?gaßUaVß durch congruente Transformationen in
eine andere überführen, für welche jene Determinante nicht Null wird.
Dies geht unmittelbar aus Artikel 7 (vergl. Satz 6) daselbst) hervor, wenn
man die Elemente des Systems der gxx als ganze Funktionen einer
Variabelen vom Grade Null auffasst .* Man Jcann also, mit anderen
Worten, im Falle der Symmetrie von f und g die Lösungen (5) so
wählen, dass xax = yax und ^± #n ■ • • 9mm nicht Null wird.
Wir setzen nun

CO Pifi — xiM • • -P*r — x*m <hv- = Ulf* - ■ • Q»p - Vw

für it = 1, 2, . . . m\ alsdann wählen wir Grössen

(8) pir, . . -Pnv] qu>, ...qnv (v = m + l,m + 2,. ..n)
ganz beliebig, aber so, dass die Determinanten

nicht verschwinden. Das ist immer möglich, weil die Lösungen (5)
unabhängig sind. Dann gehe durch die Substitutionen

(9) Xa*=PalX[-\ t-PanXn, IJa = Oa 1 1j[ -\ \- ^anffL (« — 1, 2, . . .*)

f—Xg über in F—lG, wo wieder F=*S^a'aßXäy\i u. s. w. Dabei ist

y = n (? = n (T=n ^ZÜ!*

aLß=^^aYdpya(l$p =^(q3ß^aYdpYaj

y=l () = 1 0 = 1 y = l

y = n (5 = n

^^(Py^^^p)'

y = l 0=1

Daher wird, wenn mindestens eine der Zahlen er, ß <^ m ist,

(10) «^ = 0,

da vorausgesetzt wird, dass die Grössen (7) den Gleichungen (4) ge-
nügen.

Nun hat man weiter

a==n ß==n «J=n ß=»

(11) &J* =^^OaßPay.qßX =^?^baßXay.yßX = #x*

a = l(* = l « = 1^ = 1

für x, 2 = 1,2,... m. Also ist

* Yergl. auch Frobenius, Crelle's Journ. (77) Bd. 82, S. 242; (95) Bd. 114,
S. 192. Gundelfinger, Crelle's Journ. (81) Bd. 91, S. 229.

Lineare Elementartheiler. 193

^?± bii . . .'. Km =a^j± 9n • • • #»« + 0;
man kann daher nach dem zu Eingang dieses Artikels Gesagten [vergl.
Gleichung (1)],

G — Gx (x[ + i,, . . . a?i + 6,5 2/1 + %,... 2/m + 12m) + £2
setzen, wo £17 . . . £m nur von

%;• • -ty» nur von t ,

ifm + ly • • • ifn

linear abhängen, und wo G2 nur von den Variabelen #TO+i, ■ • . %l und
yi+i, . . . yi linear abhängt. Setzen wir deshalb in F — XG

/-j o\ J ^1 i bi s== #1 > ^2 T §2 = ^2 > • • ■ #m T fem == ^m; #m + l == ^m + 1; • • • %n "■ #n y
W + %— 0i', 2/2 + % - </", . . . y!n + tyn - 2/m/ ^m+1 = 2/m + l, • - - Vi = Vn

und schreiben dann wieder xl für #«, ^ für yjl} so erhalten wir, da
nach (10) die Form F nur von x!n+i, . . . x'ny yL+i • • • yl abhängt,

(13) -XG1+F-XG2,

wo Gt von ri, ...«li, yi,...yLy F und 6r2 aber von aSm+i> • • • $»»
2/m-t-i, ■ • • 2/i abhängen. Seiner Definition nach ist nach wie vor

£x =^Vaßx'ay!i (a, ß = 1, 2, . . . m),

sodass wegen (11)

Gi - **?g*ß%lyß («, 0 = 1, 2, . . . m)
wird. ^^

Die Form (13) ist in die Theile — XG± und F — XG2 zerlegbar.
Die ET ihres Koefficientensystems sind daher diejenigen von |— XGt\
und die des Koefficientensystems von F — XG2 zusammengenommen.
Die Form — XG± kann nämlich nicht identisch Null sein, da | Gx | =|= 0
ist. Die Determinante | — XGt | hat aber m lineare E T mit der •
Basis X. Kann man also nachweisen, dass das Koefficientensystem
von F — XG2 keinen linearen ET mit der Basis X besitzt, so ist der
Beweis unseres Theorems geliefert.

Dieser Nachweis ist aber mittelst des Satzes 34) erbringlich. Wir
zeigen einfach, dass G2 für jede Lösung der Gleichungen

(14) g-0, g = 0 (a = m+l,...n)

Null ist. Dann giebt es nach jenem Satze keinen ET 2 des Systems
von \F— XG2\. Angenommen nämlich

%m + l, m-\-l) • • • ^w, m-\-l) 2/m+l, m-\-lj ■ • • 2/n, m-\-l

wäre eine Lösung von (14), für welche G2 nicht verschwände. Als-
dann mögen noch _

- 1, J, . .

'CTO

y ' V :- 1, 2, ... m)

die Zahlen 0 oder 1 bedeuten, je nachdem u = p oder a 4= P ist- Da

Muth, Elementartheiler. 13

194 § 15, 96.

cVl ' dx'a >
ist für a = 1, 2, . . . m, so stellen

xiM ■ • • xkH, yiM, . . . y!>M (f* — 1, 2, . . 4 m)

m unabhängige Lösungen der Gleichungen

vor-, man kann aber sofort noch eine (m + l)te Lösung dieser Gleichungen
angeben, nämlich

#1, m-t-l> • • • 3J», m? 2/l, m + 1? • • • 2/n, m-f-ly
WO

zu setzen ist für {i = 1,2, ... m. Bildet man nun für die Formen F
und G = G1-\- G2 die Ausdrücke gxx und bezeichnet dieselben ent-
sprechend mit Gxi, so wird

Gx7l — &£;. — ^ (x, A = 1, 2, . . . m),

ferner

Gx, m+i = 6rm+i, a = 0 (x, A — 1, 2, . . . m),
aber

da

G/n-f 1, m + 1 = G^KXm + l, m + 1? • • • #m + l, nf 2/m+l, m + 1, • ■ ■ 2/m-fl, w)

nach Voraussetzung nicht Null ist. Es gäbe daher eine Subdeter-
minante (m -f l)ten Grades des Systems der Gy.x, die nicht Null ist,
nämlich

/t± ^n • • • Öm + l, m-f 1 = Ö^/n + 1, m-f 1 ' ^ dl ^n • • • Gmm

= Öm+1, m-fl * ^ ± ^ii • • • #mm-

Das System der Gy.i hätte einen höheren Rang, als den Rang m, was
nach dem zu Anfang des Abschnittes b) Bemerkten nicht sein kann.
Unsere Annahme ist daher unzulässig, G2 verschwindet für jede Lösung
der Gleichung (14). Damit ist unser Theorem vollständig bewiesen.
Wir haben soeben die Schaar Xtf -f l%g in eine Schaar trans-
formirt, die in die Theile X1F-\-X2G2 und XiG1 zerlegbar ist. Da
nun | Gx | =4= 0 ist, so lässt die Theilschaar X2Gly wie ohne Weiteres
klar ist, sich auf die Gestalt

M*iV+ ••• + :«)
bringen. Die hierzu nöthige Substitution lässt X±F + X2G2 unberührt.
Daraus geht hervor, dass man in der That mittelst der hier ent-
wickelten Methode eine beliebige Schaar Xxf + X2g, deren Koefficienten-
system q lineare ET besitzt, in eine Schaar T± + T2 + • • • -f TQ + R
transformiren kann, die in die Theile T19 . . . TQ, B zerlegbar ist, und
in welcher T1? T2, . . . TQ elementare ordinäre Theilschaaren vorstellen

Integration eines Systems linearer Differentialgleichungen. 195

derart, dass die ET von | T^ |, \T% |, . . . |TJ gerade jene q linearen ET
vorstellen.

Wir haben uns zum Schlüsse mit dem Falle zu beschäftigen, wo
/'und g symmetrische bilineare Formen sind. Zunächst erhält man, wenn
man f und g symmetrisch annimmt aus 34) und XXXIX zwei Sätze über
quadratische Formen (63), die man selbst aussprechen wolle. Da ferner
im Falle der Symmetrie oben xai = yax angenommen werden konnte,
so kann man hier die Transformationen (9) congruent nehmen so-
dass F und G ebenfalls symmetrisch werden; die weiteren Trans-
formationen (12) sind aber ebenfalls congruent (vergl. den Anfang dieses
Artikels), sodass schliesslich auch Gx und G2 symmetrisch werden.

G1 kann aber in xl'y" -\ \- XmVm durch congruente Transformationen

übergeführt werden (Satz 19 in 76). Aus Allem diesen geht hervor,
dass durch die oben entwickelte Methode von jeder Schaar von quadratischen
Formen diejenigen elementaren Schaaren abgespalten iverden können, welche
den linearen ETn ihres Koefficientensystems entsprechen.

Wir haben in den letzten Paragraphen — abgesehen von vor-
stehendem Excurse über lineare ET — zahlreiche algebraische An-
wendungen der Weierstrass'schen und Kr o necker 'sehen Theorieen
gebracht. Wir geben nun im Folgenden eine Anwendung, welche die
Weierstrass'schen Entwickelungen im Gebiete der linearen Differential-
gleichungen finden.

§ 16. Integration eines Systems linearer Differentialgleichungen
mit konstanten Koefficienten.*

97. Wir verstehen im Folgenden unter x1} #,,...#„ Funktionen
einer unabhängigen Veränderlichen t. Ist für n solche Funktionen
ein System von n linearen Differentialgleichungen mit konstanten
Koefficienten gegeben, so lässt es sich immer auf die Form

(1) 2a,tzf-2b,-t* (<»*-'*.*.••••)

bringen, wo die an, &/* Konstante vorstellen. Denn treten in den

gegebenen Gleichungen höhere Ableitungen, tritt z.B. \ auf, so setzt

dt*
man dx_

— jjj- = Xiy

wodurch ,. • _ ,

d2x{ ax\i

wird. Dadurch erhält man ein System von n -f 1 Gleichungen für
n + 1 Funktionen xu . . . xh xfi} . . . xn, in welchem nur die erste Ab-
leitung von x\ auftritt, u. s. w.

* Weierstrass, Ges. W. Bd. II, S. 75-76.

13*

196 § 16> 97-

Wir können erstens voraussetzen, dass die n Gleichungen (1) un-
abhängig sind; zweitens dürfen wir voraussetzen, dass sich unser
System (1) in kein anderes umformen lässt, in dem weniger als n un-
bekannte Funktionen Xi von t auftreten.

Nun componiren wir das System (1) mit n unbestimmten Kon-
stanten ylyy2, . • .yn> Wir erhalten dann

oder, wenn wir

yjaikXiyk <=<p(zy), ^?hkXiVk - 1>(xy) (t, fe — 1, 2, ... . n)

setzen,

(2) ^(f -*(**)•

Die Determinante der bilinearen Form y(xy) der Veränderlichen
x1,...xn, ylf — -y* ist nicnt gleich Null. Wäre nämlich i cp | = 0,
dann könnte man den unbestimmten Grössen yk solche Werthe bk
geben, dass <p(xb) = 0

wäre. Dann wäre nach (2)

(3) *(*&)- 0.

Wäre nun 4>(>&) /«*" oUe Werthe von ^, jr8, . . . xn Null, so bestände
zwischen den Gleichungen (1) eine lineare Relation, was gegen unsere
erste Voraussetzung Verstössen würde. Daher ist ip{xo) in den xt nicht
identisch Null. Man kann also vermöge (3) eine der Funktionen xt durch
die übrigen n — 1 linear ausdrücken. Unter der Annahme | <p | — 0 Hesse
sich mithin das Gleichungssystem (1) in ein solches umformen, das
nur n — 1 unbekannte Funktionen x{ von t enthält, gegen unsere zweite
Voraussetzung. Die Determinante von y ist also von Null verschieden.
Wir können daher, wenn

u - b0% (i - <*>, . . . (x - *>

die sämmtlichen ET der Determinante [Ay) — ?| vorstellen, nach
Artikel 46 (Schluss) durch lineare Substitutionen <p(xy) und ty{xy)
gleichzeitig bez. in
♦ -^X.F.k, ^ ^ca{XaY.)ea+^{XaYa)eo-, («-1,2,...«.)

überführen. Dabei ist

und (XffF„),a_i für e« - 1 gleich Null zu setzen-, ferner ist

ei + e2 H h em = w.

Integration eines Systems linearer Differentialgleichungen. 197

Durch diese Substitution geht die Gleichung (2) in

dt
über. Ausführlicher lautet diese Gleichung

Nun gilt aber die Gleichung (2) für beliebige Werthe von

Vit V2 7 • ■ ' Vn\

also gilt Dasselbe für die Gleichung (4) und die Yav, und es folgen

daher aus (4) die n Gleichungen

,e\dX^l _ -^ dX^i Y , T dXa,ea—l

(tf-l,2,...w).

Dieses System von n linearen Differentialgleichungen, in welches
wir das gegebene umformt haben, zerfällt in m Gruppen von Gleichungs-
systemen; jede Gruppe entspricht einem ET von | X (p — ty | und ent-
hält soviele Gleichungen, als der Exponent des zugehörigen ETs angiebt.

Dasselbe kann aber sofort integrirt werden. Setzen wir nämlich
in (5) kürzer

Ca= C, *A~ofi — -A-ix + l'i 6o=£)

so erhalten wir

(ß) £-«*;. H*-ixl+xi,;.. ^i = cx«+x,_,

Nun bedeute e die Basis der natürlichen Logarithmen; multiplicirt man
jede der Gleichungen (6) mit e~ ct, so ergiebt sich

m *feil!2_o fel!9 -xc-°< <^~ct) x ,-ct

^V dt ~U' dt - ^Ie >••• dt - A-e-ie ,

und hieraus durch Integration der ersten Gleichung, wenn A19 A2, . . .

Konstante bedeuten, y A ct

-ax j±t e ,

wegen der zweiten Gleichung in (7) somit

d(xie-^_

dt ~^le —Au

und weiter durch Integration

analog folgt

***£"** -4* + 4t X^^f+A.t + A,
u.s.w., schliesslich

198 § 16, 97 — §17, 98.

So verfährt man mit jeder der m Gruppen. Damit ist das System (5)
integrirt, aber auch wegen des bekannten linearen Zusammenhangs
zwischen den Xafl und x( das System (1). Die Konstanten AlyA2,...
sind die Werthe, die Xly X21 . . . für t = 0 annehmen. Vermittelst
eben dieser linearen Gleichungen kann man also auch die Konstanten
A1} A2, . . . aus den Werthen berechnen, die xly x2, . . . xn für t — 0
annehmen sollen.

Besonders einfach gestaltet sich die Integration unseres Systems,
wenn \X cp — qf> | nur lineare E T besitzt. Alsdann ist

Cj = 62 == " * * = Gn = 1,

und man erhält n Gleichungen von der Gestalt

und hieraus

X1~Alee*t, X2 = A2ee*t,. . . 2,-i.eV.

Nach dieser Anwendung der ET in der Analysis geben wir eine
grössere geometrische Anwendung der ET, bei welcher namentlich
die Resultate des § 11 über ähnliche Formen benutzt werden*

§ 17. Klassifikation der Collineationen in einem Räume
beliebig hoher Dimension.

98. Wir betrachten zwei w-dimensionale Räume R und B\ in
denen wir uns lineare Coordinaten eingeführt denken. Unter

* Im Anschluss an obige Entwickelungen von Weierstraös sind zu nennen
die Arbeiten von Hörn: Ueber ein System lin. partieller Diffgl., Acta math. Bd. 12;
Beiträge zur Ausd. der Fuchs'schen Theorie u. s. w., Acta math. Bd. 14; Ueber
Systeme lin. Diffgl. mit mehreren Veränderl., Habilitationsschrift der Univ. Frei-
burg, 1890 (Berlin, Mayer u. Müller); Zur Theorie der Systeme lin. Diffgl. mit einer
unabh. Veränderl., Math. Ann. (91) Bd. 39 u. (92) Bd. 40 ; Zur Integr. der Systeme tot. lin.
Diffgl. mit zwei unabh. Veränderl., Math. Ann. (92) Bd. 42; Ueber die Reihenentw.
der Integr. eines Systems von Diffgl. u.s.w., Crelle's Journ. (96) Bd. 116 u. (97) Bd. 117
(S. 104 u. S. 254). — Durchweg verwendet die ET. Sauvage: Theorie gen. des
systemes d'equations differ. lin. homog., Paris, Gauthier - Villars , 1895. Eine
wichtige Anwendung finden die ET im Gebiete der linearen Diffgl. in der
Theorie der Fundamentalgleichung. Vergl. hierzu das Lehrbuch von L. Heffter:
Einleitung in die Theorie der lin. Diffgl. mit einer unabh. Variablen , Leipzig 1894,
Kapitel XI u. ff. Daselbst findet man die weiteren hierher gehörenden Litteratur-
angaben, denen wir noch den Hinweis auf Schlesinger, Bemerk, zur Theorie
der Fundamentalgl. , Crelle's Journ. (95) Bd. 114 hinzufügen. — Endlich heben
wir noch eine Anwendung des Theorems XXXVI auf ein physikalisches Problem
hervor, die Weierstrass [BM 1858, S. 207 ff. (Ges. W. Bd. I, S. 233 ff.)] gegeben hat.

Klassifikation der Collineationen. 199

xx\x2\. . .\xn+1

verstehen wir allgemein homogene Coordinaten eines Punktes x von Ry
unter w{| Wg | ••• |t*«+i homogene Coordinaten einer Ebene u' von R'.*
Zwischen den Räumen R und R' wird dann durch eine Gleichung

(1) yjaikXiu'k = 0 && — 1,2,.,.»-+ 1)

eine collineare Beziehung hergestellt, vermöge welcher dem Punkte x
von R der Punkt x' von JR' mit den Coordinaten

(2) QXl^^OiiXi

i

und der Ebene £tr von Rf die Ebene ^* von R mit den Coordinaten

(3) 6Ui==^aiku'k

k

entspricht, wo q und a weder Null noch unendlich sind.

Ist die Determinante A der bilinearen Form ^^dikXiUk nicht

Null, und ist in A *A\ n — A

7 aüj. aut = Aik)

so folgen

aus

den Gleichungen

(2) und

(3)

bez.

Gleichungen

(4)

XXi

-2+>

iZk

und

k

(5)

auk

=2*>

:Uh

wo x und k» endlich und nicht Null sind; (4) stellt die Umkehrung
der Beziehung (2), (5) die der Beziehung (3) vor. Die beiden Be-
ziehungen (4) und (5) werden gleichzeitig durch die bilineare Gleichung

^Akxiui=0

dargestellt. Einem linearen Gebilde (Räume) beliebiger Dimension von
Punkten oder Ebenen des einen Raumes entsprechen collineare lineare
Gebilde (Räume) gleicher Dimension des anderen. Eine Collineation
dieser Art heisst eine nicht ausartende oder eine ordinäre Collineation.
99. Wir müssen uns etwas eingehender mit dem Falle beschäftigen,
woi = 0 ist. Sei also A = 0 und n — h + 1 , wo h eine der Zahlen
1, 2, . . . n, der Rang von A. Alsdann sind die n + 1 Gleichungen

* Im Falle n = l bedeuten «iltfj, wenn z B. R' eine gerade Punktreihe
(Gerade) ist, die Koefficienten eines Punktes (Pasch, Math. Ann. [84] Bd. 23,
S. 419), im Falle n = 2 bedeuten u[ \ u^ \ u^ die Coordinaten einer Geraden u', wenn
z.B. R' ein ebenes System (eine Ebene) vorstellt.

200 § 17, 99.

(6) ^aikyi=0

i

durch n + 1 — (n — h + 1) — & lineare unabhängige Relationen ver-
knüpft. Daher existirt in jB ein lineares Gebilde Qi — l)ter Dimension
PÄ_i* derart, dass a^e Punkte y von PA_i die Gleichung (6) be-
friedigen; diese Punkte y heissen singulare Punkte des Raumes R,
Ph—i heisst ein singuläres lineares Gebilde (singulärer linearer
Raum)** von Punkten in R. Analog werden die Gleichungen

(7) ^?aikti=0

k

durch die Ebenen vf eines linearen Gebildes (h — l)ter Dimension
TT;J—i des Raumes R' befriedigt; diese Ebenen v' heissen singulare
Ebenen von _ß'; TTä_i heisst ein singuläres lineares Gebilde
(singulärer linearer Raum) von Ebenen in R!.

Seien nun xxr homologe Punkte unserer Collineation; dann be-
stehen die Gleichungen (2), aus denen durch Composition mit

vi | vi | . . . | vi

Q^xl vi — ^?ai i Xi vi = ^%i ^>V k vk

k i k

folgt. Ist nun vf eine singulare Ebene von R'} so ist wegen (7)

(8) Q^xlvi-0,

k

also ist entweder q = 0 oder

(9) ri*! + — + ai+ii£+i-0;

d. h. es entspricht vermöge der singulären Collineation (2) jedem
Punkte von R ein bestimmter Punkt x' von R\ der nach (9) auf allen
Ebenen des Gebildes*** TTJ_i, mithin auf dem Träger dieses Gebildes
liegt, es müsste denn x ein singulärer Punkt des Raumes R sein;
dann sind die Gleichungen (2) bei beliebigen xt wegen (6) durch q — 0
erfüllt; mit anderen Worten, x' ist ganz unbestimmt. Umgekehrt: Ist
x' in R' gegeben, und wird der Punkt x von jR gesucht, welchem x'
vermöge (2) entspricht, so sind zwei Fälle zu unterscheiden. Liegt
erstens x' nicht auf allen Ebenen des Gebildes TTJ-i, so muss

* Im Falle h = 1 ein einzelner Punkt.

** Segre, Sulla teoria e sulla classificazione delle omografie in uno spazio
lineare ad un numero qualunque di dimensioni, Reale Acad. dei Lincei (84), Serie 3 a,
Bd. XIX, S. 6. Vergl. diese Arbeit auch im Folgd.

*** Der Zusatz „linear" bleibt in Folgd. zuweilen weg, da überhaupt hier
nur lineare Gebilde auftreten.

Klassifikation der Collineationen. 201

wegen (8) q = 0 sein; aus den Gleichungen (2) und (6) geht dann
unmittelbar hervor , dass jeder singulare Punkt you R homolog zu x*
ist. Liegt aber zweitens x' auf dem Träger des Raumes TTi_i,
dann sind wegen (7) und (9) die Gleichungen (2) durch h linear un-
abhängige Relationen verbunden, man hat für die Unbekannten

also n -fr 1 — h Gleichungen, und es giebt daher im Räume R ein
lineares Gebilde S/t von der Dimension h, dessen Punkte sämmtlich
zu x! homolog sind. Dieses lineare Punktgebilde Sh muss das Ge-
bilde PÄ_ i enthalten, weil jedem Punkte von PA_i alle Punkte von R'
entsprechen. Analoges gilt für homologe Ebenen. Eine Collineation
der eben betrachteten Art heisst eine singulare Collineation
hteT Species* Wir stellen ihre Eigenschaften nochmals zusammen:

Es entspricht bez. entsprechen
einem Punkte von R im Allg. . . . ein Punkt von P', der auf dem

Träger des singulären Gebildes
TT/Ui Hegt;
einem Punkte von R' im Allg. . . . alle Punkte des singulären Gebildes

PÄ_i in P;
einem Punkte von Ph—i in R . . . alle Punkte von Pf;
einem Punkte von R\ der auf dem ... die Punkte eines linearen Gebildes

Träger von TTa_i liegt Sh von R, das Ph—i enthält;

einer Ebene von R im Allg. . . . alle Ebenen von TT/'—!;
einer Ebene von R' im Allg. . . . eine durch Pa_i gehende Ebene

von P;
einer durch PÄ_i gehenden Ebene. . die Ebenen eines linearen Gebildes
von R El von ht6T Dimension in Rf,

welches TT;' — ! enthält;

einer Ebene des Gebildes TT* i . _. . alle Ebenen von R.

von FJ

100. Die durch Pa_i gehenden Gebilde Sh(li<n) sind die Ele-
mente eines linearen Gebildes (n — ^)ter Dimension, und diese sind
durch die betrachtete singulare Kollineation collinear (projektiv) auf
die Punkte des Trägers des Gebildes TT/'—!** bezogen, die ein lineares
Punktgebilde (n — h)teT Dimension constituiren. Analog sind die das
Gebilde TT/'_i enthaltenden Gebilde Xj[ die Elemente eines linearen
Gebildes (n — h)teT Dimension, und diese Elemente sind vermöge

* Segre, I.e. S. 7.

** Bez. bei h = 1 auf die Punkte der Ebene TT/

202 § 17> 10°-

der singuläreu Collineation collinear (projektiv) bezogen auf die
Ebenen, die den Träger von PA_i bilden* Beide Beziehungen sind
nicht singulär, d. h. sie werden durch lineare Gleichungen vermittelt,
deren Determinanten nicht Null sind; jede derselben ist die Folge der
andern. Z. B. hat man für n + 1 = 4, also im gewöhnlichen Räume,
bei einer singulären Collineation erster Species einen singuläreu Punkt P0
in R und eine singulare Ebene TT^ in R'. Zwischen dem Bündel P0
und dem ebenen Systeme TT^ wird durch die singulare Collineation
eine collineare (nicht singulare) Verwandtschaft hergestellt. Jedem
Strahle % von P0 entspricht ein Punkt p von T\'0 dadurch, dass allen
Punkten von % durch (1) ein und derselbe Punkt p auf TT^ zugeordnet
ist, u. s. w. —

Ist wieder die Determinante A vom Range n — h + 1 = r, so kann
man die {n + 1) linearen Formen

(1) (2) (r)

&x * &x i • • • &x

als lineare Formen von r unabhängigen linearen Formen

darstellen, wo

a£° — «ix) Xt + «P x2+- • + «i+i Xn+v

Die Collineation hteT Species (1) lässt sich daher auf die Form
(10) Qt tfl? uycq + q2 «L2) uaw + • . . + Qr a(xr) «*>) - 0

bringen, wo die

ua(x) = Mi a(ix) 4- u2 a(2x) + h «*+i ß/f-f-i

lineare Formen der w* bedeuten.

Die Punkte, welche die Gleichungen

«f«o, aSP-ö,...«£)-o

befriedigen, sind die Punkte des Gebildes PA_i, die Ebenen, welche
den Gleichungen , . ,

Wa(l) = 0, MaW = 0, . . . Wa<r> — 0

genügen, sind die Ebenen des singulären Gebildes TT/'_i. Diejenigen
Punkte, welche die Gleichungen

«<1}=o, c4,)-o,...«Lr-1,-o

befriedigen, erfüllen ein Gebilde Sh von hiei Dimension; allen diesen
Punkten ist durch die collineare Beziehung (10) ein und derselbe

* Bez. bei h = 1 auf die Ebenen des Punktes P0.

Klassifikation der Collineationen. 203

Punkt a^ zugeordnet; u. s. w. Man kann also jetzt sofort r durch PÄ_i
gehende Gebilde Sh und die ihnen entsprechenden Punkte aP\ a^\ . . dr)
auf dem Träger T von TTa_i angeben; die Coordinaten dieser r Ge-
bilde Ok\ . . . #i sind unabhängig. Entspricht daher einem (r -f l)ten
Gebilde S{+1\ das Ph—i enthält, und dessen Coordinaten nicht linear
abhängig sind von denjenigen von r — 1 der Gebilde $\ . . . S%\
der Punkt a^^V von T, so ist durch die Zuordnung der Elemente afi)
und S£\ a{2) und M2), . - ■ «(r+1) und S%+1) gerade die collineare, nicht
singulare Beziehung festgelegt, welche durch die singulare Collineation

(I) zwischen den Elementen des Gebildes (n — h)teT Dimension mit
dem Träger Pa_i und den Punkten des Trägers von T\,[—i hergestellt
wird. Ist umgekehrt für ein bestimmtes n und h Qi < n) eine col-
lineare, nicht singulare Beziehung dadurch gegeben, dass den Elementen
Sk\...Sh eines Gebildes (n — h)teT Dimension von R der oben be-
schriebenen Art bez. die Punkte a^\ . . . dr^v> eines linearen Punkt-
gebildes (n — h)t6v Dimension von R zugeordnet sind, so giebt es eine
singulare collineare Verwandtschaft hteT Species zwischen R und R'y
welche diese nicht singulare Collineation zwischen den beiden Ge-
bilden (n — h)teT Dimension herstellt. In der That werden dann durch
eine bilineare Gleichung von der Gestalt der Gleichung (10) den
Elementen SJP, . . . $ir) die Punkte aP-\ . . . a,W bez. zugeordnet bei
noch willkürlichen q1} . . . Qr. Verlangt man dann weiter, dass dem
Elemente >Sy4r+1) der Punkt a^ entspreche, so bedingt dies (r — 1)
Gleichungen für die homogenen Veränderlichen q1} . . . 'pr; diese sind
also bestimmt. Die so erhaltene Collineation (10) ist aber eine
singulare hier Species.

101. Wir betrachten von nun an eine beliebige Collineation (1)
zwischen zwei aufeinanderliegenden (conjeMiven) Räumen R und R' von
ntet Dimension. Um die Punkte x zu bestimmen, die mit ihren
homologen zusammenfallen, hat man dann die (n + 1) Gleichungen

(II) lxk = ^ai1cXi

i

zu lösen. Um dies auszuführen, muss man bekanntlich zuerst die
charakteristische Gleichung

(12) A(i) = |l-*,|--0

der Collineation auflösen. Diese hat im Allgemeinen n -f- 1 ver-
schiedene Wurzeln cu c2, . . . cn + 1. Für X «= a (i = 1 , 2, . . . n + 1)
werden die n + 1 linearen Gleichungen (11) lösbar; dalier besitzt eine
Collineation im n- dimensiondien Räume im Allgemeinen n + 1 Doppel-

204 • §17,101—102.

punkte. Es kann sich nun aber ereignen, dass einer Wurzel mehr als
ein Doppelpunkt entspricht. Verschwindet nämlich für X = d nicht
nur A(X), sondern sind auch gleichzeitig alle Subdeterminanten
(n — h + 2)ten Grades von A(A) gleich Null, aber nicht alle Subdeter-
minanten {n — 7^ + l)ten Grades, dann sind für X = c{ die Gleichungen
(11) durch h unabhängige lineare Gleichungen verknüpft; daher giebt
es oo''—1 Doppelpunkte, die ein lineares Gebilde (h — l)ter Dimension
erfüllen. Alle die verschiedenen linearen Gebilde von Doppelpunkten,
die auf diese Weise den verschiedenen Wurzeln der Gleichung A(A) = 0
entsprechen, heissen die Fundamental-Punktgebilde (Fundamen-
talräume von Punkten) der Collineation* Analog erhält man
durch Auflösen der Gleichungen

(13) **-2

aikuk

k

die Fundamental-Ebenengebilde (Fundamentalräume von
Ebenen) der Collineation.** Im allgemeinen Falle bestehen die
ersteren Gebilde aus n + 1 einzelnen Punkten, die letzteren aus n + 1
Ebenen; diese n + 1 Ebenen sind die Ebenen, welche durch je n von
den n -f- 1 Doppelpunkten bestimmt werden.***

Ist die Collineation eine singulare hteT Species, so ist Ph—i eines
der Fundamental-Punktgebilde, TTa—! eines der Fundamental-Ebenen-
gebilde; beide Gebilde entsprechen der Wurzel l = 0 der Gleichung
A(A) = 0.

102. Nach dem Satze 22 in 81 giebt es eine (nicht ausartende)
Reciprocität (Correlation) C, welch die Collineation (1) in sich selbst
transformirt. Entspricht vermöge dieser Reciprocität dem Punkte x
von R die Ebene d — v[\ vi |. . .] flj+i von B\ der Ebene u' von B'
der Punkt y = yx \ y2 \ . . . ! yn+i von JR, so ist also

(14) *S]ai i a* u* — ^»i * y« »*.

Entspricht daher weiter vermöge C dem Punkte #f von R' die Ebene

von i?, so ist bei ^►Vfoaftft — 0 wegen (14) auch ]^faty<0* — 0|

* Veronese, Ann. d. math. (83) Serie 2a, tom. XI, p. 115.
** Fundamentalgebilde 0*« Dimension (Fundamentalelemente) sind also die
einzelnen Doppelpunkte bez. Doppelebenen.

*** Im Falle n = 1 oder n = 2, also z.B. für aufeinanderliegende collineare
gerade Punktreihen oder ebene Systeme erleiden obige Ausführungen selbst-
verständliche Modifikationen.

Klassifikation der Collineationen. 205

d.h. der Ebene v von B' entspricht durch die Collineation (1) die
Ebene v von B.

Ist x ein Doppelpunkt der Collineation (1), so ist für einen ge-
wissen Werth d von l nach (11)

Ci^pXi u\ = ^?äj k Xi Um

bei beliebigen u\\ daher ist, da durch die Reciprocität C die Form
ffi wi H h a?n+i«»+i in y1v\-\ \- yn+xv'n+t übergeht,

i ^Vi *fr- J?*ti'fi v'k

bei beliebigen y$ v ist daher eine Doppelebene der Collineation (1),
und es gilt somit der Satz:

a) Die Fundamental- Punktgebilde und Fundamental- Ebenengebilde,
die einer und derselben Wurzel der Gleichung A (X) = 0 ent-
sprechen, sind homologe Gebilde einer Beciprocität.
Nun seien c1 und c2 zwei verschiedene Wurzeln der Gleichung
A(T) = 0; x = x' sei ein c1 entsprechender Doppelpunkt, u = u1 eine
c2 entsprechende Doppelebene unserer Collineation; dann ergiebt sich
aus (11) und (13) durch Composition mit ux | . . . | w„+i bez. mit

ajj | ... I ^„4-1 „^ __

q > #* % = > at- i a?j w*,

c2^?X{ Ui =^gik Xi uk.

Hieraus folgt ( w , , \ A

(q — c2) (wj ^ H h«4+i #n+i) = 0.

Da aber cx =j= c2 ist, so muss folglich

sein. Also: W+'"+*+ifc+i-0

&) Jedes Fundamental- PunJägebilde liegt in den Trägem aller nicht

zu ihm homologen Fundamental -Ebenengebilde*
Man spreche auch den dualen Satz aus.

Wir wollen einen weiteren Satz über die Fundamentalgebilde ab-
leiten. Die Verbindungsgerade zweier homologen Punkte x, x' ** ent-
hält den Punkt mit der Gleichung

L JVwJ Xi + A2^V- 4 #,- tti, — 0

in Ebenencoordinaten u'k. Soll derselbe in einer bestimmten Ebene v
liegen, so muss

* Segre, 1. c. S. 15.
** Das lineare Punktgebilde erster Dimension, das x und x enthält.

206 § 17, 102.

*! ^Vi Xi -f A2 *Sjaik xt vk — 0

sein. Daher schneidet die Gerade xx* die Ebene v im Punkte p mit
der Gleichung

( 1 5) -S M' *' 2a* * Xi Vk ~2Vl Xi 2ai * ^ M* = °*

Ist insbesondere # eine zur Wurzel Ci von A(A) = 0 gehörige Doppel-
ebene, so ist nach Obigem

( 1 6) d ^jvi x{ =^>V k Xi vk
bei allen x{. Aus (15) und (16) folgt aber

(17) Ci ^u'j Xi — ^(*i k Xi ui = 0

als Gleichung von p. Diese Gleichung ist nicht von v abhängig.
Daher gehen alle Ebenen des zu c, gehörigen Fundamental -Ebenen-
gebildes durch p. Also trifft die Gerade xx' den Träger dieses Ge-
bildes ; d war aber eine beliebige Wurzel von A (2) — 0. Also :

c) Die Verbindungsgeraden homologer Punkte der Collineation treffen

die Träger sämmtlicher Fandamental- Ebenengebilde.

Entsprechen den (verschiedenen) Wurzeln cx und c2 Fundamental-

Ebenengebilde mit den Trägern Tx und T2, so hat man für die

gemeinsamen Punkte p19 p2 der Geraden xx' und der Träger Tx und

T2 nach (17) bez. die Gleichungen

Cl ^Vi Xi — 2*»/ k X; Uk — 0, C2 ^W X{ — ^V i $i Uk = 0.

Das Doppelverhältniss der vier Punkte xx' p^ ist daher gleich — ; das-
selbe wird 0 bez. oo, wenn eines der Fundamental -Ebenengebilde zugleich
das singulare Ebenengebilde einer (singulären) Collineation vorstellt.

Man bezeichnet das Verhältniss zweier (verschiedenen) Wurzeln
von A(A) = 0 als eine absolute Invariante der Collineation (1),
vorausgesetzt, dass die Collineation nicht singulär ist. Ist die Col-
lineation (1) singulär, so sind die Verhältnisse je zweier unter sich und
von Null verschiedener Wurzeln von A (X) = 0 als absolute Invarianten
der Collineation aufzufassen. Besitzt eine Collineation m unabhängige
absolute Invarianten, so bezeichnet man irgend welche m unabhängige
Invarianten derselben kurz als die absoluten Invarianten der Collineation.
Im Allgemeinen besitzt eine ordinäre Collineation (1) ny eine singulare
Collineation hteT Species (1) n — h absolute Invarianten.

Die absoluten Invarianten bedeuten nach dem Vorhergehenden
Doppelverhältnisse von Punkten. Man kann aber, indem man die
dualen Betrachtungen anstellt, die absoluten Invarianten auch als
Doppelverhältnisse von vier Ebenen deuten. Es ergiebt sich so endlich,

Klassifikation der Collineationen. 207

dass die Punktreihen, gebildet aus zwei homologen Punkten x,x' und
den Treffpunkten der Geraden xx' mit den Trägern der Fundamental-
Ebenenräume projektiv sind unter sich und auch zu den Ebenenbüscheln,
gebildet aus zwei homologen Ebenen u,u' und den Ebenen, welche
das Ebenenbüschel uu' und die Träger der Fundamental - Punkträume
mit einander gemein haben.

Von Wichtigkeit ist schliesslich noch der Satz:
d) Zivei Fundamentalgebilde gleicher Art haben niemals ein Element
gemein.

Denn wäre xrr ,<^

ci xk — > «i k %i, c2 xk — > a,i * xh

i i

so wäre

(q— c±)xk = 0,
also, wenn ct=%= c2y

%!=x2= ■-■ =^+i = 0,

während nicht alle Xjt Null sind.

Liegt der Punkt x auf der Doppelebene v, so liegt nach (16) auch
der zu x homologe Punkt x' auf v. Auf jeder Doppelebene v wird
also durch die Collineation (1) eine collineare Beziehung K hergestellt.
Fundamental -Punktgebilde derselben sind alle diejenigen der Col-
lineation (1), welche nicht dem Fundamental -Ebenengebilde entsprechen,
welchem v angehört (Satz b). Fundamental -Punktgebilde von K sind
aber auch diejenigen Punktgebilde, in welchen unsere Doppelebene v das
entsprechende Fundamental -Punktgebilde schneidet*; ausser den Punkten
dieser Gebilde sind keine anderen Punkte von v Doppelpunkte der Col-
lineation K. — Analoges gilt, wenn man anstatt einer Doppelebene v
den Schnitt mehrerer Doppelebenen desselben Fundamentalraumes in Be-
tracht zieht. — Endlich fasse man noch die Collineation in's Auge,
welche durch (1) auf dem Träger T** eines Fundamental -Ebenenraumes
hergestellt wird. Fundamental -Punkträume derselben sind alle die-
jenigen von (1), welche nicht dem betrachteten Fundamental-Ebenen-
raume entsprechen (Satz b), und dann noch das Gebilde der ge-
meinsamen Punkte von T und dem entsprechenden Fundamental-
Punktraume, falls gemeinsame Punkte überhaupt existiren. — Die zu
vorstehenden reciproken Betrachtungen wolle man selbst anstellen.

103. In der bilinearen Form ^S^aaXiUk, die wir mit f(xu') be-
zeichnen wollen, sind die Veränderlichen X{ und u[ als Punkt- bez.

* Vorausgesetzt, dass letzteres Gebilde kein einzelner Punkt ist. Vergl.
Satz e auf S. 212.

** Falls T kein Punkt ist; ist T ein Punkt, so ist es ein Doppelpunkt der
Collineation.

208 § 17, 103.

Ebenencoordinaten contragrediente Variabele. Geht dalier die Form
f(xu') durch eine Coordinatentransformation im Räume B = R' oder
eine projektive (collineare oder reciproke) Umformung des Baumes
B = R! in eine Form F(XU') über, so sind f(xu') und F(XU')
ähnliche bez. duale Formen (30), und somit stimmen die ET ihrer
charakteristischen Determinanten überein; stimmen umgekehrt die ET
dieser Determinanten für zwei bilineare Formen überein, so sind die-
selben ähnliche bez. duale Formen (Theorem XXI und XXY). Wir
bezeichnen die charakteristische Determinante der Form f(xu') zu-
gleich als die charakteristische Determinante der Collineation
f(xu') = 0, die Charakteristik der Form f(xu') mit contragredienten
Veränderlichen (78) zugleich als die Charakteristik* der Col-
lineation f(xu') — 0.

Die Collineation (1) habe die Charakteristik

(18) [(«,, e[,... 4". -»>) («,, e't, . . . *?.-») . . . (e„ e\, . . . ej», -«)],

wo die e in den runden Klammern nach fallender Grösse geordnet
seien-, die Exponenten der iten, rundgeklammerten Gruppe sollen sich auf
die Basis (X — d) beziehen. Danach steckt der Theiler (X — ci) in A (X)
zur Potenz . . . . (*,— i)

in allen Subdeterminanten nieQ Grades von A (X) zur Potenz

e'i H + e) l \

u. s. w., schliesslich in allen Subdeterminanten (n — h + 2)ten Grades
zur Potenz (A;— i)

aber in allen Subdeterminanten (n — h + l)ten Grades tritt (X — ft)
nicht gleichzeitig auf. Daher verschwinden für X = d alle Subdeter-
minanten (n — hi + 2)ten, aber nicht alle Subdeterminanten (n — h + l)ten
Grades, und somit gehört zur Wurzel c, von A(A) = 0 ein Fundamental-
Punktgebilde und Fundamental -Ebenengebilde (&, - l)ter Dimension.
Auf diese Weise ist jeder Exponentengruppe aus (18) ein Fundamental-
PunM und ein Fundamental -Ebenengebilde zugeordnet. Enthält die
Gruppe h Exponenten, so sind diese Gebilde (h{— l)ter Dimension.

Ist die Collineation singulär, und beziehen sich die Exponenten
der Gruppe

(19) («, rff • . • ep~1])

aus (18) auf die Basis X, so ist für X — 0 die Determinante A(A), wie
wir eben sahen, vom Range (n — h + 1); die Collineation ist daher
singulär hier Species (99); die zur Gruppe (19) gehörenden Fundamental-

* Vergl. Segre, I.e. S. 13.

Klassifikation der Collineationen. 209

gebilde sind zugleich die singulären Gebilde der Collineation. In der
Charakteristik einer jeden singulären Collineation 7&,ter Species tritt um-
gekehrt stets eine zur Basis X gehörende Exponentengruppe (19) auf.
Ueber diese Exponenten werden wir im Folgenden eine „Null" setzen;
dass man sowohl ordinäre, als singulare Collineationen h/er Species mit
vorgeschriebenen Charakteristiken bilden kann, geht unmittelbar aus
TJieorem XXII hervor.

Nunmehr klassificiren wir nach einem oft angewandten Principe
die ordinären Collineationen des w-dimensionalen Raumes, wie folgt:

Wir rechnen zur selben Klasse alle diejenigen ordinären Collineationen,
welche dieselbe Charakteristik Imben.

Analog klassificiren wir die singulären Collineationen gleicher
Species des «-dimensionalen Raumes:

Wir rechnen zur selben Klasse von singulären Collineationen hiter
Species diejenigen Collineationen, ivelche dieselbe Charakteristik besitzen.

Sind die Formen f(xu') und F(XU!) ähnlich, so gehören die

Collineationen f(xu') = 0 und F(X U1) = 0 zur selben Klasse (siehe

diesen Artikel oben). Wir wollen nun umgekehrt voraussetzen, dass zwei

Collineationen f(xu') — 0 und F(XU!) ■— 0 zur selben Klasse gehören.

Für/*= 0 beziehe sich die Gruppe (19) ihrer gemeinsamen Charakteristik

(18) auf die Basis (X — ci), für F=0 auf die Basis (X — cj). Ist

alsdann , , ,

cL:c2: • •• :ct= Ci:c2: •••:#,

so sind die Collineationen f=0 und F=0 identisch bez. projektiv
identisch. Denn ist für ein endliches, von Null verschiedenes q,

so besitzen die charakteristischen Determinanten von f und qF die-
selben ET; daher sind die Formen f und F ähnlich bez. dual
(Theorem XXI bez. XXV); die Collineationen F= 0 und qF= 0 sind
aber identisch; also sind in der That unter den gemachten Voraus-
setzungen die Collineationen f — 0 und F = 0 identisch bez. projektiv
gleich. — Haben zwei Collineationen dieselbe Charakteristik (18) und
gehört zu einer Gruppe (19) derselben für die eine die Basis (X — ct),
für die andere die Basis (X — c'), so wollen wir cL und cj entsprechende
Wurzeln ihrer charakteristischen Gleichungen nennen; man kann dann,
wenn et und c\, c* und c[ entsprechende von Null verschiedene Wurzeln

c. ei

zweier Collineationen mit gleicher Charakteristik sind, — und —, ent-

Ck °k

sprecliende absolute Invarianten der Collineationen nennen (102). Nach
dem Vorausgehenden gilt der Satz:

Muth, Elementartheiler. 14

210 § 17> 103-104.

35) Zwei Collineationen sind dann und nur dann identisch bez.
projektiv identisch, ivenn sie 1) zur selben Klasse gehören, und ivenn
2) die entsprechenden absoluten Invarianten derselben übereinstimmen.

Zu jeder Klasse von Collineationen gehört eine Normalform, auf
welche alle Collineationen derselben durch lineare Coordinaten-
transformation (bez. durch eine projektive Umformung) gebracht werden
können. (Vergl. §11, insbesondere Gleichung (1) daselbst.)

104. Wir betrachten eine Collineation (1), deren Charakteristik
durch (18) gegeben sei*; eine Gruppe (19) aus derselben beziehe sich
auf den linearen Theiler (X — ct) von A (A); der dieser Gruppe (19)
zugeordnete Fundamental- Ebenenraum (&,-— l)ter Dimension (103) be-
sitzt einen Träger von der Dimension (n — hi), auf welchem durch
die Collineation (1) eine collineare Beziehung hergestellt wird (102),
die wir mit K bezeichnen wollen. Welches ist nun die Charakteristik
dieser Collineation K, und welche absolute Invarianten besitzt K?

Diese Fragen beantwortet man am einfachsten mittelst der
Normalform der Collineation (1). Zunächst können wir, ohne die
Allgemeinheit zu beeinträchtigen, annehmen, dass die Gruppe (19)
die erste in (18) sei; wir schreiben ferner e(*) für df\

Alsdann können wir nach 77 [vergl. daselbst die Gleichung (1)]
unsere Collineation (1) durch lineare Coordinatentransformation auf
die Gestalt

c1{x1u1-\ h xeue) + (xxu2 H h xe-iU,)**

-f <i(£#+l«*«+l4- ••• +Xe+e'Ue + <f) +(^+lW«+2H + 3«+«'-l Ue+/)

(20) ;

bringen, wenn wir für die neuen Coordinaten X{ bez. U; schreiben.
Die in %{xu) auftretenden Variabelen fehlen im übrigen Theile von (20).
Aus (20) ersieht man aber sofort, dass die h Ebenen mit den
Gleichungen
(21) xl~09 a^— 0,... ,*+/+.. ^"V"?

Doppelebenen der Collineation sind, und zwar bestimmen sie gerade
den der Gruppe

* Ist dieselbe singulär, so sind über die Exponenten einer gewissen Gruppe
Nullen zu setzen (103).

** Ueber das Auftreten dieser Klamm erausdmcke vergl. die Anin. S. 153.

Klassifikation der Collineationen. 211

(e, e',... e1"-1»)
zugeordneten Fundamental-Ebenenraum unserer Collineation ; die Punkte,
deren Coordinaten die Gleichungen (21) befriedigen, erfüllen ein
lineares Gebilde (n — h)tet Dimension, den Träger dieses Fundamental-
Ebenengebildes. Man erhält also die Collineation K im betrachteten

Träger, wenn man in (20) die Variabelen x1,xe+1,...xe+e'+ he(/'~2)+l

gleich Null setzt. Denkt man sich daher die Exponenten e^ so ge-
ordnet, dass e > ef > e" ^•••, sind ferner in der Reihe dieser Zahlen
die Je ersten grösser als 1, die übrigen gleich 1, so besitzt (wegen
Theorem V; vergl. auch Theorem XXII) die charakteristische Deter-
minante von K die ET

u - cxy-\ {i - Cly-\ . . . (x - cy-1^,

während ihre übrigen ET mit den nicht auf die Basis (1 — q) be-
züglichen ETn der charakteristischen Determinante von (1) überein-
stimmen; ist aber e = e' = • - • = e(Ä_ *) = 1, so hat die charakteristische
Determinante von K keinen zur Basis (l — c±) gehörigen ET, und ihre
übrigen E T stimmen mit den nicht zur Basis {X — q) gehörenden ETn
von (1) überein. Im ersten Falle hat also K dieselben absoluten In-
varianten, wie (1), im letzteren eine absolute Invariante weniger. Also
gilt das Theorem:

XL. Die Collineation Ky welche durch eine gegebene Col-
lineation (1) mit der Charakteristik

(22) [(e.ArA^) (^^...eSf^-M-,-^1')...^,«!,...^'-1))]

in dem Träger des der iten Gruppe dieser Charakteristik
zugeordneten Fundamental-Ebenengebildes (oder
Fundamental-Punktgebildes) hergestellt wird, hat,
wenn , (h t*

vorausgesetzt wird, im Falle ef~1] > 1, e{P= 1 die
Charakteristik

und dieselben absoluten Invarianten, wie die ge-
gebene Collineation, im Falle et ■= 1 aber erhält man
die Charakteristik von K, indem man in derjenigen
von (1) die ite Gruppe weglässt; die Collineation K
besitzt in diesem Falle eine absolute Invariante
weniger als die gegebene Collineation*

* Segre beweist dieses Theorem 1. c. Art. 16 u. 17, indem er u. A. zwei
Wurzeln c. sich unendlich nahe rücken lässt. Wir möchten obigen, zugleich
einfacheren, Beweis vorziehen. Wird die Charakteristik von K zu [l], so be-

14*

212 § 17, 104.

Vergl. die Anmerkung 1, S. 210. — Im eben aufgezählten zweiten
Falle sind Fundamental -Punktgebilde von K diejenigen von (1), welche
den von der betrachteten Gruppe verschiedenen Gruppen in (22) zu-
geordnet sind (Satz b), weitere Fundamental -Punktgebilde kann K nicht
besitzen; also gilt der Satz:

e) Der einer Gruppe von (22), ivelche nur Exponenten 1 enthält,
zugeordnete Fundamental -Punktraum hat mit dem Träger des ent-
sprechenden Fundamental -Ebenenraumes keinen Punkt gemein.

Eine einfache Folgerung hieraus ist:

f) Bestehen alle Gruppen in der Charakteristik (22) aus Ex-
ponenten 1, so liegt kein Punkt eines Fundamentalgebildes auf dem
Träger des entsprechenden Fundamental -Ebenengebildes.

Anders verhält sich die Sache, wenn ef~ > 1, cj ■■ 1 ist- Dann
hat die Collineation K ebensoviele Fundamental -Punktgebilde, wie (1),
und zwar sind erstens solche Gebilde diejenigen von (1), welche den
von der betrachteten verschiedenen Gruppen aus (22) entsprechen, zweitens
aber dasjenige lineare Gebilde (k — l)ter Dimension, welches hier der be-
trachtete Träger mit dem jener iten Gruppe entsprechenden Fundamental-
Punktgebilde gemein haben muss. (Vergl. 102, Schluss.) Also:

g) Enthält eine Gruppe der Charakteristik einer Collineation nur
einen Exponenten, der grösser als 1 ist, so schneidet das der Gruppe
zugeordnete Fundamental -Punktgebilde den Träger des der Gruppe ent-
sprechenden Fundamental - Ebenengebildes.

sagt dieses, dass der Träger des der ^en Gruppe zugeordneten Fundamental-
gebildes ein (Doppel-) Punkt bez. eine (Doppel-) Ebene ist. (S. 207, Anm. 2.) —
Der Satz, den Casorati (Compt. rend. (81) tom. 92, S. 175 u. 238) bewiesen hat
(vergl. auch He ff t er, Theorie der lin. Differentialgl. , Leipzig 1894, S. 250), ist

eine Folgerung aus obigem Satze XL. Ist nämlich speciell in f =■ /,«ft#f <<i
für 8 = 1, 2,...n + l, t«l,8,...A

ast= c, bei s = t,

ait= 0, bei s='=i,
so sind xx = 0 , x2 = 0 , . . . xh = 0 die linear unabhängigen Gleichungen von h
Ebenen des Fundamental- Ebenenraumes TT^_1, der der ersten Exponentengruppe
in (22) zugeordnet ist, wenn h = h1, c = cx genommen wird. Die Collineation K
im Träger von T\'h_1 hat daher die Gleichung

yaik x{u[. = 0 (», jfc = Ä + 1, h + 2 , . . . n -f 1);

die charakteristische Determinante derselben besitzt aber nach Satz XL die ET

(x-cy>-\ (i-c)«-\...(L-cyi"-1)-1

mit der Basis /. — c, wobei die Potenzen mit Exponenten „Nullu wegbleiben, und
im Uebrigen dieselben ET, wie f— 0. Bas besagt aber gerade der Casorati'sche
Satz. — Dass aus diesem umgekehrt der obige Satz XL gefolgert werden kann,
braucht wohl kaum erwähnt zu werden.

Klassifikation der Collineationen. 213

Wir wollen weiter den Fall studiren, wo in einer, etwa wieder der
iten Gruppe von (22), alle Exponenten grösser als 1 sind. Da dann k = hh
so enthält der betrachtete Träger ausser den nicht entsprechenden Funda-
mental-Punktgebilden von (1) nach dem Vorhergehenden einen Funda-
mental-Punktraum (hi— l)ter Dimension. Daher enthält der Träger auch
das der iten Gruppe entsprechende Fundamental-Punktgebilde von (1) (103):

h) Tritt in der Charakteristik einer Collineation (1) eine Gruppe
von Exponenten auf, die sämmtlich grösser als 1 sind, so enthalt der
Träger des ihr zugeordneten Fundamental-Ebeneng ebildes alle Fundamental-
Punktgebilde von (1).

Zum Schlüsse noch eine Bemerkung über die Fundamentalgebilde
einer singulären Collineation (1). Ist (1) singulär, so giebt es, wenn
wir wieder die Collineation (1) kurz mit f(xu') «= 0 bezeichnen und
'#/**! = u[ (i — 1, 2, . . . n 4- 1)

2

setzen, in der Schaar von Collineationen

X1u!c -f X2f(xu') — 0
im Allgemeinen (n -f 1) singulare Collineationen und unendlich viele
ordinäre Collineationen, da \X{Ux -{- X2f(xu!)\=>=0 ist; sei diese
Determinante für ^ = — 2', X2 = 1 nicht Null, also

f(xu') — X't*L-> o
eine ordinäre Collineation der Schaar, die wir kurz mit %(xu') = 0
bezeichnen wollen-, jeder Doppelpunkt von f(xu') = 0 ist auch ein
solcher von %(xu') = 0, und umgekehrt. Dasselbe gilt von den Doppel-
ebenen. Also haben f(xu') — 0 und %(xu') = 0 dieselben Fundamental-
gebilde. Die charakteristische Determinante von %(xu!) ist

\(X + X')u^-f(xu%
ist daher (X — c)e ein ET von | Xu* — f(xuf)\, so ist [X — (c — X')]e ein
E T von | Xu'x - x (#«*') I- Also:

Ist f(xu') = 0 eine singulare Collineation, so hat die ordinäre
Collineation Xf tfj — f(xu') = 0 dieselben Fundamentalgebilde, wie
f(xu!) = 0; ihre Charakteristik erhält man aus derjenigen von f(xur) — 0,
indem man die übergesetzten Nullen weglässt.

105. Die bisher erlangten Resultate setzen uns in den Stand, die
projektiven Eigenschaften der Collineationen aller Klassen eines Baumes
nter Dimension vollständig anzugeben, ohne dass es nöthig ist, die be-
treffenden Normalformen der Collineationen heranzuziehen. Wir wollen
dies für die Fälle n = 1, 2 und 3 wirklich ausführen und zwar bei n — 1
in der Geraden, bei n = 2 in der Ebene. Wenn wir dabei die Normal-
formen für die Collineationen aller Klassen zufügen, so geschieht dieses
nur deshalb, damit der Anfänger die geometrischen Eigenschaften der

214 § 17, 105.

Collineationen an den Normalformen direkt studiren kann. Versteht
derselbe unter pt (*«) den Punkt (die Ebene), dessen (deren) Coordinaten
alle ausser der iten Null sind, so stimmen die unten angegebenen
Fundamentalräume mit denen der Collineation in der betreffenden
Normalform überein*

Ueber den Fall n = 1 sind einige Vorbemerkungen zweckmässig.
Hat ein Punkt die Koefficienten u[ | u!2, so sind — ui \ u[ seine Coordinaten
ffil^i; die Gleichung u[x1-\- u2x2 = 0 besagt also, dass

f f f\ 1 1

Xi X2 — X2 Xx = U, — = ^7

ist, dass also die Punkte x1\x2 und u[ \ u'z identisch sind. Dieses
vorausgeschickt, betrachten wir die Collineationen der Klasse [n].
Hier giebt es den zwei Exponenten 1 in [n] entsprechend in jeder
der aufeinanderliegenden projektiven Punktreihen R und R' zwei
Doppelpunkte px und p2, itt und %2J wo plf itx und p%} %2 ent-
sprechende Doppelpunkte seien. Nach Satz b fällt aber (vergl. die
vorausgehende Bemerkung) pt mit %21 ps mit irx zusammen. Die
absolute Invariante ist das Doppelverhältniss, das zwei homologe
Punkte mit den beiden Doppelpunkten p1 — %2 und p2 = %x bestimmen
(S. 206). — Untersuchen wir z.B. weiter die Collineationen der Klasse [2];
hier tritt in B und Rf je ein Doppelpunkt p2 bez. tcx auf; nach Satz h
ist aber p2 = 7t1 ; absolute Invariante ist keine vorhanden. Endlich
wollen wir die singulare Collineation [1, 1] betrachten. Sie hat zwei
Doppelpunkte px = ä2, p2= 7tl7 wie [11]. (Vergl. 104, Schluss.) Von
diesen ist der eine p2 der singulare Punkt in R, der andere p1 der
in R1 (löl, Schluss). Dem Punkte p2 von R entsprechen alle Punkte
von R'f jedem von p2 verschiedenen Punkte von R entspricht derselbe
Punkt p1 in R' (siehe das Schema am Schlüsse von 99), u. s. w. Nun
wird man auch die übrigen Fälle, ebenso die verschiedenen Fälle bei
n = 2 und n = 3 erledigen können, zumal im Folgenden auf die in
Betracht kommenden obigen Sätze (durch eingeklammerte a, b u. s. w.),
wenn nöthig, hingewiesen wird.
Wir haben also folgende

I. Klassen der Collineationen in der Geraden.

a) Ordinäre Collineationen.

1. [11]: c1x1u1-\- Cj^Uj — O.

Hier treten zwei BoppelpunUe p1= %2 und P2=:ri au^5 sm<^ xx'
zwei homologe Punkte einer Collineation dieser Klasse, so ist das
Doppelverhältniss der Punkte xx1 pxp2 die absolute Invariante derselben.

* In der Geraden hat man dann also unter *, , nt den Punkt der Koefficienten
1 1 0 bez. 0 1 1 zu verstehen, u. s. w.

Klassifikation der Collineationen. 215

2. [2] : cx (x± ux -f x2 u2) + x± u2 = 0.

Die Collineationen dieser Klasse besitzen einen Doppelpunkt p2 = tc±
und keine absolute Invariante.

3. [(11)] : X1u1+ x2 u2 = 0.

Jeder Punkt der aneinanderliegenden Punktreihen ist ein Doppel-
punkt; keine absolute Invariante! Die identische Collineation.

ß) Singulare Collineationen erster Species.

1. [11]: x1u1 = 0.

Jede der projektiven Punktreihen hat einen singulären Punkt p2
bez. pt\ diese Punkte sind zugleich Doppelpunkte der Collineation;
keine absolute Invariante.

2. [2]: xtu2 = 0.

Wie 1, nur dass die beiden singulären Punkte in einen Punkt p2
zusammenfallen; p2 ist zugleich Doppelpunkt.

II. Klassen der Collineationen in der Ebene.
a) Ordinäre Collineationen.

1. [111] : c± xt ux -f- c2 x2 u2 + c3 xs u3 = 0.

Brei Doppelpunkte und drei Doppelgerade, welche die Ecken und Seiten
eines Dreiecks bilden, und zwar ist, wenn pt und :tt- (i = 1, 2, 3) ent-
sprechende Fundamentalelemente sind, die Gerade p1p2= n$, Vi'Pz=='ji\j
PsPi = n2 (/")■ Die Collineationen in jeder der drei Doppelgeraden haben
dieselbe Charakteristik [11] (XL). Die Punktreihen, welche aus zwei
homologen Punkten x, x' und den Schnittpunkten ihrer Verbindungs-
linie mit den drei Doppelgeraden bestehen, sind projektiv unter sich
und zu Strahlenbüscheln, gebildet aus zwei homologen Geraden u, u1
und den Verbindungsgeraden ihres Schnittpunktes mit den drei Doppel-
punkten (S. 206 — 207). Zwei unabängige Doppelverhältnisse, welche x, x'
mit diesen Schnittpunkten (u, ur mit diesen Verbindungsgeraden) be-
stimmen, sind die beiden absoluten Invarianten.

2. [21] : q {xx Mj -f- x2 u2) + c2 xä u3 -f xx u2 = 0.

Zwei Doppelpunkte p2 und p3, zwei Doppelgerade %x und tcz. Auf
der dem Exponenten 2 in [21] entsprechenden Doppelgeraden 7tx liegen
die beiden Doppelpunkte p2 und p3 Qi)y die zu 1 in [21] gehörende
Doppelgerade n3 enthält den dem Exponenten 2 zugeordneten Doppel-
punkt^ (b), aber nichtig (e). Die Collineationen in tcx und jrs gehören
bez. zu den Klassen [11] und [2] (XL). Die absolute Invariante ist
das Doppelverhältniss, welches homologe Punkte x, x! mit den Schnitt-
punkten der Geraden xx' und nly ;r3 bestimmen, u. s. w.

216 §17, 105.

3. [3] : c1 (xx % + x2 u2 + x3 uä) + x± u2 + x2 u3 = 0.

Ein Doppelpunkt p3 und eine Doppelgerade sr,, die p3 enthält (ä);
Äeme absolute Invariante.

4. [(n) l] : q (#! «^ -f oc2 u2) -f c3 :r3 u3 = 0.

Dem Exponenten 1 entspricht ein Doppelpunkt p3 und eine
Doppelgerade 7t3y die getrennt liegen (e), der Gruppe (11) entspricht
ein lineares Fundamental-Punktgebilde (Strahlengebilde) erster Dimension,
d. h. eine gerade Reihe von Doppelpunkten mit dem Träger %3 (a) und
Büschel von Doppelstrahlen mit dem Mittelpunkte p3(a). Die Ver-
bindungsgeraden homologer Punkte gehen stets durch p3y die Schnitt-
punkte homologer Geraden liegen stets auf «8(c). Die Collineationen
dieser Klasse stellen Perspektive Beziehungen vor, bei denen Axe tc3
und Centrum p3 der Perspektivität getrennt liegen. Die absolute In-
variante ist das Doppel verhältniss, welches homologe Punkte x,x', das
Centrum p3 und der Schnittpunkt der Geraden xx' mit der Axe tc3
bestimmen.

5. [(21)] : cL (#! ui -f x2 u2 + x3 u3) + x1u2 = 0.

Die Collineationen sind perspectiv f und zwar liegen Axe nx und
Centrum p2 der Perspektivität aneinander (g); keine absolute Invariante.

6. [(Hl)]: x±ux -\- x2u2 + x3u3 = 0.

Die identische Collineation ; keine absolute Invariante.

ß) Singulare Collineationen.

a) Singulare Collineationen erster Species.
Die Klassen der singulären Collineationen erster Species sind die
Klassen der projektiven Beziehungen zwischen einem Strahlenbüschel und
einer geraden Punkireilie, die derselben Ebene angehören (100). Was die
Art der Vertheilung der Fundamental- bez. der singulären Gebilde an-
belangt, so kann dieselbe unmittelbar aus II, a ersehen werden. (Vergl.
104, Schluss.) Wir haben folgende Fälle zu unterscheiden:

1. [ui]: c1xlu1 + c2x2u2 — 0.
Der Mittelpunkt p3 des Strahlenbüschels und der Träger der zu
ihm projektiven Punktreihe auf %3 liegen getrennt. Zwei Punkte pt
und p2 von it3 liegen auf den homologen Strahlen jr2 bez. it1 von p3.
— Die Collineation auf der singulären (Doppel-) Geraden %3 gehört
zur Klasse [ll], die Collineationen auf den beiden anderen Doppel-
geraden %x und ix 2 gehören zur Klasse [11] (XL). Die absolute In-
Variante ist das Doppelverhältniss, welches zwei homologe Punkte der
Collineation und die Schnittpunkte ihrer Verbindungsgeraden mit itx
und it2 bestimmen.

Klassifikation der Collineationen. 217

2. [21]: C1(x1Ul -f X2U2) + XXU2 = 0.

Der Mittelpunkt p3 des Büschels und der Träger zr% der Punkt-
reihe liegen getrennt; ein Strahl itl des Büschels p3 geht durch den
homologen Punkt p2 von %3. Keine absolute Invariante.

3. [(li) 1] : Xtux + x2u2 = P«

Die Punktreihe auf jr8 und das zu ihm projektive Strahlen-
büschel p3 befinden sich in perspektiver Lage. Keine absolute Invariante.

4. [21] : c2 x3 w4 + x1 u2 = 0.

Der Mittelpunkt p2 des Strahlenbüschels liegt auf dem Träger nx
der Punktreihe, und zwar entspricht dem Strahle irt von p2 ein von p2
verschiedener Punkt p3 von 7iv* Keine absolute Invariante.

5. [3] : xx u2 -f- x2u3 = 0.

Der Träger n1 der Punktreihe enthält den Mittelpunkt p3 des zu
ihm projektiven Büschels, und zwar entspricht dem Strahle 7t± von p3
der Punkt p3 von %.* Keine absolute Invariante.

b) Singulare Collineationen zweiter Species.

1. [lll]: 2^= 0.

Die Ebene R enthält eine gerade Reihe singulärer Punkte auf
dem Träger nu die Ebene R' ein Büschel singulärer Strahlen mit
dem Scheitel p^ px liegt nicht auf %x (vergl. II, a) unter 4 und 104,
am Schlüsse). Einem Punkte von R entspricht im Allgemeinen der
Punkt px von R', der zugleich ein Doppelpunkt ist; weitere Doppel-
punkte sind die Punkte von irly denen als Punkte von R jeder Punkt
von R' entspricht. U. s. w. (99).

2. [21]: x{u2 = 0.

Wie 1, nur dass hier der Mittelpunkt p2 des Büschels singulärer
Strahlen auf dem Träger itl der singulären Punkte liegt. — In beiden
Fällen treten keine absoluten Invarianten auf. (Vergl. II, a) unter 5.)

III. Klassen der Collineationen im Räume 3ter Dimension.
a) Ordinäre Collineationen.

1. [1111]: Cj xx ut + c2 x2 u2 + c3 x3 u3 + c4 #4 w4 = 0.

Vier Doppelpunkte p1,p2>P3,P4! und vier Doppelebenen n^n^, ^3 >Ä4>

welche die Ecken und Seitenflächen eines Tetraeders bilden. Sind pt

und %i entsprechende Doppel demente, so ist die Ebene p^p2pz = #4,

p2pzp± = %\i u.s.w. (/").** — Die Collineationen auf den vier Doppel-

* Ueber die Charakterisirung dieses Falles durch das Verschwinden gewisser
rationaler Invarianten der Collineation vergl. Muth, Math. Ann. (92) Bd. 42, S. 260.
** Die Lage der Doppelgeraden erschliesst man aus derjenigen der Doppel-
punkte- und Ebenen mit Leichtigkeit.

218 §17> 105-

ebenen haben dieselbe Charakteristik [111] (XL). — Die Punktreihen,
welche aus zwei homologen Punkten x, x und den Schnittpunkten der
Geraden xx' mit den vier Doppelebenen bestehen, sind unter sich pro-
jektiv und projektiv zu den Ebenenbüscheln, gebildet aus zwei homologen
Ebenen uu' und den Ebenen, welche die Gerade uu' mit den vier
Doppelpunkten verbinden (S. 206—207). Drei unabhängige Doppelverhält-
nisse, welche x,x' mit diesen Schnittpunkten (u,ti' mit diesen Ver-
bindungsebenen) bestimmen, sind je drei absoluten Invarianten der
Collineationen dieser Klasse.

2. [211] : cx (#! u± + x2 u2) + c2 x3 u3 -f c3 x± uA + xx u2 = 0.

Drei Doppelpunkte p2,p.d,p± und drei Doppelebenen jTi,ä8,«4. Die
drei Doppelpunkte liegen in der dem Exponenten 2 zugeordneten
Doppelebene itx Qi) und die drei Doppelebenen schneiden sich in dem
dem Exponenten 2 zugeordnetem Doppelpunkte p2. Die den beiden
Exponenten 1 entsprechenden Doppelebenen tt3 und :r4 enthalten je
zwei Doppelpunkte p2 und p4 bez. p2 und ps (b). — Die Collineation
auf 7t1 hat die Charakteristik [lll], ihre absoluten Invarianten sind
dieselben, wie die der betreffenden räumlichen Collineation. Die Col-
lineationen auf tt3 und «4 gehören zur Klasse [21], u. s. w. (XL). —
Die Deutung der absoluten Invarianten, deren die Collineationen dieser
Klasse je zwei besitzen, geschieht analog wie bei 1.

3. [31]: c1(x1u1 + x2u2 + xdus) + c2x±u±-\- x1u2 + x2u3 = 0.

Zwei Doppelpunkte p3, p± un(^ zwe^ Doppelebenen jtlf jt4. Die dem
Exponenten 3 zugeordnete Doppelebene «j enthält die beiden Doppel-
punkte; der demselben Exponenten entsprechende Doppelpunkt pz liegt
in der Schnittgeraden der beiden Doppelebenen (li)', p4 liegt aber nicht
in dieser Schnittlinie (e). — Die Collineationen auf %x und :r4 haben
bez. die Charakteristiken [21] und [3] (XL). — Eine absolute Invariante:
das Doppelverhältniss, welches zwei homologe Punkte x,x und die
Schnittpunkte der Geraden xx' mit it1 und ;r4 bestimmen.

4. [22]: c1(x1 üj + x2 u2) + c2(x3 % 4- xA w4) + x1 u2 + x% ua — °-
Zwei Doppelpunkte p2 und p±, zwei Doppelebenen %x und tf3; die

beiden Doppelpunkte liegen in der Schnittgeraden der beiden Doppel-
ebenen (7i); eine absolute Invariante, die wie bei 3. zu deuten ist. —
Die Collineationen in den Ebenen nx und :r3 gehören beide zur
Klasse [21].

5. [4]: C1 (Xx Ux + X2 U2 + X5 U3 + ^4 «0 + Xl U2 + X2 lH + 'T3 W4 — 0.

Ein Doppelpunkt p± und eme Doppelebene itu die incident sind (7^).
— Die Collineation auf nt hat die Charakteristik [3] (XL). — Keine
absolute Invariante.

Klassifikation der Collineationen. 219

6. [(11) ll] : c1 (#! % + ^2 wa) + c3 x3 lh + c4 ^4 u4 = 0.
Der Gruppe (11) ist ein lineares Fundamental - Punktgebilde
lter Dimension (eine gerade Eeihe von Doppelpunkten) auf p1} p2 und
ein ebensolches Ebenengebilde (Büscliel von Doppelebenen) mit dem
Träger p3 j>4 == tc1 n2 zugeordnet. Die Axe des Büschels schneidet
dm Träger der PunUreiJie nicht (f). Weiter sind zwei Doppelpunkte
(Doppelebenen) vorhanden, die im Träger des Büschels liegen (b):
Ps> P* (^3* nd- Die Verbindungsgeraden homologer Punkte schneiden
stets die Gerade p3p4] die Schnittgeraden homologer Ebenen schneiden
stets die Gerade p1 p2 (c). Die Collineationen auf %3 und tt4 gehören
beide zur Klasse [(11) 1]; sie sind also beide perspektivisch mit den
Centren 2h Dez- P3 un(^ ^er Axe lh Vi- (Tergl- H, a unter 4.) —
Zwei absolute Invarianten: Zwei unabhängige von den Doppelverhält-
nissen, welches zwei homologe Punkte x, x' mit den Schnittpunkten
der Geraden xx' mit den Ebenen 7t3,itA und der Geraden p3p± be-
stimmen, u.s.w.

7. [2(11)] : Cifo % + x2u2) + c2(x3u3 + #4w4) + x1u% — 0.

Wir haben den vorigen Fall, nur dass hier die Axe pxp2 des
Büschels von Doppelebenen nur einen Doppelpunkt p2 enthält, und
durch den Träger p3 pi = itt ;r2 der Reihe von Doppelpunkten nur eine
Doppelebene n1 geht. — Eine absolute Invariante, die man analog
deutet, wie bei 6. —

8. [(21) 1]: c1(x1u1+x2u2 + x3u3) + c3x4ui + a^Mj — 0.

Wie 6, nur dass der Träger p2 p3 der aus lauter Doppelpunkten
bestehenden Punktreihe die Axe p2p± = »jJTj des Büschels der Doppel-
ebenen schneidet (g). Ausser dem Schnittpunkte p2 dieser Träger liegt
noch ein weiterer, dem Exponenten 1 zugeordneter Doppelpunkt p4 auf
der Geraden p2p4c, ausser p2p3p± giebt es noch eine weitere durch p2p3
gehende Doppelebene PiP2Ps = #4- — Eine absolute Invariante; über ihre
Deutung vergl. 6.

9. [(31)] : c± (xx ux + x2 u2 + x3 u3 -f #4 m4) + ^«2+ #2 % = 0.

Es giebt wieder eine Gerade p3p±, deren sämmtliche Punkte Doppel-
punkte, und eine Gerade p2p3, deren sämmtliche Ebenen Doppelebenen
sind, diese Geraden schneiden sich (g). Weitere Doppelelemente sind
nicht vorhanden. Keine absolute Invariante.

10. [(22)]: CjC^Wi + x2u2+ x3u3 + #4w4) + x±u2 + x3uA — 0.

JEine ReiJie von Doppelpunkten und em Büscliel von Doppelebenen,
deren Träger p2 pA = nt %3 zusammenfallen Qi). Die Verbindungsgeraden
homologer Punkte und die Schnittgeraden homologer Ebenen treffen
stets diesen Träger (c). Keine absolute Invariante.

220 § W, 105.

11. [(ii)(ii)]: ^(xm + x2u2) + c3(x3u3 + x4u+) = 0.

Hier treten £«m gerade Reihen von Doppelpunkten auf mit den
Trägern 2h 1h un& i}3i}4 un(^ zwe^ Büschel von Doppelebenen, deren Axen
bez. mit p1p2 und p3p± zusammenfallen (b). Die Geraden p1p2 und/^^
schneiden sich nicht (f). Die Verbindungsgeraden homologer Punkte x,x'
und die Schnittgeraden homologer Ebenen u,u* treffen beide Axen p1p2
und p3 p4 (c). Bezeichnen wir diese Schnittpunkte mit sl und s2, so
sind die Punktreihen xx'sts2 unter sich projektiv und projektiv zu
den Büscheln, die durch u9uf und die Ebenen, welche durch die Ge-
raden uu' und p1p2 bez. p3p4c gehen, gegeben sind. Eine absolute In-
variante: Das Doppelverhältniss vier solcher Punkte oder vier solcher
Ebenen. (Ist dieselbe gleich — 1 , so ist die betreffende Collineation
eine geschaart involutorische.)

12. [(lii)i]: cx (#!««! 4- x2u2 + x3u3) 4- c4rr4w4 = 0.

Alle Tunkte einer gewissen Ebene PiP2p3= n^ sind Doppelpunkte,
und alle durch einen gewissen Punkt itx %2 tc3 = pA gehenden Ebenen
sind Doppelebenen-, p± und ?r4 liegen getrennt (e). Weitere Doppel-
elemente sind p± und ?r4. Die Verbindungslinien homologer Punkte
gehen sämmtlich durch p4, die Schnittlinien homologer Ebenen liegen
sämmtlich auf 7r4 (c). Die Collineationen dieser Klasse sind Perspektive
räumliche Beziehungen mit dem resp. Centrum jö4 und der Ebene jr4 der
Collineation. — Eine absolute Invariante: Das Doppelverhältniss, welches
zwei homologe Punkte x, x' mit p± und dem Schnittpunkte der Ge-
raden xx' mit :r4 bestimmen, u. s. w.

13. [(211)]: ^(iCjttj 4- #2W2 + a;3% + #4*0 + X\H = 0-

Die Collineationen dieser Klasse sind gleichfalls Perspektive räum-
liclie Beziehungen, bei denen aber stets das Centrum p2 in der Ebene tzx
der Collineation liegt (g). Keine absolute Invariante.

14. [(im)]: xY Uj 4- x> i<v 4- x3u3 4- #4w4 = 0.
Die identische Collineation; &ewe absolute Invariante.

ß) Singulare Collineationen.

a) Singulare Collineationen erster Species.

Die Klassen der singulären Collineationen erster Species sind die

Klassen der collinearen Beziehungen zwischen einem Bündel und einem

ebenen Systeme desselben räumlichen Systems (100). Die Vertheilung

der Fundamentalgebilde bez. der singulären Gebilde kann man aus

III, a) ersehen (104, Schluss). Hier können folgende Fälle eintreten:

1. [im]: c^Mj 4- c2x2u2 4- c3x3u3 = 0.

Das Centrum p4 des Bündels liegt nicht im Träger tta des ebenen

Systems. Drei Punkte p1 p2 p3 von ;r4 liegen in den homologen

Klassifikation der Collineationen. 221

Strahlen des Bündels. — Die Collineation in der Ebene ?r4 hat die
Charakteristik [111]; diejenigen in den übrigen Doppelebenen sind sin-
gulär erster Species, und zwar ist ihre Charakteristik [in] (XL). —
Zwei absolute Invarianten: zwei unabhängige von den Doppelverhält-
nissen, welche zwei homologe Punkte und die Schnittpunkte ihrer
Verbindungsgeraden mit den drei Ebenen pipip2y PtPtPsi PtPsPi De"
stimmen; u.s. w.

2. [tu]: c1(xLuL -f oc2u2) + c2xBu3 -f x1u2 — 0.
Wie 1 , nur das zwei Strahlen des Bündels p± durch die homologen
Punkte der Ebene jr4 gehen. — Die Collineation in der Ebene jr4 ge-
hört zur Klasse [21], diejenigen in den beiden anderen Doppelebenen
gehören zu den Klassen [111] und [21] (XL). — Eine absolute In-
variante, die man analog, wie bei 1 deutet.

3. [3l]: *i (#!««! + ^2W2 + X3Us) + ^1W2 + ^2W3 = 0.

Wie 1, nur dass hier ein Punkt der Ebene ?r4 im homologen
Strahle des Bündels p± liegt. — Die Collineation in ?r4 hat die
Charakteristik [3]; die Collineation auf der anderen Doppelebene %x
hat die Charakteristik [21] (XL).

4. [(11) 11]: Cifoi«! + x2 u2) + c3x3u3 = 0.

Wie 1, aber die Collineation in der singulären Ebene ;r4 gehört
zur Klasse [(11)1], ist also perspektiv derart, dass das Centrum p3 und
die Axe p^p2 getretint liegen. Ausser pz liegen hier also sämmtliche
Punkte von p} p2 in ihren homologen Strahlen. Bedeutet p± den sin-
gulären Punkt, so treffen alle Gerade, welche homologe Punkte ver-
binden, die Gerade p3p4. Eine absolute Invariante: Das Doppelverhältniss,
welches zwei homologe Punkte xyx* und die Schnittpunkte der Ge-
raden xx1 mit der Geraden pzpA und der Ebene p1p2p± bestimmen.

5. [(21) 1]: e1(xlul+ x2u2 -f xsuB) + xxu2 — 0.

Wie 4, nur dass hier in der singulären Ebene nA das Centrum p2
auf der Axe p2pz der Perspelctivität liegt. Kerne absolute Invariante.

6. [(11 1)1]; x^u2 -f x2u2 -f x3u3 = 0.

Das Bündel mit dem Träger p4 und das zu ihm collineare ebene
System mit dem Träger tt4 befinden sich in perspektiver Lage. — Jeder
nicht in ;r4 liegende Punkt wird aus p4 auf die Ebene jt4 nach dem zu
ihm homologen Punkte projicirt* — Kerne absolute Invariante.

* Die Perspektive des Malers ist also eine singulare collineare Beziehung
erster Species mit der Charakteristik [(ui)i]. Die Reliefperspektive dagegen
und die gewöhnliche Perspektive des Bildhauers gehören zur Klasse [(111)1]
der ordinären räumlichen Collineationen.

222 § 17> 105-

7. [211] : c2 x3 u.d -f c3 #4 w4 + xx u2 — 0.

Der Mittelpunkt p2 des Bündels liegt im Träger 7t1 des zu ihm
collinearen ebenen Systems. Dem in it1 liegenden Strahlenbüschel
von p2 entspricht eine Punktreihe, deren Träger p3p± nicht durch den
Mittelpunkt des Büschels geht. Zwei Strahlen desselben gehen durch
die homologen Punkte p3j p± der Punktreihe. Eine absolute Invariante;
ihre Deutung erfolgt analog, wie bei 1.

8. [22]: CiO^i^i + x2u2) + xxu2 + x3u± = 0.

Wie 7, aber nur ein Strahl des dem ebenen Systeme jr8 an-
gehörigen Strahlenbüschels £>4 geht durch den homologen Punkt p2
der zu ihm projektiven Punktreihe ptp2. — Keine absolute Invariante.

9. [2(11)]: c2 (x3 u3 -f #4w4) -f xxu2 = 0.

Wie 7, aber sämmtliche Strahlen des Büschels p2, welches im
Träger nx des ebenen Systems liegt, gehen durch ihre homologen
Punkte auf p3p±. — Keine absolute Invariante.

10. [31]: c2x±u±Jr x1u2 + x2u3 = 0.

Auch hier liegt der Mittelpunkt p2 des Bündels im Träger itx des
zu ihm collinearen ebenen Systems; aber es entspricht dem in jt2
liegenden Strahlenbüschel p3 eine durch p8 gehende Punktreihe auf p3p±.
Dem Strahle p3 p± von p3 entspricht ein von p3 verschiedener Punkt p±
der Punktreihe. Keine absolute Invariante.

11. [4]: xxu2 -f x2 u3 + x3u4 = 0.

Wie 10, aber dem in der singulären Ebene x1 liegenden Strahlen-
büschel mit dem Scheitel p± entspricht die durch p4 gehende Punkt-
reihe auf dem Träger p.3pA derart, dass dem Strahle p3p± des Büschels p±
der Punkt p4 der Punktreihe zugeordnet ist. — Keine absolute Invariante.

b) Singulare Collineationen zweiter Species.

Die Klassen der singulären Collineationen zweiter Species sind
die Klassen der projektiven Beziehungen zivischen einem Ebenenbüschel
und einer geraden Punktreihe desselben räumlichen Systems (100). Was
die Fundamentalgebilde bez. der singulären Gebilde anbelangt, so ver-
gleiche man die betreffenden Klassen in III, a), deren Collineationen
dieselbe Art derVertheilung der Fundamentalgebilde zeigen (104, Schluss).
Wir haben folgende Fälle zu unterscheiden:

1. [1111]: cxx^ux -f c2x2u2 = 0.

Die Axe p3 pA des Ebenenbüschels trifft den Träger pt p2 der zu
ihm projektiven Punktreihe nicht] zwei Punkte pt und p2 der Punkt-
reihe liegen in den homologen Ebenen des Büschels. — Eine absolide

Klassifikation der Collineationen. 223

Invariante: Das Doppelverhältniss, welches zwei homologe Punkte x,x
und die Schnittpunkte der Geraden x x' mit den Ebenen p1p3p4: und
p2 p3 p± bestimmen. —

2. [211]: c^x^ + x2u2) + x1u2 = 0.

Wie 1, aber es liegt nur ein Punkt p2 der Punktreihe in der
homologen Ebene itx des Büschels.

3. [(11) 11]: x1u1 4- x2u2 = 0.

Die Beziehung zwischen Ebenenbüschel und Punktreihe ist eine
Perspektive.

4. [211] : c3x4:u4: + #1 «a — 0.

Die Axe p2ps des Ebenenbüschels schneidet den Träger p2pA der
geraden Punktreihe; der Ebene p2 p.d pi des Büschels entspricht der
vom Schnittpunkte p2 verschiedene Punkt p± der Punktreihe.

5. [31] : x1u2-\- x2 u3 = 0.

Wie 4, aber der von der Axe p3p± des Büschels und dem Träger
P2P3 der Punktreihe bestimmten Ebene p2p3pi entspricht der Schnitt-
punkt p3 von Axe und Träger.

6. [22] : x1u2 + x3 u± = 0.

Die Axe p2p4 des Büschels und der Träger p2 pA der Punktreihe
fallen zusammen. In den Fällen 2 — 6 treten keine absoluten In-
varianten auf.

c) Singulare Collineationen dritter Species.

1 r 000t .~

1. [1111J: xxux = 0.

Die Ebene 1*! = p2p3p±, deren sämmtliche Punkte singulare Punkte
sind, enthält nicht den Punkt ply welcher Träger eines Bündels sin-
gulärer Ebenen ist. (Vergl. III, a) unter 12 und 104, Schluss.) Allen
nicht auf at liegenden Punkten des Raumes R entspricht derselbe
Punkt pt von R\ u.s.w. (99).

2. [211] : x1u2 = 0.

Der Träger p2 des Bündels singulärer Ebenen liegt in der Ebene nx
der singulären Punkte. (Vergl. III, a) unter 13 und 104, Schluss.)
Die Collineationen dieser Species haben keine absoluten Invarianten*

* Wir stellen hier noch eine Reihe von Anwendungen der E T auf geometrische
Probleme zusammen. Von Anwendungen der Weierstrass'schen Theorie sind
zu nennen: Klein, Ueber die Transf. der allg. Gleichung 2ten Grades zwischen
Liniencoordinaten auf eine kanonische Form, Inauguraldiss., Berlin 1868. (Ab-
gedruckt in Math. Ann. Bd. 23.) Killing, Der Flächenbüschel 2ter Ordnung,
Inauguraldiss., Berlin 1872. Weiler, Ueber die verschiedenen Gattungen der
Complexe 2ten Grades, Math. Ann. (73) Bd. 7. Gundelfinger in Hesse's Vorl.

224 § 18, 106.

§ 18. Systeme aus ganzen oder gebrochenen Grössen
eines Körpers.

106. Wir haben bisher nur solche Systeme betrachtet, deren
Elemente ganze Grössen eines Körpers von Zahlen oder Funktionen
waren. Zum Schlüsse wollen wir nun auch solche Systeme heran-
ziehen, deren Elemente ganze oder gebrochene Grössen eines Körpers
vorstellen, den Begriff „ET" auch auf diese Systeme ausdehnen und
eine Reihe von früher gefundenen Sätzen über ET auch für Systeme
dieser Art beweisen.

Wir beginnen mit Systemen aus rationalen Zahlen und schicken
folgende Bemerkungen voraus:

Die rationale Zahl a heisst durch die rationale Zahl b (^0)
theilbar (b heisst in a enthalten, a ein Vielfaches von b), wenn
-=- eine ganze Zahl ist. Sind alya2,...ak rationale Zahlen, so ist
jeder gemeinsame Theiler dieser k Zahlen in einer Zahl D enthalten,
die der grösste gemeinschaftliche Theiler* derselben genannt
wird. Man findet D, wie folgt: Man denke sich die unter a< ent-
haltenen Brüche reducirt, jede der von Null verschiedenen Zahlen a-t
als ein Produkt von Primzahlen mit positiven oder negativen Ex-
ponenten dargestellt und nehme in D jede dieser Primzahlen so oft
als Faktor auf, als sie in den h Zahlen at- mindestens vorkommt.

D ist offenbar nichts anderes als der grösste gemeinschaftliche
Theiler aller Zähler der reducirten Brüche und der ganzen Zahlen
unter den ah dividirt durch das Ueinste gemeinschaftliche Vielfaclw der

über analyt. Geom. des Raumes, 3. Auflage, 1876, IV. Suppl. Voss, Die Linien-
georn. in ihrer Anw. auf die Flächen 2ten Grades, Math. Ann. (76) Bd. 10. Loria,
Geometria della sfera, Mem. della Ac. delle Scienze di Torino 1884, Ser. 2,
Tom. 36. Segre, Studio sulla quadriche in uno spazio lin. ad im num. quäl di
dimens. u. Sulla geometria della retta etc. a. eben cit. 0. M. Bö eher, Ueber die
Reihenentwickelungen der Potentialtheorie, Leipzig 1894 (Capitel III). — Eine
geometrische Anwendung der Theoreme XXVIII und XXIX giebt Segre, Ricerche
sulle omogr. e sulle correl. in generale u. s.w. Mem. della Ac. delle Scienze di Torino
(85), Ser. II , Tom. 37 (§ 1 und 2). Ebendaselbst § 3 und § 4 giebt derselbe eine An-
wendung der Krone cker' sehen Untersuchungen über die congruenten Transf. der
bil. Formen (vergl. oben § 10). — Die Krone cker'schen Untersuchungen über
singulare Schaaren — allerdings nicht in der erst 1890 abgeschlossenen Gestalt
(vergl. § 8 oben) — benutzen Killing a. c. 0. und Segre, Ricerche sui fasci di
coni quadrici in uno spez. 1. quäl. Atti della R. Acad. delle Scienze di Torino (84),
Vol. XIX. — Endlich finden die ET Anwendung beim Hauptaxenprobleme. Vergl.
Gundelfinger-Dingeldey, Vorl. a. d. anal. Geom. der Kegelschnitte, Leipzig
1895, § 8 und § 10.

* Vergl. zum Folgd. Hensel.. Crelle's Journ. (96) Bd. 115, S. 254ff.

Systeme aus ganzen oder gebrochenen Grössen eines Körpers. 225

auftretenden Nenner; D ist demnach durch den Euklidischen Algorith-
mus direkt bestimmbar.

D ist dann und nur dann eine ganze Zahl, wenn alle ax ganze
Zahlen sind.

Unter 9t wollen wir im Folgenden stets ein System verstehen, dessen
n2 Elemente rationale Zahlen sind; ist r der Rang eines Systems 9t, so
soll der grösste gemeinschaftliche Theiler aller Subdeterminanten
Qten Grades von 9t (q <J r) allgemein mit DQ (9t) bezeichnet werden.

Wir bilden für ein gegebenes 9t die Zahlen
setzen D,(9t) (, = 1, 2 . . . r),

ferner #r+i(9t) - - - . - £,(») = 0

und nennen •#,($), £*(%), • . . -#»(9t) bez. den ersten, zweiten, . . . nt6n
Elementartheiler von 9t. Zerlegt man Ex(ß)t E2 (9t) . . . Er (9t) ' in
Faktoren, die Potenzen verschiedener Primzahlen (mit positiven oder
negativen Exponenten) sind, so heisst jede solche Primzahlpotenz ein
einfacher Elementartheiler von 9t; ^(91), -#2(9t), . . . -#„(9t) dagegen
sollen als die zusammengesetzten Elementartheiler von (91) be-
zeichnet werden (4). Den Qten ET eines Systems 91 bezeichnen wir
allgemein mit ü^(9t).

Nun sei 9t ein zweites System aus n* rationalen Zahlen, und
zwar sei 9t aus 9t dadurch hervorgegangen, dass 9t mit Systemen
aus je n2 ganzen Zahlen in beliebiger Weise vorn und hinten com-
ponirt wurde (11). Dann heisst 9t ein Vielfaches von 9t.

Ist 9t Vielfaches von 9t, so ist der Rang r' von 9t kleiner als
der Rang oder gleich dem Range r von 9t, also

r'^r;
ferner ist D?(9t) durch £\>(9t) für p=l,2, .../ theilbar. Dieses
beweist man genau so, wie bei ganzzahligen Systemen in 24.

Ist 9t ein Vielfaches von 9t, zugleich aber auch 9t ein Vielfaches
von 9t, so heissen die Systeme 9t und 9t äquivalent. Sind 9t und 9t
äquivalent, so ist nach Vorstehendem

/ = r, 2>,(«)- Dt(W) für q -1,2,... r,
also auch ^ = ^ (gl) für p = j ; 2, . . . n.

Die Sätze 8a) und 8b) in 25 gelten also auch für Systeme 9t.

107. Ein (reducirter) Bruch heisst in Bezug auf eine bestimmte
Primzahl p (modulo py mod. p) ganz, wenn sein Nenner nicht
durch p theilbar ist. Ist der Quotient -j- zweier rationalen Zahlen a und b
(6=|=0) eine mod. p ganze Zahl, so heisst a durch b mod. p theilbar
(a ein Vielfaches von b mod. pf u.s. w.). Ist weder der Zähler, noch

Muth, Elementartheiler. 15

226 § 18> 107 — 108.

der Nenner eines reducirten Bruches a durch die Primzahl p theilbar, so
sagen wir, a sei mod. p gleich Eins. Endlich heissen zwei rationale
Zahlen (^ 0) mod.p gleich, wenn ihrVerhältniss mod. p gleich Eins ist.

Nimmt man mit mod. p ganzen rationalen Zahlen irgendwelche
ganze Operationen vor, so ist die resultirende Zahl ebenfalls mod. p ganz.

Entsteht ein System 9t aus einem Systeme 9t dadurch, dass
letzteres System mit Systemen aus mod. p ganzen Zahlen irgendwie
vorn und hinten zusammengesetzt wird, so heisst 9t ein Vielfaches
von 9t in Bezug auf die Primzahl p (mod. p). Ist mod. p 91
Vielfaches von 91, 91 von 9t, so heissen 91 und 91 mod.p äquivalent.
Man beweist analog, wie in 24: Sind zwei Systeme 91 und 91 mod. p
äquivalent, so sind ihre zusammengesetzten ET mod. p gleich (so stimmen
91 und 9t im Range und den Ein in Bezug auf die Basis p überein).

Ein System, dessen Elemente mod. p ganze Zahlen sind, und
dessen Determinante mod. p gleich Eins ist, heisst ein Einheits-
system in Bezug auf p.

Ist 9t ein derartiges System, so gilt das Gleiche von dem reci-
proken Systeme 9t_1 (S. 27). Durch Composition mit Einheitssystemen
mod. p bleiben die zusammengesetzten ET eines Systems 9t mod. un-
geändert (26).

Wir verstehen unter einer Elementartransformation a) mod. p eines
Systems 9t die Multiplikation einer Reihe desselben mit einer Zahl,
die mod. p gleich Eins ist; multiplicirt man eine Reihe von 9t mit
einer mod. p ganzen Zahl und addirt (subtrahirt) sie von einer
parallelen Reihe, so soll diese Operation als eine Elementartrans-
formation c) von 9t mod. p bezeichnet werden. Vertauschungen
paralleler Reihen heissen Elementartransformationen b). Vergl. 27.
Durch Elementartransformationen mod. p werden die zusammengesetzten
ET eines Systems 9t mod. p nicht geändert. Denn diese Umformungen
eines Systems 9t sind gleichbedeutend mit der Composition von 9t
mit gewissen Einheitssystemen mod. p. (Siehe oben.) Durch Elementar-
transformationen b) werden die zusammengesetzten ET von 9t überhaupt
nicht geändert.

108. Nun sei ein System
9t =

an a12 . . . a± n \

\&nl Un2 • • • Mnn,

vom Range r gegeben-, durch Elementartransformationen b) bringen
wir an Stelle von an ein Element, welches in allen übrigen Elementen

Systeme aus ganzen oder gebrochenen Grössen eines Körpers.

227

mod. p enthalten ist, wo wieder p eine beliebige Primzahl bedeutet;
das neue System bezeichnen wir wieder, wie das ursprüngliche. Nun
multipliciren wir die erste Spalte in 3t mit der mod. p ganzen

Zahl -1-1 und subtrahiren sie von der zweiten Spalte. Durch diese

a" . . .

Elementartransformation c) mod. p erhalten wir ein zu 3t mod. p

äquivalentes System, in welchem das zweite Element der ersten Zeile
Null ist. Auf analoge Weise machen wir alle Elemente der beiden
ersten Reihen ausser an zu Null, wenden dann dasselbe Verfahren auf
das System an, welches aus dem umgeformten 3t durch Weglassen der
beiden ersten Reihen entsteht, und gelangen schliesslich zu einem
Diagonalsysteme (28), in welchem die r ersten Elemente d1} d2, . . . dr
nicht Null sind, die übrigen aber verschwinden, und in welchem dQ
durch dQ—i (q — 1,. 2, ... r) mod. p theilbar ist. Durch Elementar-
transformationen a) endlich machen wir das letztere System zu
tp* 0 0 . 0 0 . . . 0\

J>-

0 f* 0

0 0

P°r 0

. 0

0

o/

\o

wo p*Q durch p'*'~1 (q — 1, 2, . . . r) theilbar ist. Die Exponenten e sind
negative oder positive ganze Zahlen oder auch Null.

Für dieses System 2) findet man nun höchst einfach (28)

Nun sind aber 3t und 2) äquivalent mod. p; also sind die Diagonal-
elemente in 2) bez. dem ersten, zweiten, . . . nUn ET von 3t gleich bez.
mod. p gleich; diejenigen Potenzen peQ, deren Exponenten nicht Null
sind, stellen die einfachen ET von 3t in Bezug auf die Basis p vor.
Nach dem eben Gesagten ist mod. p

!?,{«) »i* (?-V2,...r);

nun ist aber p\ durch pea-i theilbar; also ist i^(3t) durch JE^_i(8t)
mod. p theilbar; p war aber eine beliebige Primzahl. Daher isti?(J(3t)
durch Eq—i (3t) für q — 1, 2, . . . r theilbar. Der Fundamentalsatz I
gilt mithin auch für Systeme 3t aus rationalen Zahlen.

Ist ein System 3t in die Theile fR1 und 3t2 zerlegbar, so kann
man auf Grund der soeben entwickelten Methode 3t, 3t1; 3t2 in mod.p
äquivalente Diagonalsysteme 9t, 3t1; 3t2 verwandeln, derart, dass die
Diagonalelemente von 3t1? 3t2, 3t bez. den zusammengesetzten ETn
von 3t1? 3t2, 3t mod. p gleich sind (32). Bestimmt man nun die ET

228 § 18> 108—109.

von SR in Bezug auf p, so erkennt man, dass die ET von SRX und SR2
in Bezug auf p zusammengenommen gerade die ET von SR in Bezug
auf p ausmachen (31, 32). SR, SRX und SR2 besitzen aber mod. p die-
selben ET, wie SR, SRj und SR2, p ist eine beliebige Primzahl, daher
sind die ET von SR diejenigen von SRX und SR2 zusammengenommen.
Der Satz V in 32 gilt sonach auch für Systeme SR der hier be-
trachteten Art.

109. SR bedeute wieder ein System aus n2 ganzen oder gebrochenen
rationalen Zahlen, © aber ein System aus n2 nur ganzen Zahlen.
Gemäss der symbolischen Gleichung (11)

(1) *-#«

entstehe durch Composition der Systeme SR und ($ ein System SR.
SR ist Vielfaches von SR (106), es ist aber auch jeder zusammengesetzte
ET von SR Vielfaches des entsprechenden zusammengesetzten ETs von SR.*

Um dieses zu beweisen**, verstehen wir unter p wieder eine
beliebige Primzahl und verwandeln durch Elementartransformationen
in Bezug auf p unser System SR in ein mod. p äquivalentes Diagonal-
system 2) von der in 108 beschriebenen Art. Man hat dann mod. p

E9(K) = E,(®) - j* (9 - 1, 2, . . . r),
wenn SR vom Range r ist.

SD geht aus SR durch Composition mit Einheitssystemen i&lf @2
in Bezug auf p hervor; es sei also etwa

(2) SD-^««,.
Wegen (1) und (2) ist dann

5 - qffi = ^SR© - (^«(^«r1® - ®©2-1®

oder, wenn noch ~ , m ~

gesetzt wird,

(3) S = 2>$.

Dabei ist § ein System aus mod. p ganzen Zahlen, da die Elemente
von ($ absolut, die von (g—1 mod. p ganz sind.

Nun ist aber nicht nur 2) zu SR, sondern wegen SD = @x SR auch
2) zu SR mod p äquivalent. Daher ist mod. p für q = 1, 2, . . . n

EQ(V) -«,(*), ^(S)-J^(«).
iftmw man www mp, dass ?woä\ p EQ(%)JVielfaches von 3E^($) &£, so
ist aZso awc/i dargethan, dass mod. p EQ(W) Vielfaches von EQ(ß) ist,
und damit, da p eine beliebige Primzahl war, unser Satz bewiesen.

* Dass Dffl) Vielfacher von D (R) ist, ist fast selbstverständlich (24).
** Zum folgenden Beweise vergl. Frobenius, SB 1894, S. 42 — 43.

Systeme aus ganzen oder gebrochenen Grössen eines Körpers.

229

Um nun zu zeigen, dass EQ(5b) Vielfaches von EQ(%)) ist mod. p,
verfahren wir so: wir bezeichnen die Elemente von § mit hik} setzen

also etwa

hu . . .h1:

"ii

dann wird wegen (3)

Au. • . h

lp*>hn p*hn ...p«>hin\

\0 . . . . 0 . ./
Der Rang r' von 3) ist < r. Bedeutet q eine der Zahlen 1, 2, . . . r*,
so wollen wir unter SQ eine Subdeterminante Qtoa Grades des Systems
3) verstehen. Enthält SQ die aie, bte, . . . mie Zeile von £), und ist
a <b < '•-<. m, so ist a > 1, & > 2, . . . m > p; daher wird pea durch
#% pe6 durch p% . . . pem durch peQ theilbar sein, weil e{ < e2 < • - ■ < er
ist (106). In der Determinante SQ sind daher, weil die hikmo&.p ganze
Zahlen sind, alle Elemente der ersten Zeile durch pe>, der zweiten durch
jp% . . . der Qiea durch peQ theilbar mod. p. Führt man diese Divisionen
aus, so erhält man eine Determinante jß^, welche die der Determinante SQ
entsprechende reducirte Determinante genannt werden soll. Die Elemente
von RQ sind mod. p ganze Zahlen, und es ist

Jetzt denken wir uns für ein bestimmtes q alle zu den SQ gehörigen
reducirten Determinanten RQ hingeschrieben und bezeichnen den grössten
gemeinsamen Theiler aller Determinanten jß? mit DQ. Dann hat man

D9(B)j -'&+*+ ■•■+vz>f,

für q = 1, 2, . . . r . Daher ist

*>«(*»

•f^-i h«c

jpei + «t-f • • • +*o — 1

Entwickelt man aber eine der Determinanten RQ nach den Subdeter-
minanten der Elemente der letzten Zeile, so enthält jedes Glied des
Aggregats eine reducirte Determinante RQ—i als Faktor; die betrachtete
Determinante ist also durch -D?_i mod. p theilbar, da ihre Elemente
mod. p ganze Zahlen sind. Alle Determinanten RQ sind durch DQ—1
theilbar mod. p, also ist es auch ihr grösster gemeinschaftlicher
Theiler D?, d. h. es ist

230 § 18, 109 — 110. Systeme aus ganzen oder gebrochenen Grössen eines Körpers.
»o VJ%) t EM

.£_ = g x ' «

eine mod. # ganze Zahl. Nun ist aber mod. p

■Eg(ä) JSg(ä)

^ JS70(5)) '

JS(J) r ?

also ist ^r^v eine mod. # ganze Zahl, w. z. b. w. —

Wären wir statt von der Gleichung (1) von der Gleichung

SR = ®SR
ausgegangen, so wären wir zu demselben Resultate gelangt.

Sind nun ($,§,...£, äft... Systeme aus ganzen Zahlen, und
besteht eine Gleichung

R-®$... RSSE...,
so folgt aus ihr eine Gleichung

3t = 2lSR23,
wenn Ä = ®$..., 8J = ß5R... gesetzt wird. 51 und 33 sind Systeme
aus ganzen Zahlen. Daher ist nach dem Vorhergehenden i^,(SR23) Viel-
faches von J^(R), ^(«R») Vielfaches von JS*(R»), und folglich
J^(«RS3)-J^(R) Vielfaches von j0?(R). Also gilt der Satz (106):

Ist ein System SR Vielfaches eines Systems SR, so ist jeder zu-
sammengesetzte Elementartheiler von SR Vielfaches des entsprechenden zu-
sammengesetzten Elementartheilers von SR.

Der Satz bleibt seiner Herleitung nach übrigens auch giltig,
wenn man für „Vielfaches" überall „Vielfaches mod. pu schreibt.

110. Vorstehende Entwicklungen über Systeme aus ganzen oder
gebrochenen Zahlen bleiben vollständig bestehen, wenn man unter SR
ein System aus ganzen oder gebrocJienen Funktionen einer Variabelen,
unter p eine lineare Funktion versteht. Auch hier können die zu-
sammengesetzten ET mit Hilfe des Euklidischen Theilverfahrens, also
rational bestimmt werden.

Dieses letztere bleibt zwar nicht mehr richtig, wenn man unter SR
ein System aus ganzen oder gebrochenen Funktionen mehrerer Variabelen
oder aus ganzen oder gebrochenen Grössen eines Körpers von Zahlen
oder Funktionen, unter p eine irreducibele Funktion bez. einen wirklichen
oder idealen Primtheiler versteht, im Uebrigen aber bleibt alles wörtlich
bestehen. Als besonders wichtig wollen wir obigen Satz über componirte
Systeme noch in seiner ganzen Allgemeinheit aussprechen. Er lautet:
XLI. Ist ein System SR aus ganzen oder gebrochenen Grössen
eines Körpers von algebraischen Zahlen oder Funk-
tionen Vielfaches eines Systems SR gleicher Art, so ist
jeder zusammengesetzte Elementartheiler von SR Viel-

Anhang. 231

faches des entsprechenden zusammengesetzten Elemen-

tartheilers von SR*
Dieses Theorem ist nur dann umkehrbar , wenn die Systeme SR
und SR aus lauter ganzen Zahlen oder ganzen Funktionen einer Variabelen
bestehen (29, 34). In allen anderen Fällen ist dasselbe, wie man
nach Analogie der Ausführungen in 29 höchst einfach nachweist, nur
mod. p umkehrbar , wo p eine irreducibele Funktion bez. einen wirk-
lichen oder idealen Primtheiler vorstellt. Man kann also in diesen
Fällen nur sagen: Ist der pte ETvonS Vielfaches des pten ET von %
so ist mod. p $1 ein Vielfaches von SR, wo p einen beliebigen Primtheiler
vorstellt. Es besteht also hier eine Lücke, deren Ausfüllung als sehr
wünschenswerth erscheint.

Das Theorem XLI findet wichtige Anwendungen in der Theorie der al-
gebraischen Funktionen.** Ueberhaupt aber sind die in diesem Paragraphen
dargelegten Methoden diejenigen, welche sich für die Weiterentwickelung
der Theorie der Elementartheiler von ausschlaggebender Bedeutung er-
weisen dürften.

Anhang.

Zu Artikel 72.

Es sei S eine symmetrische, T eine altemirende bilineare Form
von je 2n Variabelen, | X±S -f X2T\ = 0,

cyi V dx{ i}

und es bestehe die lineare Relation

a1 Z7X -f a2 U2 -\ f- an ün = 0

zwischen den Tl., in welcher die a. vom Grade g in Ax | X2 seien.
Dieselbe geht, wenn wir in ihr

*i == *i > X2 = a2 , x. = y{
setzen, in eine Relation

zwischen den F. über; die a!. sind ebenfalls vom Grade g in Ax | X2.
Daraus folgt unmittelbar, dass für eine singulare Schaar XXS -\- X2T
die Minimdlgradzahlen m< und mt (S. 108) übereinstimmen.

Es bedeute SQ eine Subdeterminante pten Grades von \XXS + X2T\.
Durch die Substitution Xx = Xx , Xx = — X2 geht SQ in eine andere Sub-
determinante Qten Grades von \X1S + X2T\ über. Tritt daher der lineare

* Vergl. Hensel, Crelle's Journ. (94) Bd. 114, S. 109 ff. und (96) Bd. 115,
S. 259 — 260. Obiges Theorem schliesst das Theorem II des Artikels 8 als Specialfall
in sich. Die Sätze 1) und 2) in 5 kann man auch für Systeme der in obigem Theoreme
beschriebenen Art beweisen. Vergl. Hensel, Crelle's Journ. (94) Bd. 114, S. 2 5 ff.

** Vergl. den Schluss der Einleitung dieses Buches.

232 Anhang.

Theiler aX1-\-bX2(a =;= 0, b =|= 0) in allen SQ zur Potenz l auf, so sind
auch alle SQ durch (aX1 — bX2)1 theilbar. Hieraus folgt, dass jedem
ET (aki+bX^y ein ET (aX1-bX2)e des Systems von \X1S + X2T\
entspricht. Mithin lautet unser Theorem XVII, S. 140 vollständig so:
XVII. Ist S eine symmetrische, T eine alternirende bilineare
Form von je 2n Variabelen, so stimmen

(bei \X1S + X2T\ = 0)
die Minimalgradzahlen m{ und m* der Schaar X^ + X^T
überein; es entspricht ferner jedem Elementartheiler
(aXl + bX2)% wenn a =j= 0, b =|= 0 ist, ein Elementartheiler
(aX1 — bX2)e des Systems von \X1S + X2T\; die Elementar-
theiler desselben von der Gestalt X\* und i|*+1 aber
sind stets paarweise vorhanden.
Ist nun A eine beliebige bilineare Form von 2n Variabelen, so setzt
man A+A' = S, A-A'=T, Aj-^ + Xi, X2=X[-X'2,
sodass X1A + X2A,= X'1S+X'2T

wird, und folgert das Theorem XIX, S. 145 unmittelbar aus XVII oben.
Indem man ferner von dem Schema S. 140 ausgeht, bildet man
Formen S° = T° -\- T'° A° = T°— T'°

i i ' i t i i i t

sa = Ta + r, A=Ta-r0,

u. s. w.; hier ist immer die erste eine symmetrische, die zweite eine
alternirende Form. Die Schaar Xt8J -f X2 A°. besitzt nur eine Kronecker-
sche Invariante w? = rä? = 2wt-f 1, ihr Koefficientensystem keinen ET.
Dies folgt aus dem S. 146 unter 1. Gesagten, da für
X1= Xl-\- 7.21 X2 = Aj — X2l

wird. Analog erkennt man, dass die Determinante der Schaar
X.Sa-h hAo die ET

[ax(1 + c) + A2(l - c)¥o, [Ax(l + c) - X2(l - c)Yo
besitzt, wo 1 -f c =|= 0, 1 — c =|= 0 ist. U. s. w.

Daraus geht hervor, dass man Schaaren XlS -{- X2 T, mit symmetri-
schem S und alternirendem T bilden kann, welche von einer gegebenen
Anzahl von Variabelenpaaren abhängen und — im Sinne des Theorems
XVII oben — vorgeschriebene Kronecker 'sehe und Weierstrass'sche
Invarianten besitzen (vergl. S. 147). Man erkennt dann weiter, dass
obige Schaaren X1 S? + X2 A?, Xx Sa + X2 Aa u. s. w. bei congruenter Trans-
formation der Variabelen irreducibel sind. (Vergl. S. 147 — 148.) Damit
ist denn schliesslich die Reduktion einer Schaar X1 S + X2 T bei con-
gruenter Transformation der Variabelen wegen des Satzes 18) S. 135
vollständig erledigt. (Vergl. S. 148.)

Index.

Die Zahlen beziehen sich auf die Seiten.

Absolute Invarianten einer Collineation
206.

Adjungirte Form 27.

Aehnliche Formen 29, 30, 152 ff.; — Sub-
stitutionen 157.

— orthogonale Formen 175.
Aequivalenz von Formen mit ganzzahligen

Koefficienten 45 ff., 53; — von Formen,
deren Koefficienten ganze Funktionen
einer Variabelen sind 58 ff. ; — von
Formenschaaren 66, 68, 110, 118, 123,
132 u. s. w.

— von Systemen aus ganzen Zahlen
45 ff, 53; — aus ganzen Funktionen
einer Variab. 58 ff. ; — aus ganzen
oder gebrochenen Grössen eines
Körpers 225 ff.; — — in Bezug auf
einen Primtheiler 226.

— linearer Substitutionen 156, 157, 159.
Alternirende Formen 25, 30, 134, 140,

151, 166, Anhang.

Baltzer 180.

Basis eines Elementartheilers 5.

Bild eines Systems 20, 25.

Bilineare Formen 1, 20 ff., 43 ff. u. s.w.;

— a*en Grades 59.
Böcher 224.
Borchardt 33.
Brioschi 174.
Büschel von Formen, s. Schaar von

Formen.

Calb 60, 159.

Casorati 212.

Cauchy VII, XIII, 32, 187.

Charakteristik einer ordinären Schaar
von bilinearen Formen 88; — einer
ordinären Schaar von quadratischen

Formen 124; — einer singulären
Schaar von bilinearen Formen 113;

— einer singulären Schaar quadrat-
ischer Formen 131; — einer Form
mit cogredienten Variab. 148; —
mit contragredienten Variab. 154; —
einer Collineation 208.

— eines Formenpaares s. Charakteristik
einer Schaar von Formen.

Charakteristische Determinante (Funk-
tion) einer Form 32 ; — einer linearen
Substitution 156, 158; — einer Col-
lineation 203.

Christoffel 180.

Clebsch 134.

Cogrediente Variabele 29.

Collineation , ordinäre 199 ; — singulare
hteT Species 201; — im Träger eines
Fundamentalraumes 207, 210.

Componirte Systeme s. Zusammen-
setzung.

Congruente Formen 29, 135, 142 ff.; —
Formenschaaren 125, 128 u. s. w.,
Anhang; — Transformationen (Sub-
stitutionen) 29, 119 ff., 127, 134 f.,
Anhang.

Conjugirte Form 24.

Contragrediente Variabele 29, 31.

Cyklische Formen (Substitutionen) 177 ff. ;

— primitive 177.
Darboux X, 60.
Definite Formen 179 ff.
Determinante einer Schaar von Formen

1, 4.
Deutung der absoluten Invarianten

einer Collineation 206 f., 214 ff.
Diagonalsystem 50, 227.
Differentiation von Formen 40.
15*

234

Index.

Dingeldey 179, 180, 224.
Duale Formen 31, 159.

Einfacher Elementartheiler 5, 13, 225.
Einheitssystem 46 ; — in Bezug auf einen

Primtheiler 226.
Elementare Formen mit ganzzahligen
Koefficienten (Systeme aus ganzen
Zahlen) 45; — Formen (Systeme),
deren Koefficienten (Elemente) ganze
Funktionen einer Variab. sind 58; —
Formen mit cogredienten Variab. 144;
mit contragredienten Variab. 153.

Elementare Invarianten einer Schaar
(eines Paares) von Formen 67.

— Schaaren (Paare) von Formen 67,
87, 113, 118, 124, 131.

Elementartheiler 2 ff., 13, 36, 55 f.
61 u. s.w.

Elementartransformation 48, 58, 226.

Encyklopädie der math. Wissensch. 20,
36.

Enthaltensein unter einer Form 43, 52
58.

Erster, zweiter, . . . u. s. w. Elementar-
theiler 6, 7, 12 f., 35, 44 u.s.w., 225.

Exponent eines Elementartheil ers 5.

Fischer XVI.

Formen, ordinäre 20, 118 u.s.w.; —
singulare 20, 118 u. s. w.; — mit co-
gredienten Variab. 29, 142 ff. ; — mit
contragredienten Variab. 29, 152 ff.

— , die zugleich orthogonal und al-
ternirend sind 179.

— , die zugleich orthogonal und sym-
metrisch sind 178.

Formenpaare s. Paare von Formen.
Formenschaar s. Schaar von Formen.
Frobenius XI, XII u. s.w., 5, 6 f., 9, 20,

33, 35, 48, 52, 54, 56, 58 f., 61, 67,

135, 140, 160, 175, 178 f., 180, 183,

192, 228.
Fuchs 198.
Fundamentalräume (-gebilde) einer Col-

lineation 204.

Ganze Funktion bilinearer Formen 24;

— «ten Grades einer Form 32.
Grad eines Elementartheilers 5.

Grösster gemeinschaftlicher Theiler
rationaler Zahlen 224 ; — ganzer oder
gebrochener Grössen eines Körpers
230 f.

Grundformen einer Schaar 1, 4.

GundelfingerX, 60, 123, 125, 179 f., 192,
223 f.

Hamburger 60.

Hauptunterdeterminante 14, 16, 141.

Heffter IX, 198, 212.

Hensel XI, XV, XVI, 7, 16, 52, 58, 224,
231.

Hörn IX, 198.

Jakobi VII, 72.

Integration eines Systems linearer
Differentialgleichungen mit kon-
stanten Koefficienten 195 ff.

Inverse Substitution 28.

Jordan 60.

Irreducibel s. elementar.

Kanonische Form s. Normalform.

Kantor, S. XIII.

Killing 125, 134, 223 f.

Klasse von Formen 45, 67, 88; s. auch
Klassifikation.

Klassifikation der Formen mit co-
gredienten Variab. 148; mit

contragredienten Variab. 154.

— der Collineationen im Räume be-
liebig hoher Dimension 198 ff.;

in der Geraden 214; . in der

Ebene 215 ff.; im gewöhnlichen

Räume 217 ff.

— der linearen Substitutionen 157.

— der orthogonalen Substitutionen 173.

— der cyklischen Substitutionen 178.

— der Transformationen quadratischer
Formen in sich selbst 172.

*— der Schaaren (Paare) bilinearer

Formen 87, 113; quadratischer

Formen 124, 133.

— der Schaaren mit einer definiten
Grundform 184, 187.

Klein, F. IX, 223.

Kronecker VII, XI u. s. w., 5, 9, 48, 60,
93, 131 f., 140, 179.

— 'sehe Invarianten einer Schaar 110,
131; — einer Form mit cogredienten
Variab. 147.

Index.

235

Landsberg XVI.
Lindemann 134.

Lineare Elementartheiler 3 f., 12, 36,
92 f., 124, 187 ff.

— Substitution (Transformation) 23.

— Transformationen bilinearer Formen
in sieb selbst, unbeschränkte 160; —
congruente 163 ff.; — — symmetri-
scher und alternirender Formen 166 ff. ;

— quadratischer Formen 172.
Loria 224.

Maurer X.

Mehrfacher Elementartheiler 5.

Minimalgradzahlen einer singulären

Schaar 108, 118; einer Form mit

cogredienten Variab. 147.
Meyer, F. VIII, XIII.
Muth 116, 217.

Netto 158.

Noether VIII.

Normalform VII; — eines Formenpaares
(einer Formenschaar) 89, 114, 124,
133, 183, 187, Anhang; — einer Form

mit cogredienten Variab. 148;

mit contragredienten Variab. 154; —
einer beliebigen orthogonalen Sub-
stitution 173; — einer reellen ortho-
gonalen Substitution 176; — einer
linearen Substitution 157 f. ; — einer
Collineation 210.

Normalformen der Collineation in der Ge-
raden 214 ff.; — in der Ebene 215 ff.;

— im gewöhnlichen Räume 217 ff.

Ordinäre Formen, Formenschaaren,
Formenpaare s. Formen, Schaaren
(Paare) von Formen; — Collineation
s. Collineation.

Orthogonale Form (Substitution) 30,
172 f., 178 f.; — reelle 173 ff.

Paare von Formen s. Schaaren von
Formen.

Pasch 199.

Perspektive des Bildhauers 221; — des
Malers 221.

Pfaff XIV.

Potenzen einer Form 31; — einer Sub-
stitution 32.

Predella 60, 159.

Produkte von Formen 20; — von Sub-
stitutionen 23; — von Systemen 26.

Quadratische Formen 4, 118 ff., 129 ff.,

151, 179 ff., 195.
Quadratwurzeln aus Formen 39, 127.
Quotienten zweier Formen 31.

Rang XIV, 5.

Rationale Funktion einer Form 32.

Reciproke Form 27.

Reducirte Form mit ganzzahligen
Koefficienten (— s System aus ganzen
Zahlen) 45, 51; — s System aus
ganzen Funktionen einer Variab. 58.

— Form mit cogredienten Variab. 144.
148; mit contragredienten Variab.
153 ff.

— Formenschaar (— s Formenpaar) 67,
85, 87, 106, 124, 132, Anhang.

Reduktion einer Form (eines Systems),
deren Koefficienten (dessen Elemente)
ganze Zahlen sind 48 ff. ; — deren
Koefficienten (dessen Elemente) ganze
Funktionen einer Variab. sind 58; —
einer ordinären Schaar von bilinearen

Formen 69 ff. ; von quadratischen

Formen 121 ff. ; — einer singulären
Schaar von bilinearen Formen 93 ff. ;

quadratischen Formen 128 ff.

Siehe auch Reducirte Form.

— eines Systems aus ganzen oder ge-
brochenen Grössen eines Körpers in
Bezug auf einen Primtheiler 226 f.

Reguläre Subdeterminante 6.
Reliefperspektive 221.
Riemann XVI.
Rosenow 88, 148.

Schaar von Formen 1, 4, 65 u. s.w.; —
ordinäre 65, 118, 121 u. s.w.; —
singulare 65, 93, 118, 128 ff. u. s.w.;
— mit conjugirten Grundformen
142 ff. , 145; — mit alternirenden
Grundformen 135, 142; — mit sym-
metrischen Grundformen 118 ff., 125,
128ff. ; — mit einer symmetrischen
und einer alternirenden Grundform
140 ff., Anhang; — mit einer definiten
Grundform 180 ff, 184 ff.

— von Collineationen 213.

236

Index.

Schiefsymmetrisches System (— e Deter-
minante) 19, 25.

Schläfli 174.

Schlesinger 198.

Segre 159, 178, 200 f., 205, 208,211, 224.

Siacci XIII.

Singulare Gebilde einer Collineation 200.

Singulare Form s. Form; — Formen-
schaar (— s Formenpaar) s. Schaar;

— Collineation s. Collineation.
Smith XI, XIV f., 7, 13, 16, 48, 52.
Stickelberger X, XIII, 7, 60, 135, 140,

174 ff., 187, 189 f.
Stieltjes XIII.

Substitution, lineare s. linear.
Superdeterminante 10.
Sylvester VIII, 9, 18.
Symbolisches Rechnen mit Formen 20 ff.;

— mit Systemen 26.
Symmetrische Formen (bez. Systeme) 14,

25, 118 ff., 151 u s.w.

Systeme aus ganzen Zahlen 5, 43 ff.; —

aus ganzen Funktionen 5; einer

Variabelen 58 ff.; — aus ganzen
Grössen eines Körpers 19, 224 ff.; —
aus ganzen oder gebrochenen Grössen
eines Körpers 224 ff. ; — aus binären
Formen gleichen Grades 63 ff.

— mit vorgeschriebenen Elementar-
theilern 85ff., 112, 123, 133, 142,
Anhang.

Transformation, lineare s. lineare Sub-
stitution.
Transponirtes System 26.
Typen von Formen 88.

Unimodulare Substitution 46.

Veronese 204.

Vertauschbare Formen 24; — Systeme 26.

Vielfaches eines Systems 43, 52, 58,

225 ; — in Bezug auf einen Primtheiler

226 ff.
Voss, A, XII, XIII, 224.

Weber, E.V., 142.

Weierstrass VII ff., 1, 5, 7, 60, 68 ff.,
86, 93, 122 f., 179 f., 184, 195, 198.

— 'sehe Invarianten, soviel als "Ele-
mentartheiler der Determinante einer
ordinären Schaar s. daselbst.

— 'sches Theorem 60 f., 68.
Weiler 223.

Weyr 35.

Zerlegbare Form (-s System) 41 ff.,

55 ff, 59, 65, 112, 227 f.
Zusammengesetzter Elcmentartheiler 13,

65, 225.
Zusammensetzung von Formen 20; — von

Substitutionen 23; — von Systemen

16, 21.

Druck von B. G. Tcubnor in Dresden.

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